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第20講　坐標系與參數方程 1.[2016全國卷Ⅰ] 在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為x=acost,y=1+asint(t為參數,a>0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=4cosθ. (1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程; (2)直線C3的極坐標方程為θ=α0,其中α0滿足tanα0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a. [試做] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.[2017全國卷Ⅲ] 在直角坐標系xOy中,直線l1的參數方程為x=2+t,y=kt(t為參數),直線l2 的參數方程為x=-2+m,y=mk(m為參數).設l1與l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程; (2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設l3:ρ(cosθ+sinθ)-2=0,M為l3與C的交點,求M的極徑. [試做] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命題角度　坐標系與參數方程 (1)利用x=ρcosθ,y=ρsinθ以及ρ2=x2+y2可將極坐標方程與直角坐標方程互化. (2)化參數方程為普通方程的關鍵是消參,可以利用加減消元法、平方消元法、代入法等.在參數方程與普通方程的互化過程中,必須使兩種方程中的x,y的取值范圍保持一致. (3)解決極坐標問題的一般思路: ①將曲線的極坐標方程聯立,再根據限制條件求出極坐標; ②在對極坐標的意義和應用不太熟悉的時候,可將極坐標方程化為直角坐標方程,求出交點坐標,再將其化為極坐標. (4)解決坐標系與參數方程中求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時,一般方法是先分別化為普通方程或直角坐標方程后再求解,也可直接利用極坐標的幾何意義求解,解題時要結合題目自身特點,靈活選擇方程的類型. 解答1極坐標與簡單曲線的極坐標方程 1 在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:x+3y=53,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=4sinθ. (1)求直線l的極坐標方程和圓C的直角坐標方程; (2)射線OP:θ=π6(ρ≥0)與圓C的交點為O,A,與直線l的交點為B,求線段AB的長. [聽課筆記]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【考場點撥】 將直角坐標方程化為極坐標方程時,只要運用公式x=ρcosθ及y=ρsinθ,直接代入并化簡即可; 將極坐標方程化為直角坐標方程時,常用極坐標方程兩邊同乘(或同除以)ρ,將極坐標方程構造成含有ρsinθ,ρcosθ,ρ2的形式,然后利用公式代換化簡得到直角坐標方程. 【自我檢測】 以平面直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,且在兩種坐標系中取相同的長度單位.曲線C的極坐標方程是ρ2=161+3cos2θ. (1)求曲線C的直角坐標方程; (2)設曲線C與x軸正半軸及y軸正半軸交于點M,N,在第一象限內任取曲線C上一點P,求四邊形OMPN面積的最大值. 解答2簡單曲線的參數方程 2 已知曲線C的極坐標方程是ρ-4sinθ=0,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l過點M(1,0),傾斜角為3π4. (1)求曲線C的直角坐標方程與直線l的參數方程; (2)設直線l與曲線C交于A,B兩點,求|MA|+|MB|的值. [聽課筆記]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考場點撥】 高考中直線參數方程問題的注意點: (1)利用直線的參數方程x=x0+tcosθ,y=y0+tsinθ(t為參數)中參數的幾何意義求解時,若A,B為直線上兩點,其對應的參數分別為t1,t2,線段AB的中點為M,點M所對應的參數為t0,P(x0,y0),則以下結論在解題中經常用到:①t0=t1+t22;②|AB|=|t2-t1|;③|PA||PB|=|t1t2|. (2)用參數方程的幾何意義解題時,參數方程必須是標準形式,即滿足參數t前面的系數的平方和等于1,否則會出現錯誤. 【自我檢測】 在直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為x=1+tcosθ,y=3+tsinθ,t為參數,θ∈[0,π).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=8sinθ+π6. (1)求圓C的圓心的直角坐標; (2)設點P(1,3),若直線l與圓C交于A,B兩點,求證:|PA||PB|為定值,并求出該定值. 解答3極坐標與參數方程的綜合應用 3 在直角坐標系xOy中,曲線C1:x=3cosθ,y=sinθ(θ為參數),在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ(cosθ-sinθ)=4. (1)寫出曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程; (2)若曲線C1上有一動點M,曲線C2上有一動點N,求|MN|最小時M點的坐標. [聽課筆記]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考場點撥】 高考中利用參數解題的幾點應用: (1)在圓錐曲線截直線的弦長問題中的應用.這類問題通常是過某一定點作一直線與圓錐曲線相交于A,B兩點,所求問題與定點到A,B兩點的距離有關,主要利用定點在直線AB上以及參數t的幾何意義,結合根與系數的關系進行處理. (2)解決中點問題.可利用t0=t1+t22結合t的幾何意義去解決. (3)與直線有關的最值、范圍問題.這類問題主要是線段的兩個端點在圓錐曲線上,求相應的最大值和最小值問題.解決此類問題時可以先利用參數方程中的參數去表示,然后利用三角函數的相關知識求解. 【自我檢測】 以平面直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,并在兩種坐標系中取相同的長度單位.曲線C1的極坐標方程為ρsin2θ-4cosθ=0,曲線C2的參數方程為x=-1+2cosφ,y=2sinφ(φ為參數). (1)求曲線C1的直角坐標方程及曲線C2的普通方程; (2)已知點P12,0,直線l的參數方程為x=12+22t,y=22t(t為參數),設直線l與曲線C1 交于M,N兩點,求1|PM|+1|PN|的值.  模塊七　選考模塊 第20講　坐標系與參數方程 典型真題研析 1.解:(1)消去參數t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓. 