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齊齊哈爾市2017—2018學(xué)年度高一下學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)試卷 第Ⅰ卷（共60分） 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 已知集合，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：化簡(jiǎn)集合A，然后求交集即可. 詳解：由題意可知：，又 ∴ 故選：D 點(diǎn)睛：本題考查交集及其運(yùn)算，以及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題． 2. 《張丘建算經(jīng)》中女子織布問(wèn)題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從第天開(kāi)始，每天比前一天多織相同量的布，已知第一天織尺布，一個(gè)月（按天計(jì)）共織尺布，則從第天起每天比前一天多織布（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】D 【解析】依題意可知這是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，解得. 3. 若三點(diǎn)、、共線(xiàn)，則有（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】因?yàn)槿c(diǎn), ,共線(xiàn)，所以 ， 因此選C. 4. 已知角為第二象限角，且，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得tana，代入二倍角的正切公式可得． 詳解：∵a是第二象限角，且sina=， ∴cosa=﹣=， ∴tana==， ∴tan2a==2= 故選：A． 點(diǎn)睛：本題考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 5. 在中，若，則與的關(guān)系為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：利用正弦定理及大邊對(duì)大角即可得到結(jié)果. 詳解：由正弦定理知， ∵sinA＞sinB， ∴a＞b， ∴A＞B． 故選：B． 點(diǎn)睛：本題考查了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 6. 在等比數(shù)列中，已知，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可. 詳解：設(shè)公比為q， ∵，， ∴a3+a3q2+a3q4=21， ∴3+3q2+3q4=21， 解得q2=2 ∴a5=a3q2=32=6， 故選：A ． 點(diǎn)睛：比數(shù)列的基本量運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略： ①化基本量求通項(xiàng)．求等比數(shù)列的兩個(gè)基本元素和，通項(xiàng)便可求出，或利用知三求二，用方程求解． ②化基本量求特定項(xiàng)．利用通項(xiàng)公式或者等比數(shù)列的性質(zhì)求解． ③化基本量求公比．利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，建立方程組求解． ④化基本量求和．直接將基本量代入前項(xiàng)和公式求解或利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解 7. 已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由向量垂直的條件：即數(shù)量積為0，結(jié)合向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到t． 詳解：由（+）⊥（+t）， 可得（+）?（+t）=0， 即有+t+（1+t）=0， 又，， 即4+4t﹣（1+t）=0， 解得t=﹣1． 故選：C． 點(diǎn)睛：本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 8. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，且，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由圖象可得A=1，由周期公式可得=2，代入點(diǎn)（，0）可得值，進(jìn)而可得f（x）=sin（2x+），再由題意可得x1+x2=，代入計(jì)算可得． 詳解：由圖象可得A=1，=，解得=2， ∴f（x）=sin（2x+）， 代入點(diǎn)（，0）可得sin（+）=0 ∴+ =kπ，∴ =kπ﹣，k∈Z 又| |＜，∴ =， ∴f（x）=sin（2x+）， ∴sin（2+）=1，即圖中點(diǎn)的坐標(biāo)為（，1）， 又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2）， ∴x1+x2=2=， ∴f（x1+x2）=sin（2+）=， 故選：B． 點(diǎn)睛：已知函數(shù)的圖象求解析式 (1). (2)由函數(shù)的周期求 (3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求. 9. 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x+（x＞0）和g（x）=﹣t，相當(dāng)于函數(shù)在x＞0時(shí)，圖象有兩個(gè)交點(diǎn). 詳解：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)， ∴h（x）=x+（x＞0）和g（x）=﹣t有兩個(gè)交點(diǎn)， ∵h(yuǎn)（x）=x+≥2=， ∴﹣t＞， ∴t＜﹣． 故選：D． 點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決； (3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 10. 已知直三棱柱中，，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 詳解：如圖所示，設(shè)M、N、P分別為AB，BB1和B1C1的中點(diǎn)， 則AB1、BC1夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角 （因異面直線(xiàn)所成角為（0，]）， 可知MN=AB1=，NP=BC1=； 作BC中點(diǎn)Q，則△PQM為直角三角形； ∵PQ=1，MQ=AC， △ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=4+1﹣221（﹣）=7， ∴AC=，∴MQ=； 在△MQP中，MP==； 在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣； 又異面直線(xiàn)所成角的范圍是（0，]， ∴AB1與BC1所成角的余弦值為． 點(diǎn)睛：求異面直線(xiàn)所成角的步驟:1平移,將兩條異面直線(xiàn)平移成相交直線(xiàn)．2定角,根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的定義找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函數(shù)求角．4結(jié)論． 11. 