《2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.5 直線與圓錐曲線學案(含解析)新人教B版選修2-1.docx》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.5 直線與圓錐曲線學案(含解析)新人教B版選修2-1.docx(15頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
2.5 直線與圓錐曲線
學習目標 1.通過類比直線與圓的位置關系,學會判斷直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關系.2.會求直線與圓錐曲線相交所得弦的長,以及直線與圓錐曲線的綜合問題.
知識點一 直線與圓錐曲線的位置關系
直線與圓錐曲線的位置關系
直線與圓錐曲線聯(lián)立,消元得方程ax2+bx+c=0.
方程特征
交點個數(shù)
位置關系
直線與橢圓
a≠0,Δ>0
2
相交
a≠0,Δ=0
1
相切
a≠0,Δ<0
0
相離
直線與雙曲線
a=0
1
直線與雙曲線的漸近線平行且兩者相交
a≠0,Δ>0
2
相交
a≠0,Δ=0
1
相切
a≠0,Δ<0
0
相離
直線與拋物線
a=0
1
直線與拋物線的對稱軸重合或平行且兩者相交
a≠0,Δ>0
2
相交
a≠0,Δ=0
1
相切
a≠0,Δ<0
0
相離
知識點二 弦長公式
若直線l:y=kx+b與圓錐曲線交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長|AB|=|x2-x1|=.
1.直線與圓錐曲線有且只有一個公共點時,直線與圓錐曲線相切.( )
2.直線與圓錐曲線交點的個數(shù)就是它們的方程聯(lián)立方程組的解的個數(shù).( √ )
題型一 直線與圓錐曲線的位置關系判定
例1 已知直線l:y=2x+m,橢圓C:+=1.試問當m取何值時,直線l與橢圓C:(1)有兩個不重合的公共點;(2)有且只有一個公共點;(3)沒有公共點?
解 直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得方程組
將①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0,③
這個關于x的一元二次方程的判別式
Δ=(8m)2-49(2m2-4)=-8m2+144.
(1)由Δ>0,得-3
3.
從而當m<-3或m>3時,方程③沒有實數(shù)根,可知原方程組沒有實數(shù)解.這時直線l與橢圓C沒有公共點.
反思感悟 在討論直線與圓錐曲線的位置關系時,要先討論得到的方程二次項系數(shù)為零的情況,再考慮Δ的情況,而且不要忽略直線斜率不存在的情形.
跟蹤訓練1 已知雙曲線C:x2-=1,直線l的斜率為k且直線l過點P(1,1),當k為何值時,直線l與雙曲線C:(1)有一個公共點;(2)有兩個公共點;(3)無公共點?
解 設直線l:y-1=k(x-1),即y=kx+(1-k).
由
得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0.(*)
當k2-2=0,即k=時,(*)式只有一解,直線l與雙曲線相交,只有一個公共點.
當k2-2≠0時,Δ=24-16k,
若Δ=0,即k=,方程(*)只有一解,直線與雙曲線相切,只有一個公共點;
若Δ>0,即k<且k≠,方程(*)有兩解,直線與雙曲線相交,有兩個公共點;
若Δ<0,即k>,方程(*)無解,直線與雙曲線無公共點.
綜上,(1)當k=或k=時,直線l與雙曲線只有一個公共點;
(2)當k<且k≠時,直線l與雙曲線有兩個公共點;
(3)當k>時,直線l與雙曲線無公共點.
題型二 中點弦及弦長問題
例2 已知點A(-1,0),B(1,0),直線AM,BM相交于點M,且kMAkMB=-2.
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)過定點(0,1)作直線PQ與曲線C交于P,Q兩點,且|PQ|=,求直線PQ的方程.
解 (1)設M(x,y),則kMA=,kMB=(x≠1),
∴=-2,∴x2+=1(x≠1).
(2)當直線PQ的斜率不存在,即PQ是橢圓的長軸時,其長為2,顯然不合題意,即直線PQ的斜率存在,
設直線PQ的方程是y=kx+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),
則y1-y2=k(x1-x2),
聯(lián)立消去y得(k2+2)x2+2kx-1=0.
∵Δ=4k2+4(k2+2)=8(k2+1)>0,∴k∈R,
x1+x2=-,x1x2=-,
∴|PQ|=
==2,
∴|PQ|==2,k2=2,k=,
∴直線PQ的方程是yx-1=0.