將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為ρ2-2ρsinθ+1-a2=0. (2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組 ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,ρ=4cosθ. 若ρ≠0,則由方程組得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,由已知tanθ=2, 可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1. 當a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上, 所以a=1. 2.解:(1)消去參數t得l1的普通方程l1:y=k(x-2),消去參數m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2). 設P(x,y),由題設得y=k(x-2),y=1k(x+2),消去k得x2-y2=4(y≠0), 所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0). (2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 聯立ρ2(cos2θ-sin2θ)=4,ρ(cosθ+sinθ)-2=0,得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ). 故tanθ=-13,從而cos2θ=910,sin2θ=110. 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交點M的極徑為5. 考點考法探究 解答1 例1　解:(1)在x+3y=53中,令x=ρcosθ,y=ρsinθ, 得ρcosθ+3ρsinθ=53,化簡得2ρsinθ+π6=53, 即為直線l的極坐標方程. 由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ,又ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,所以x2+y2=4y, 即x2+(y-2)2=4,即為圓C的直角坐標方程. (2)由題知ρA=4sinπ6=2, ρB=532sin(π6+π6)=5, 所以|AB|=|ρA-ρB|=3. 【自我檢測】 解:(1)ρ2=161+3cos2θ可變形為ρ2+3ρ2cos2θ=16, 又∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x, ∴x2+y2+3x2=16, ∴曲線C的直角坐標方程為x24+y216=1. (2)由已知和(1)可得M(2,0),N(0,4),設P(2cosα,4sinα),α∈0,π2, 則S四邊形OMPN=S△OMP+S△ONP=1224sinα+1242cosα=4sinα+4cosα=42sinα+π4, 由α∈0,π2,得α+π4∈π4,3π4, 于是42sinα+π4≤42,當且僅當α+π4=π2,即α=π4時取等號, ∴四邊形OMPN面積的最大值為42. 解答2 例2　解:(1)因為ρ-4sinθ=0,所以ρ2=4ρsinθ,所以x2+y2=4y,即曲線C的直角坐標方程為x2+(y-2)2=4. 直線l的參數方程為x=1+tcos3π4,y=tsin3π4(t為參數), 即x=1-22t,y=22t(t為參數). (2)設點A,B對應的參數分別為t1,t2, 將直線l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程得1-22t2+22t-22=4, 整理得t2-32t+1=0,所以t1+t2=32,t1t2=1, 所以t1>0,t2>0, 所以|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32. 【自我檢測】 解:(1)由ρ=8sinθ+π6得ρ2=43ρsinθ+4ρcosθ,所以圓C的直角坐標方程為x2+y2-4x-43y=0,圓心C的坐標為(2,23). (2) 證明:將x=1+tcosθ,y=3+tsinθ代入x2+y2-4x-43y=0, 整理得t2-(23sinθ+2cosθ)t-12=0, 設點A,B所對應的參數分別為t1,t2,則t1t2=-12, ∵P(1,3),∴|PA||PB|=|t1t2|=12,為定值. 解答3 例3　解:(1)由題知曲線C1的普通方程為x29+y2=1. 由ρ(cosθ-sinθ)=4及x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐標方程為x-y-4=0. (2)設M(3cosα,sinα),結合圖像可知,|MN|的最小值即為點M到直線C2的距離的最小值. ∵點M到直線C2的距離d=|3cosα-sinα-4|2=|10cos(α+φ)-4|2,其中tanφ=13, ∴當cos(α+φ)=1時,d最小,即|MN|最小. 此時,3cosα-sinα=10,結合sin2α+cos2α=1可得cosα=31010,sinα=-1010. 即此時M點的坐標為91010,-1010. 【自我檢測】 解:(1)因為ρsin2θ-4cosθ=0, 所以ρ2sin2θ-4ρcosθ=0,所以y2=4x,即曲線C1的直角坐標方程為y2=4x. 因為x=-1+2cosφ,y=2sinφ,所以(x+1)2+y2=4,即曲線C2的普通方程為(x+1)2+y2=4. (2)將直線l的參數方程x=12+22t,y=22t代入y2=4x,整理得t2-42t-4=0, 設M,N兩點對應的參數分別為t1,t2, 則t1+t2=42,t1t2=-4, 所以1|PM|+1|PN|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1t2|=|t1-t2||t1t2|=(t1+t2)2-4t1t2|t1t2|=3. [備選理由] 在解決取值范圍問題時常用三角函數,備用例1是對例3應用的一個補充. 例1　[配例3使用] 在平面直角坐標系xOy中,直線l經過點P(-3,0),其傾斜角為α,以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,且在兩種坐標系中取相同的長度單位,已知曲線C的極坐標方程為ρ2-2ρcosθ-3=0. (1)若直線l與曲線C有公共點,求傾斜角α的取值范圍; (2)設M(x,y)為曲線C上任意一點,求x+y的取值范圍. 解:(1)將曲線C的極坐標方程ρ2-2ρcosθ-3=0化為直角坐標方程為x2+y2-2x-3=0, 直線l的參數方程為x=-3+tcosα,y=tsinα(t為參數), 將直線l的參數方程代入x2+y2-2x-3=0,整理得t2-8tcosα+12=0, ∵直線l與曲線C有公共點,∴Δ=64cos2α-48≥0, ∴cosα≥32或cosα≤-32,又∵α∈[0,π), ∴α的取值范圍是0,π6∪5π6,π. (2)曲線C的直角坐標方程x2+y2-2x-3=0可化為(x-1)2+y2=4, 其參數方程為x=1+2cosθ,y=2sinθ(θ為參數). ∵M(x,y)為曲線C上任意一點, ∴x+y=1+2cosθ+2sinθ=1+22sinθ+π4, ∴x+y的取值范圍是[1-22,1+22].