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高考大題專項練一 高考中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
1.(2018北京,文19)設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.
(1)若曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線斜率為0,求a;
(2)若f(x)在x=1處取得極小值,求a的取值范圍.
解(1)因為f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,
所以f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,f(2)=(2a-1)e2.
由題設(shè)知f(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=12.
(2)由(1)得f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.
若a>1,則當(dāng)x∈1a,1時,f(x)<0;
當(dāng)x∈(1,+∞)時,f(x)>0.
所以f(x)在x=1處取得極小值.
若a≤1,則當(dāng)x∈(0,1)時,ax-1≤x-1<0,
所以f(x)>0.
所以1不是f(x)的極小值點.
綜上可知,a的取值范圍是1,+∞.
2.(2018全國Ⅲ,文21)已知函數(shù)f(x)=ax2+x-1ex.
(1)求曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程;
(2)證明:當(dāng)a≥1時,f(x)+e≥0.
(1)解f(x)=-ax2+(2a-1)x+2ex,f(0)=2.
因此曲線y=f(x)在(0,-1)處的切線方程是2x-y-1=0.
(2)證明當(dāng)a≥1時,f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x.
令g(x)=x2+x-1+ex+1,則g(x)=2x+1+ex+1.
當(dāng)x<-1時,g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x>-1時,g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
所以g(x)≥g(-1)=0.
因此f(x)+e≥0.
3.已知函數(shù)f(x)=ln x+12ax2-x-m(m∈Z).
(1)若f(x)是增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)若a<0,且f(x)<0恒成立,求m的最小值.
解(1)f(x)=1x+ax-1,依題設(shè)可得a≥1x-1x2max,
而1x-1x2=-1x-122+14≤14,當(dāng)x=2時,等號成立.
所以a的取值范圍是14,+∞.
(2)由(1)可知f(x)=1x+ax-1=ax2-x+1x,
設(shè)g(x)=ax2-x+1,則g(0)=1>0,g(1)=a<0,
g(x)=ax-12a2+1-14a在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.
因此g(x)在(0,1)內(nèi)有唯一的解x0,使得ax02=x0-1,
而且當(dāng)0
0,當(dāng)x>x0時,f(x)<0,
所以f(x)≤f(x0)=lnx0+12ax02-x0-m
=lnx0+12(x0-1)-x0-m=lnx0-12x0-12-m.
設(shè)r(x)=lnx-12x-12-m,
則r(x)=1x-12=2-x2x>0.
所以r(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增.
所以r(x)0,
由f(x)>0,得02;
由f(x)<0,得12時,f(x)>0.
所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)證明當(dāng)a≥1e時,f(x)≥exe-lnx-1.
設(shè)g(x)=exe-lnx-1,則g(x)=exe-1x.
當(dāng)01時,g(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值點.
故當(dāng)x>0時,g(x)≥g(1)=0.
因此,當(dāng)a≥1e時,f(x)≥0.
6.定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=x2+x,g(x)=13x3-2x+m.
(1)求函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程;
(2)若f(x)≥g(x)對任意的x∈[-4,4]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
解(1)∵f(x)=x2+x,∴當(dāng)x=1時,f(1)=2,
∵f(x)=2x+1,∴f(1)=3,
∴所求切線方程為y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.
(2)令h(x)=g(x)-f(x)=13x3-x2-3x+m,
則h(x)=(x-3)(x+1).
∴當(dāng)-40;
當(dāng)-10.
要使f(x)≥g(x)恒成立,即h(x)max≤0,
由上知h(x)的最大值在x=-1或x=4處取得,
而h(-1)=m+53,h(4)=m-203,
故m+53≤0,即m≤-53,
故實數(shù)m的取值范圍為-∞,-53.
7.已知函數(shù)f(x)=12ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)g(x)=x2-2x,若對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)0).
(1)f(x)=(ax-1)(x-2)x(x>0).
①當(dāng)a≤0時,x>0,ax-1<0,在區(qū)間(0,2)內(nèi),f(x)>0,在區(qū)間(2,+∞)內(nèi),f(x)<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+∞).
②當(dāng)02,在區(qū)間(0,2)和1a,+∞內(nèi),f(x)>0,在區(qū)間2,1a內(nèi),f(x)<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)和1a,+∞,單調(diào)遞減區(qū)間是2,1a.
③當(dāng)a=12時,f(x)=(x-2)22x,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞).
④當(dāng)a>12時,0<1a<2,在區(qū)間0,1a和(2,+∞)內(nèi),f(x)>0,在區(qū)間1a,2內(nèi),f(x)<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是0,1a和(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是1a,2.
(2)對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)ln2-1.
故ln2-112時,f(x)在0,1a上單調(diào)遞增,在1a,2上單調(diào)遞減,
故f(x)max=f1a=12a-(2a+1)1a+2ln1a=-12a-2-2lna<0因為當(dāng)a>12時,12a+2lna>12a+2lne-1=12a-2>-2.
故a>12時滿足題意.
綜上,a的取值范圍為(ln2-1,+∞).
8.設(shè)a,b∈R,|a|≤1.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知函數(shù)y=g(x)和y=ex的圖象在公共點(x0,y0)處有相同的切線,
①求證:f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0;
②若關(guān)于x的不等式g(x)≤ex在區(qū)間[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范圍.
解(1)由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,
可得f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)].
令f(x)=0,解得x=a或x=4-a.由|a|≤1,得a<4-a.
當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,a)
(a,4-a)
(4-a,+∞)
f(x)
+
-
+
f(x)
↗
↘
↗
所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,a),(4-a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,4-a).
(2)①證明:因為g(x)=ex(f(x)+f(x)),
由題意知g(x0)=ex0,g(x0)=ex0,
所以f(x0)ex0=ex0,ex0(f(x0)+f(x0))=ex0,
解得f(x0)=1,f(x0)=0.所以,f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0.
②因為g(x)≤ex,x∈[x0-1,x0+1],
由ex>0,可得f(x)≤1.
又因為f(x0)=1,f(x0)=0,故x0為f(x)的極大值點,由(1)知x0=a.
另一方面,由于|a|≤1,故a+1<4-a,由(1)知f(x)在(a-1,a)內(nèi)單調(diào)遞增,在(a,a+1)內(nèi)單調(diào)遞減,
故當(dāng)x0=a時,f(x)≤f(a)=1在[a-1,a+1]上恒成立,從而g(x)≤ex在[x0-1,x0+1]上恒成立.
由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1,
得b=2a3-6a2+1,-1≤a≤1.
令t(x)=2x3-6x2+1,x∈[-1,1],
所以t(x)=6x2-12x,
令t(x)=0,解得x=2(舍去)或x=0.
因為t(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,
所以t(x)的值域為[-7,1].
故b的取值范圍是[-7,1].
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