反思感悟 直線和圓錐曲線相交問題的通法就是利用兩個方程聯(lián)立得到的一元二次方程,利用弦長公式和根與系數(shù)的關系解決(要考慮特殊情形);對于中點弦問題可采用點差法,但要驗證得到的直線是否適合題意.
跟蹤訓練2 中心在原點、對稱軸為坐標軸的橢圓與直線x+y-1=0相交于A,B,C是AB中點,若|AB|=2,OC的斜率為,求橢圓的方程.
解 設橢圓方程為ax2+by2=1(a>0,b>0,a≠b).
設A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓方程并作差得,
a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0,
而=-1,=kOC=,
代入上式可得b=a,
再由|AB|=|x2-x1|=2,
其中x1,x2是方程(a+b)x2-2bx+b-1=0的兩根,
故2-4=4,
將b=a代入得a=,∴b=.
∴所求橢圓的方程是x2+y2=3.
題型三 圓錐曲線中的最值及范圍問題
例3 已知△AOB的一個頂點為拋物線y2=2x的頂點O,A,B兩點都在拋物線上,且∠AOB=90.
(1)求證:直線AB必過一定點;
(2)求△AOB面積的最小值.
(1)證明 設OA所在直線的方程為y=kx(易知k≠0),則直線OB的方程為y=-x.
由得A,
由得B(2k2,-2k).
∴直線AB所在直線方程為(y+2k)=(x-2k2),化簡得x-y-2=0,
∴直線過定點P(2,0).
(2)解 由于直線AB所在直線方程過定點P(2,0),
∴可設直線AB的方程為x=my+2.
由得y2-2my-4=0.
∴|y1-y2|==.
∴S△AOB=|y1||OP|+|y2||OP|=|OP||y1-y2|=|y1-y2|=≥4.
∴△AOB面積的最小值為4.
反思感悟 (1)求參數(shù)范圍的方法
根據(jù)已知條件建立等式或不等式的函數(shù)關系,再求參數(shù)范圍.
(2)求最值問題的方法
①幾何法
題目中給出的條件有明顯的幾何特征,則考慮用圖象來解決.
②代數(shù)法
題目中給出的條件和結論幾何特征不明顯,則可以建立目標函數(shù),再求這個函數(shù)的最值,求最值的常見方法是均值不等式法,單調性法等.
跟蹤訓練3 如圖,過拋物線y2=x上一
點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB,AC交拋物線于B,C兩點,求證:直線BC的斜率是定值.
證明 設kAB=k(k≠0),
∵直線AB,AC的傾斜角互補,
∴kAC=-k(k≠0),∴AB的方程是y=k(x-4)+2.
由方程組消去y后,整理得
k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.
∵A(4,2),B(xB,yB)是上述方程組的解.
∴4xB=,即xB=,
設C(xC,yC),
以-k代換xB中的k,得xC=,
∴kBC==
===-.
∴直線BC的斜率為定值.
1.過點P(0,1)與拋物線y2=x有且只有一個交點的直線有( )
A.4條B.3條C.2條D.1條
考點 直線與拋物線的位置關系
題點 直線與拋物線公共點個數(shù)問題
答案 B
解析 當直線垂直于x軸時,滿足條件的直線有1條;
當直線不垂直于x軸時,滿足條件的直線有2條,故選B.
2.若直線y=kx+1與橢圓+=1總有公共點,則m的取值范圍是( )
A.m>1 B.m≥1或0m,則≥1,
若50,b>0),如圖所示,雙曲線的一條漸近線方程為y=x,而kBF=-.
∴=-1,整理得b2=ac.
∴c2-a2-ac=0.兩邊同除以a2,得e2-e-1=0,
解得e=或e=(舍去),故選D.
6.直線y=x-3與拋物線y2=4x交于A,B兩點,過A,B兩點向拋物線的準線作垂線,垂足分別為P,Q,則梯形APQB的面積為( )
A.48B.56C.64D.72
答案 A
解析 由得x2-10x+9=0,
解得或
設|AP|=10,|BQ|=2,又|PQ|=8,
∴梯形APQB的面積為
S=(|AP|+|BQ|)|PQ|=(10+2)8=48.
7.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個交點,以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案 D
解析 ∵橢圓的離心率為,∴==,
∴a=2b.∴橢圓方程為x2+4y2=4b2.
∵雙曲線x2-y2=1的漸近線方程為xy=0,
∴漸近線xy=0與橢圓x2+4y2=4b2在第一象限的交點為,∴由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為bb=4,
∴b2=5,∴a2=4b2=20.∴橢圓C的方程為+=1.