若等邊的邊長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，且上一點(diǎn)滿(mǎn)足：，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 詳解：如圖，可知，x＞0，y＞0； ∵M(jìn)，A，B三點(diǎn)共線(xiàn)，且； ∴x+y=1； ∴= ≥10+，當(dāng)，即3y=x時(shí)取“=”，即取最小值； 此時(shí)x=，； ∵N是AB的中點(diǎn)； ∴ = ==． 故選：C． 點(diǎn)睛：考查向量加法的平行四邊形法則，三點(diǎn)A，B，C共線(xiàn)的充要條件：，且x+y=1，基本不等式的運(yùn)用，注意基本不等式等號(hào)成立的條件，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式． 12. 已知函數(shù)若對(duì)任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：對(duì)任意的x1、x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）?f（x）max≤g（x）min，分別求出最值即可得出． 詳解：對(duì)任意的x1、x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）?f（x）max≤g（x）min， 注意到，又g（x）=|a﹣2|sinx≥﹣|a﹣2|， 故． 故選：D． 點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空題（每題5分，滿(mǎn)分20分，將答案填在答題紙上） 13. 函數(shù)的最大值是__________． 【答案】 【解析】分析：利用兩角和正弦公式簡(jiǎn)化為y=，從而得到函數(shù)的最大值. 詳解：y=sinx+cosx==． ∴函數(shù)的最大值是 故答案為： 點(diǎn)睛：本題考查了兩角和正弦公式，考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題. 14. 設(shè)是定義在上的周期為的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間上的圖象，則__________． 【答案】2 【解析】分析：由題意結(jié)合函數(shù)的周期性和函數(shù)的圖象整理計(jì)算即可求得結(jié)果． 詳解：由題意可得： f（2018）=f（2018﹣6733）=f（﹣1）=2， f（2019）=f（2019﹣6733）=f（0）=0， 則． 故選：D． 點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的周期性，函數(shù)的圖象表示法等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題． 15. 設(shè)，滿(mǎn)足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)__________． 【答案】1 【解析】分析：先作出不等式組的圖象，利用目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入 =0即可． 詳解：先作出不等式組的圖象如圖， ∵目標(biāo)函數(shù)的最大值為2， ∴z= =2，作出直線(xiàn) =2， 由圖象知 =2如平面區(qū)域相交A， 由得，即A（，）， 同時(shí)A（，）也在直線(xiàn) =0上， ∴2﹣3 =0， 則b=1， 故答案為：1． 點(diǎn)睛：本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及目標(biāo)函數(shù)的意義是解決本題的關(guān)鍵． 16. 已知三棱錐中，頂點(diǎn)在底面的射影為.給出下列命題： ①若、、兩兩互相垂直，則為的垂心； ②若、、兩兩互相垂直，則有可能為鈍角三角形； ③若，且與重合，則三棱錐的各個(gè)面都是直角三角形； ④若，且為邊的中點(diǎn)，則. 其中正確命題的序號(hào)是__________．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上） 【答案】①③④ 【解析】分析：利用線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)定理逐一判斷即可. 詳解： 若PA，PB，PC兩兩互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，①正確； 若、、兩兩互相垂直，P在底面是射影H在△ABC的內(nèi)部，是三角形ABC的垂心，所以不可能是鈍角三角形，②不正確； 若與重合則PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC， 又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC， 故四個(gè)面都是直角三角形，③正確； 當(dāng)PH⊥平面ABC時(shí)，PA2=PH2+HA2， PB2=PH2+BH2，PC2=PH2+CH2， 因?yàn)镠是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，所以BH=AH=CH， 故PA=PB=PC，故④正確； 點(diǎn)睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型. (1)證明線(xiàn)面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)平行. (2)證明線(xiàn)面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)垂直. (3)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直. 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17. 已知直線(xiàn)及點(diǎn). （1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程； （2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為直線(xiàn)的傾斜角的倍的直線(xiàn)方程. 【答案】（1）（2） 【解析】分析：（1）根據(jù)平行關(guān)系求出直線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式求出方程即可； （2）利用二倍角正切公式求出直線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式求出方程即可. 詳解：（答案一）解：（1）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則． 因?yàn)樗笾本€(xiàn)與平行，所以所求直線(xiàn)的斜率， 又所求直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以所求直線(xiàn)方程為． （2）依題意，所求直線(xiàn)的斜率． 又所求直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以所求直線(xiàn)方程為． （答案二）解：（1）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則． 因?yàn)樗笾本€(xiàn)與平行，所以所求直線(xiàn)的斜率， 又所求直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以所求直線(xiàn)方程為，即． （2）依題意，所求直線(xiàn)的斜率． 又所求直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以所求直線(xiàn)方程為， 即． 點(diǎn)睛：本題考查了求直線(xiàn)方程問(wèn)題，考查直線(xiàn)的傾斜角問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題． 