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微專題17 極值問題 [方法點撥]　(1)三力平衡下的極值問題，常用圖解法，將力的問題轉化為三角形問題，求某一邊的最短值．(2)多力平衡時求極值一般用解析法，由三角函數(shù)、二次函數(shù)、不等式求解．(3)摩擦鎖止現(xiàn)象． 1．(2018四川成都第七中學月考)如圖1所示，用細線相連的質量分別為2m、m的小球A、B在拉力F作用下，處于靜止狀態(tài)，且細線OA與豎直方向的夾角保持θ＝30不變，則拉力F的最小值為(　　) 圖1 A.mg B.mg C.mg D.mg 2.如圖2所示，質量均為m＝10 kg的A、B兩物體放在粗糙的水平木板上，中間用勁度系數(shù)為k＝5102 N/m的彈簧連接，剛開始時A、B兩物體處于平衡狀態(tài)，彈簧的壓縮量為Δx＝5 cm.已知兩物體與木板間的動摩擦因數(shù)均為μ＝，重力加速度g＝10 m/s2，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．現(xiàn)將木板的右端緩慢抬起，木板形成斜面，在木板緩慢抬起過程中，以下說法正確的是(　　) 圖2 A．A先開始滑動，A剛開始滑動時木板的傾角θ＝30 B．A先開始滑動，A剛開始滑動時木板的傾角θ＝60 C．B先開始滑動，B剛開始滑動時木板的傾角θ＝30 D．B先開始滑動，B剛開始滑動時木板的傾角θ＝60 3．(2018山東煙臺期中)如圖3所示，在水平板左端有一固定擋板，擋板上連接一輕質彈簧．緊貼彈簧放一質量為m的滑塊，此時彈簧處于自然長度．已知滑塊與水平板的動摩擦因數(shù)為(最大靜摩擦力與滑動摩擦力視為相等)．現(xiàn)將板的右端緩慢抬起使板與水平面間的夾角為θ，最后直到板豎直，此過程中彈簧彈力的大小F隨夾角θ的變化關系可能是(　　) 圖3 4. (2017山西太原模擬一)如圖4所示，質量為M的滑塊a，置于水平地面上，質量為m的滑塊b放在a上．二者接觸面水平．現(xiàn)將一方向水平向右的力F作用在b上．讓F從0緩慢增大，當F增大到某一值時，b相對a滑動，同時a與地面間摩擦力達到最大．已知a、b間的動摩擦因數(shù)為μ1，a與地面之間的動摩擦因數(shù)為μ2，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則μ1與μ2之比為(　　) 圖4 A. B. C. D. 5. (2017陜西商洛二模)如圖5所示，質量均為m的木塊A和B，用一個勁度系數(shù)為k的豎直輕質彈簧連接，最初系統(tǒng)靜止，現(xiàn)在用力緩慢拉A直到B剛好離開地面，則這一過程A上升的高度為(　　) 圖5 A. B. C. D. 6.如圖6所示，質量為M的斜劈傾角為θ，在水平面上保持靜止，當將一質量為m的木塊放在斜面上時正好勻速下滑．如果用與斜面成α角的力F拉著木塊沿斜面勻速上滑． 圖6 (1)求拉力F的大小； (2)若m＝1 kg，θ＝15，g＝10 m/s2，求F的最小值以及對應的α的取值． 答案精析 1．D　[因小球A、B處于靜止狀態(tài)，系統(tǒng)受到的合外力為零，對系統(tǒng)受力分析，如圖所示， 由圖中幾何關系可得：Fmin＝3mgsin θ＝mg，選項D正確．] 2．A　[木板水平時，由胡克定律可知彈簧的彈力F＝kΔx＝25 N，兩物體與木板間的最大靜摩擦力均為fmax＝μmg＝50 N，當木板抬高后傾角為θ時，對A：mgsin θ＋F＝fA，對B：mgsin θ＋fB＝F，在木板逐漸抬高的過程中，A所受的靜摩擦力逐漸增大，B所受的靜摩擦力先沿斜面向下逐漸減小后沿斜面向上逐漸增大，因此A所受靜摩擦力先達到最大靜摩擦力，A將先開始滑動，在A剛要滑動時，有mgsin θ＋F＝μmgcos θ，分別將θ＝30、θ＝60代入可知，A正確．] 3．C　[當θ角較小時，滑塊不能下滑壓縮彈簧，滑塊受重力G、斜面支持力N和斜面的靜摩擦力f而平衡，直到mgsin θ－μmgcos θ＝0，即θ＝為止，A、B錯誤；當θ＞時，滑塊下滑壓縮彈簧，在動態(tài)平衡過程中有F＋μmgcos θ－mgsin θ＝0，F(xiàn)＝mg(sin θ－μcos θ)＝mgsin(θ－φ)，tan φ＝μ，即φ＝，由此可知C正確，D錯誤．] 4．D 5．B　[最初A、B處于靜止狀態(tài)，而且彈簧處于壓縮狀態(tài)，根據平衡條件對A有kΔl1＝mg，B剛好離開地面時彈簧處于拉伸狀態(tài)，此時地面對B支持力為零，根據平衡條件對B有kΔl2＝mg，這一過程A上升的高度為Δl1＋Δl2＝.] 6．見解析 解析　(1)由木塊在斜面上勻速向下滑動，可得： mgsin θ＝μmgcos θ① 在拉力F作用下勻速向上滑動時，有： Fcos α＝mgsin θ＋f② Fsin α＋N＝mgcos θ③ f＝μN④ ①②③④聯(lián)立可解得：F＝⑤ (2)由⑤式可知：當α＝θ時，F(xiàn)有最小值．即： 當α＝15時，F(xiàn)有最小值．Fmin＝mgsin 2θ 代入題中已知數(shù)據，可解得：Fmin＝5 N.