8.已知橢圓+=1(a>b>0)被拋物線y2=4x的準線截得的弦長為3,以坐標原點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓與直線y=x+2相切,則橢圓的離心率為( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 由題意得拋物線準線方程為x=-1,且橢圓被拋物線截得的弦長為3,
故橢圓過點,將該點代入橢圓方程,
得+=1,①
又點(0,0)到x-y+2=0的距離為a,
即=a,②
由②得a=2,代入①得b=.
故c==1,
所以其離心率e==.
二、填空題
9.橢圓+y2=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P為橢圓上一動點,若∠F1PF2為鈍角,則點P的橫坐標的取值范圍是________.
答案
解析 設橢圓上一點P的坐標為(x,y),
則=(x+,y),=(x-,y).
∵∠F1PF2為鈍角,∴<0,
即x2-3+y2<0,(*)
∵y2=1-,代入(*)式得x2-3+1-<0,
x2<2,∴x2<.
解得-1)的點的軌跡,給出下列三個結論:
①曲線C過坐標原點;②曲線C關于坐標原點對稱;③若點P在曲線C上,則△F1PF2的面積不大于a2.
其中所有正確結論的序號是__________.
答案?、冖?
解析 設曲線C上任一點P(x,y),由|PF1||PF2|=a2,可得=a2 (a>1),將原點(0,0)代入,等式不成立,故①不正確.
∵點P(x,y)在曲線C上,∴點P關于原點的對稱點為P′(-x,-y),將P′代入曲線C的方程,等式成立,故②正確.設∠F1PF2=θ,則=|PF1||PF2|sinθ=a2sinθ≤a2,故③正確.
三、解答題
12.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,其中左焦點為F(-2,0).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A,B且線段AB的中點M在圓x2+y2=1上,求m的值.
解 (1)由題意,得解得
∴橢圓C的方程為+=1.
(2)設點A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),線段AB的中點為M(x0,y0),
由消去y得,3x2+4mx+2m2-8=0,
Δ=96-8m2>0,∴-2<m<2,
∵x0==-,∴y0=x0+m=,
∵點M(x0,y0)在圓x2+y2=1上,
∴2+2=1,∴m=.
13.已知直線l:y=k(x+1)與拋物線y2=-x交于A,B兩點,O為坐標原點.
(1)若△OAB的面積為,求k的值;
(2)求證:以弦AB為直徑的圓必過原點.
(1)解 設A(x1,y1),B(x2,y2),原點O到直線AB的距離為d,聯(lián)立得化簡整理得k2x2+(2k2+1)x+k2=0,由題意知k≠0,
由根與系數(shù)的關系得,x1+x2=-,x1x2=1.
由弦長公式,得|AB|=|x1-x2|
=,
由點到直線距離公式得d=,
得S△OAB=|AB|d==,
解得k=.
(2)證明 ∵kOA=,kOB=,∴kOAkOB=.
∵y=-x1,y=-x2,∴x1x2=(y1y2)2,
∴kOAkOB=,
由
得ky2+y-k=0,∴y1y2=-1,
即kOAkOB=-1,∴OA⊥OB,
∴以弦AB為直徑的圓必過原點.
14.有一動圓P恒過定點F(a,0)(a>0)且與y軸相交于點A,B,若△ABP為正三角形,則點P的軌跡為( )
A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線
答案 D
解析 設P(x,y),動圓P的半徑為R,由于△ABP為正三角形.
∴P到y(tǒng)軸的距離d=R,即|x|=R.
而R=|PF|=,
∴|x|=.
整理得(x+3a)2-3y2=12a2,
即-=1.
∴點P的軌跡為雙曲線.
15.在平面直角坐標系xOy中,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,B為短軸的一個端點,E為橢圓C上的一點,滿足=+,且△EF1F2的周長為2(+1).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設點M是線段OF2上的一點,過點F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓C于P,Q兩點,若△MPQ是以M為頂點的等腰三角形,求點M到直線l的距離的取值范圍.
解 (1)由已知得F1(-c,0),不妨設B(0,b),
則=(-c,0),=(0,b),
所以=,即E.
又點E在橢圓C上,所以+=1,
得=.①
又△EF1F2的周長為2(+1),
所以2a+2c=2+2.②
由①②,得c=1,a=,所以b=1.
所以所求橢圓C的方程為+y2=1.
(2)設點M(m,0)(0
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2020版高中數(shù)學
第二章
圓錐曲線與方程
2.5
直線與圓錐曲線學案含解析新人教B版選修2-1
2020
高中數(shù)學
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