18. 已知是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1）（2） 【解析】分析：（1）依題意，可求得等比數(shù)列{an}的公比q=2，又a1=2，于是可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2），利用裂項(xiàng)相消法求和即可. 詳解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為， 依題意，有整理得，解得（舍去），． 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為． （2）由（1）知 所以． 所以． 點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧： (1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤. 19. 如圖，三棱柱中，點(diǎn)為的中點(diǎn). （1）求證：平面； （2）若底面為正三角形，，，側(cè)面底面，，求四棱錐的體積. 【答案】（1）見(jiàn)解析（2） 【解析】分析：(1) 連結(jié)，設(shè)，連結(jié)．要證平面，轉(zhuǎn)證∥即可； （2）因?yàn)閭?cè)面底面，所以正的高就是點(diǎn)到平面的距離, 故，帶入體積公式即可得到結(jié)果. 詳解：證明：（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)． 因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，所以為中點(diǎn)，從而為的中位線(xiàn)，所以∥． 因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面? （2）因?yàn)閭?cè)面底面，所以正的高就是點(diǎn)到平面的距離, 也就是四棱錐的高，由條件得． 因?yàn)?，所以，所以四棱錐的底面積． 所以四棱錐的體積． 點(diǎn)睛：求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，注意求體積的一些特殊方法——分割法、補(bǔ)形法、等體積法. ①割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決．②等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過(guò)已知條件可以得到，利用等積法可以用來(lái)求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí)，這一方法回避了通過(guò)具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過(guò)直接計(jì)算得到高的數(shù)值 20. 在中，角、、的對(duì)邊分別是、、，若、、成等差數(shù)列. （1）求角的大小； （2）若，，求的面積. 【答案】（1）（2） 【解析】分析：（1）由等差數(shù)列和正弦定理以及和差角的三角函數(shù)公式可得cosB，由三角形的內(nèi)角的范圍可得B=； （2）把已知數(shù)代入余弦定理整體可得ac=6，代入三角形的面積公式可得． 詳解：（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以， 由正弦定理得，即， 因?yàn)椋?，又，所以? （2）由余弦定理：， 得，即． 因?yàn)椋裕? 所以． 點(diǎn)睛：本題考查正余弦定理解三角形，涉及整體思想和三角形的面積公式，屬于中檔題． 21. 如圖，四棱錐中，底面，，，. （1）若，求證：平面平面； （2）若，且，，求直線(xiàn)和平面所成角的正切值. 【答案】（1）見(jiàn)解析（2） 【解析】分析：（1）設(shè)，由條件推斷出AC⊥BD，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)推斷出PA⊥BD，進(jìn)而利用線(xiàn)面垂直的判定定理推斷出BD⊥平面PAC，又BD?平面PBD，推斷出平面PBD⊥平面PAC． （2）取點(diǎn)，使，連，則∥，連．因?yàn)榈酌?，所以底面，所以就是直線(xiàn)與平面所成的角． 詳解：證明：（1）設(shè)，若，則，從而∽， 所以，即． 因?yàn)榈酌妫裕? 又，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫? （2）取點(diǎn)，使，連，則∥，連． 因?yàn)榈酌妫缘酌?，所以就是直線(xiàn)與平面所成的角． 因?yàn)?，所以，所以，，，，在中，根?jù)余弦定理，， 得，解得． 所以．所以當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角的正切值為． 點(diǎn)睛：求直線(xiàn)和平面所成角的關(guān)鍵是作出這個(gè)平面的垂線(xiàn)進(jìn)而斜線(xiàn)和射影所成角即為所求，有時(shí)當(dāng)垂線(xiàn)較為難找時(shí)也可以借助于三棱錐的等體積法求得垂線(xiàn)長(zhǎng)，進(jìn)而用垂線(xiàn)長(zhǎng)比上斜線(xiàn)長(zhǎng)可求得所成角的正弦值，當(dāng)空間關(guān)系較為復(fù)雜時(shí)也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解. 22. 平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，距離之比為常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做阿波羅尼斯圓.現(xiàn)已知定點(diǎn)、，圓心為， （1）求滿(mǎn)足上述定義的圓的方程，并指出圓心的坐標(biāo)和半徑； （2）若，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線(xiàn)的方程. 【答案】（1）見(jiàn)解析（2） 【解析】分析：（1）根據(jù)定義建立等量關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得到圓的方程，進(jìn)而指出圓心的坐標(biāo)和半徑； （2）設(shè)，則的面積，根據(jù)正弦函數(shù)的最值得到結(jié)果. 詳解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則， 整理得，圓心，半徑． （2）解法一：在（1）的結(jié)果中，令，則得圓的方程為，即. 設(shè)，則的面積． 當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值8． 此時(shí)，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)其方程為，圓心到直線(xiàn)的距離，整理得，解得． 所以直線(xiàn)的方程為． （2）解法二：在（1）的結(jié)果中，令，則得圓的方程為，即． （?。┊?dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，可得弦長(zhǎng)，所以． （ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，圓心到直線(xiàn)的距離，從而弦長(zhǎng)． 所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值8． 因?yàn)?，所以面積的最大值為8，此時(shí)，由，解得．所以直線(xiàn)的方程為． 點(diǎn)睛：錐曲線(xiàn)中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法：(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．