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安徽省長(zhǎng)豐縣高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案 新人教A版選修11

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安徽省長(zhǎng)豐縣高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案 新人教A版選修11_第1頁(yè)
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安徽省長(zhǎng)豐縣高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案 新人教A版選修11_第2頁(yè)
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1、 3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 (共 2 課時(shí)) 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 1.理解極大值、極小值的概念; 2.能夠運(yùn)用判別極大值、極小值的方法來(lái)求函數(shù)的極值; 3.掌握求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):極大、極小值的概念和判別方法,以及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟. 教學(xué)難點(diǎn):對(duì)極大、極小值概念的理解及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過(guò)程 一、導(dǎo)入新課: 觀察圖3.3-8,我們發(fā)現(xiàn),時(shí),高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員距水面高度最大.那么,函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是多少呢?此點(diǎn)附近的圖像有什么特點(diǎn)?相應(yīng)

2、地,導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么變化規(guī)律? 放大附近函數(shù)的圖像,如圖3.3-9.可以看出;在,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,;這就說(shuō)明,在附近,函數(shù)值先增(,)后減(,).這樣,當(dāng)在的附近從小到大經(jīng)過(guò)時(shí),先正后負(fù),且連續(xù)變化,于是有. 對(duì)于一般的函數(shù),是否也有這樣的性質(zhì)呢? 附:對(duì)極大、極小值概念的理解,可以結(jié)合圖象進(jìn)行說(shuō)明.并且要說(shuō)明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的. 從圖象觀察得出,判別極大、極小值的方法.判斷極值點(diǎn)的關(guān)鍵是這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào) 二、講授新課: 1.問(wèn)題:圖3.3-1(1),它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像,圖3.3-1(2)表示高臺(tái)跳水運(yùn)

3、動(dòng)員的速度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像. 運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn),以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別? 通過(guò)觀察圖像,我們可以發(fā)現(xiàn): (1) 運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)到最高點(diǎn),離水面的高度隨時(shí)間的增加而增加,即是增函數(shù).相應(yīng)地,. (2) 從最高點(diǎn)到入水,運(yùn)動(dòng)員離水面的高度隨時(shí)間的增加而減少,即是減函數(shù).相應(yīng)地,. 2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 觀察下面函數(shù)的圖像,探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系. 如圖3.3-3,導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率.在處,,切線是“左下右上”式的,這時(shí),函數(shù)在附近單調(diào)遞增;在處,,切線是“左上右下”式的,這時(shí),函數(shù)在附近單調(diào)遞減. 結(jié)論:函數(shù)的單調(diào)性

4、與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 說(shuō)明:(1)特別的,如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常函數(shù). 3.求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟: (1)確定函數(shù)的定義域; (2)求導(dǎo)數(shù); (3)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間; (4)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間. 三.典例分析 例1.(課本例4)求的極值 解: 因?yàn)椋? 。 下面分兩種情況討論: (1)當(dāng)>0,即,或時(shí); (2)當(dāng)<0,即時(shí). 當(dāng)x變化時(shí), ,的變化情況如下表: -2 (-2,2) 2 + 0 -

5、 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 因此,當(dāng)時(shí),有極大值,并且極大值為; 當(dāng)時(shí),有極小值,并且極小值為。 函數(shù)的圖像如圖所示。 例2求y=(x2-1)3+1的極值 解:y′=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2 令y′=0解得x1=-1,x2=0,x3=1 當(dāng)x變化時(shí),y′,y的變化情況如下表 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 - 0 - 0 + 0 + ↘ 無(wú)極值 ↘ 極小值0 ↗ 無(wú)極值 ↗ ∴當(dāng)x=0時(shí),y有極小值且y極

6、小值=0 1.極大值: 一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有f(x)<f(x0),就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值,記作y極大值=f(x0),x0是極大值點(diǎn) 2.極小值:一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有f(x)>f(x0).就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值,記作y極小值=f(x0),x0是極小值點(diǎn) 3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值注意以下幾點(diǎn): (?。O值是一個(gè)局部概念由定義,極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小 (ⅱ)函數(shù)的極值不

7、是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè) (ⅲ)極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值,如下圖所示,是極大值點(diǎn),是極小值點(diǎn),而> (ⅳ)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn) 而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部,也可能在區(qū)間的端點(diǎn) 4. 判別f(x0)是極大、極小值的方法: 若滿足,且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào),則是的極值點(diǎn),是極值,并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”,則是的極大值點(diǎn),是極大值;如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”,則是的極小值點(diǎn),是極小值 5. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定

8、義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間,并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值;如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值 如果函數(shù)在某些點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo),也需要考慮這些點(diǎn)是否是極值點(diǎn) 四、鞏固練習(xí): 1.求下列函數(shù)的極值. (1)y=x2-7x+6 (2)y=x3-27x (1)解:y′=(x2-7x+6)′=2x-7 令y′=0,解得x=. 當(dāng)x變化時(shí),

9、y′,y的變化情況如下表. - 0 + ↘ 極小值 ↗ ∴當(dāng)x=時(shí),y有極小值,且y極小值=-. (2)解:y′=(x3-27x)′=3x2-27=3(x+3)(x-3) 令y′=0,解得x1=-3,x2=3. 當(dāng)x變化時(shí),y′,y的變化情況如下表. -3 (-3,3) 3 + 0 - 0 + ↗ 極大值54 ↘ 極小值-54 ↗ ∴當(dāng)x=-3時(shí),y有極大值,且y極大值=54. 當(dāng)x=3時(shí),y有極小值,且y極小值=-54 課堂小結(jié): 函數(shù)的極大、極小值的定義以及判別方法.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極

10、值的三個(gè)步驟.還有要弄清函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的,在整個(gè)定義區(qū)間可能有多個(gè)極值,且要在這點(diǎn)處連續(xù).可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),要看這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否異號(hào).函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)可能是極值點(diǎn) 布置作業(yè): P98—99 4,5 板書設(shè)計(jì) 3. 3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 1. 極大值與極小值的概念 2. 判別f(x0)是極大、極小值的方法 3. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間,并列成表格

11、.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值;如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值。 例1、例2 教學(xué)反思 在給出極值概念后,要比較、區(qū)分極值與最值的關(guān)系與區(qū)別,求極值時(shí)一定要學(xué)生注意判斷在導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的兩側(cè)的符號(hào),只有導(dǎo)函數(shù)異號(hào)時(shí),相的點(diǎn)才是極值點(diǎn)。 利用導(dǎo)數(shù)求極值是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用,要補(bǔ)充一定量的練習(xí)讓學(xué)生熟練掌握。對(duì)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)可能是極值點(diǎn)不做要求。 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài),需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式,改變粗放式增長(zhǎng)模式,不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展,推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化,推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。

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