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課時作業(yè)(三十六)　第36講　基本不等式 時間 /30分鐘　分值 /80分 基礎(chǔ)熱身 1.已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,則ab的最大值為 (　　) A.1 B.14 C.12 D.22 2.設(shè)x>0,y>0,且x+y=3,則2x+2y的最小值是 (　　) A.8 B.6 C.32 D.42 3.已知a,b∈R,且ab≠0,則下列結(jié)論恒成立的是 (　　) A.a+b≥2ab B.ab+ba≥2 C.ab+ba≥2 D.a2+b2>2ab 4.[2018河南平頂山一模] 若對于任意的x>0,不等式xx2+3x+1≤a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為 (　　) A.15,+∞ B.15,+∞ C.-∞,15 D.-∞,15 5.[2018北京朝陽區(qū)二模] 已知x>0,y>0,且滿足x+y=4,則lgx+lgy的最大值為　　　　. 能力提升 6.已知向量a=(1,x2),b=(-2,y2-2),若a,b共線,則xy的最大值為 (　　) A.22 B.1 C.2 D.22 7.[2018廣西南寧二中月考] 已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,則1x+13y的最小值是 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 8.設(shè)a>0,b>2,且a+b=3,則2a+1b-2的最小值是 (　　) A.6 B.22 C.42 D.3+22 9.[2018東北三省四市教研聯(lián)合體模擬] 在首項與公比相等的等比數(shù)列{an}中,aman2=a42(m,n∈N*),則2m+1n的最小值為 (　　) A.1 B.32 C.2 D.92 圖K36-1 10.《幾何原本》第二卷的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù),通過這一原理,很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明,也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖K36-1所示的圖形,點F在半圓O上,點C在半徑OB上,且OF⊥AB,設(shè)AC=a,BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為 (　　) A.a+b2≥ab(a>0,b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) C.2aba+b≤ab(a>0,b>0) D.a+b2≤a2+b22(a>0,b>0) 11.已知x>0,y>0,且2x4y=4,則xy的最大值為　　　　. 12.若a>b>0,則a2+14b(a-b)的最小值是　　　　. 13.[2018天津和平區(qū)二模] 已知ab>0,a+b=3,則b2a+2+a2b+1的最小值為　　　　. 14.[2018河北保定一模] 已知實數(shù)x,y滿足2x-y-2≥0,x+2y+2≥0,x-y≥0,若z=3x-2y取得最小值時的最優(yōu)解(x,y)滿足ax+by=2(ab>0),則a+4bab的最小值為　　　　. 難點突破 15.(5分)某工廠擬建一座平面圖為矩形,且面積為400平方米的三級污水處理池,如圖K36-2所示,池外圈造價為每米200元,中間兩條隔墻造價為每米250元,池底造價為每平方米80元(池壁的厚度忽略不計,且池?zé)o蓋).若使污水池的總造價最低,則污水池的長和寬分別為 (　　) 圖K36-2 A.40米,10米 B.20米,20米 C.30米,403 米 D.50米,8米 16.(5分)[2018天津重點中學(xué)聯(lián)考] 已知a,b∈R,且a是2-b與-3b的等差中項,則4ab2|a|+|b|的最大值為　　　　.  課時作業(yè)(三十六) 1.B　[解析] 因為a,b∈(0,+∞),所以1=a+b≥2ab,所以ab≤14,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時等號成立. 2.D　[解析] 因為x>0,y>0,且x+y=3,所以2x+2y≥22x2y=22x+y=223=42,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=32時,2x+2y取得最小值42. 3.C　[解析] 因為ab和ba同號,所以ab+ba=ab+ba≥2,當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|時等號成立. 4.A　[解析] 由x>0,得xx2+3x+1=1x+1x+3≤12x1x+3=15,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立,則a≥15. 5.2lg2　[解析] 因為x+y=4,x>0,y>0,所以xy≤x+y22=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時等號成立,因此lgx+lgy=lgxy≤lg4=2lg2. 6.A　[解析] 依題意得2x2+y2=2,因此2=2x2+y2≥22xy,從而-22≤xy≤22,故選A. 7.A　[解析] 因為x>0,y>0,且lg2x+lg8y=lg2x+3y=lg2,所以x+3y=1,則1x+13y=x+3yx+x+3y3y=2+3yx+x3y≥2+23yxx3y=4當(dāng)且僅當(dāng)3yx=x3y,即x=3y=12時取等號.故選A. 8.D　[解析]∵a>0,b>2,且a+b=3,∴a+b-2=1,∴2a+1b-2=2a+1b-2(a+b-2)=2+1+2(b-2)a+ab-2≥3+22,當(dāng)且僅當(dāng)a=2(b-2),即b=1+2,a=2-2時取等號,則2a+1b-2的最小值是3+22,故選D. 9.A　[解析] 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意可得a1=q,∵aman2=a42,∴a1qm-1(a1qn-1)2=(a1q3)2,即qmq2n=q8,因此m+2n=8.∴2m+1n=(m+2n)2m+1n18=2+mn+4nm+218≥(4+4)18=1,當(dāng)且僅當(dāng)m=2n=4時取等號,故選A. 10.D　[解析] 由圖可知OF=12AB=a+b2,OC=a-b2.在Rt△OCF中,由勾股定理可得CF=a+b22+a-b22=a2+b22.∵CF≥OF,∴a2+b22≥a+b2(a>0,b>0).故選D. 11.12　[解析]∵x>0,y>0,且2x4y=4,∴2x4y=2x+2y=22,∴x+2y=2,∴xy=12x2y≤12x+2y22=12,當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=12時取等號,∴xy的最大值為12. 12.2　[解析]∵a>b>0,∴a2+14b(a-b)≥a2+1(b+a-b)2=a2+1a2≥2a21a2=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=12時取等號,故所求最小值為2. 13.32　[解析]∵ab>0,a+b=3,∴a+2+b+1=6.則b2a+2+a2b+1=16[(a+2)+(b+1)]b2a+2+a2b+1=16a2+b2+b2(b+1)a+2+a2(a+2)b+1≥16(a2+b2+2ab)=16(a+b)2=32,當(dāng)且僅當(dāng)b(b+1)=a(a+2),即b=53,a=43時取等號. 14.9　[解析] 作出可行域如圖中陰影部分所示, 由圖可知,當(dāng)直線z=3x-2y經(jīng)過點A(2,2)時,z取得最小值,此時最優(yōu)解為(2,2),則2a+2b=2,即a+b=1,∴a+4bab=1b+4a=1b+4a(a+b)=5+ab+4ba≥5+2ab4ba=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時取等號,則a+4bab的最小值為9. 15.C　[解析] 設(shè)總造價為y元,污水池的長為x米,則寬為400x 米,總造價y=2x+2400x200+2250400x+80400=400x+900x+32000≥4002x900x+32000=56000(元),當(dāng)且僅當(dāng)x=900x,即x=30時等號成立,此時污水池的寬為403 米. 16.49　[解析]∵a是2-b與-3b的等差中項,∴2a=2-b-3b,可得a+2b=1.當(dāng)ab<0時,4ab2|a|+|b|<0,當(dāng)ab>0時,4ab2|a|+|b|>0,∴要使4ab2|a|+|b|有最大值,則ab>0.不妨設(shè)a>0,b>0(a<0,b<0時情況一樣),則4ab2|a|+|b|=4ab2a+b=1(12b+14a)(a+2b)=154+a2b+b2a≤154+2a2bb2a=154+1=49,當(dāng)且僅當(dāng)a2b=b2a,即a=b=13時等號成立,故4ab2|a|+|b|的最大值為49.