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9.1　直線方程與圓的方程 【真題典例】 挖命題 【考情探究】 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測(cè)熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點(diǎn) 1.直線的傾斜 角、斜率與方程 1.理解直線的傾斜角和斜率的概念 2.掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式 3.掌握確定兩直線位置關(guān)系的幾何要素以及求直線方程的幾種形式 4.了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系 2017北京,14 直線的斜率 統(tǒng)計(jì)圖的理解 ★☆☆ 2.直線與直線的位置關(guān)系 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷兩直線的位置關(guān)系 2.能用解方程組的方法求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會(huì)求兩平行直線間的距離 2013天津文,5 直線與直線的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系 ★☆☆ 3.圓的方程 1.掌握確定圓的幾何要素 2.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程 3.會(huì)用待定系數(shù)法和直接法求圓的方程 2017天津文,12 圓的方程 拋物線 ★★☆ 2016天津文,12 點(diǎn)到直線距離公式 分析解讀　　從高考試題來(lái)看,本節(jié)主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法,一是考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系、斜率公式以及直線方程的求解;二是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程的互化以及利用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法求圓的方程,考查形式以選擇題和填空題為主.同時(shí)圓的方程作為由直線方程向曲線方程的過(guò)渡,蘊(yùn)含著解析法的解題思路和解題方法,是解析法的基礎(chǔ),因此,以圓為載體考查解析法的基本思想和方法是歷年高考考查的重點(diǎn). 破考點(diǎn) 【考點(diǎn)集訓(xùn)】 考點(diǎn)一　直線的傾斜角、斜率與方程 1.已知直線l過(guò)定點(diǎn)(0,1),則“直線l與圓(x-2)2+y2=4相切”是“直線l的斜率為34”的(　　) A.充分不必要條件　　　　B.必要不充分條件　　　　C.充分必要條件　　　　D.既不充分也不必要條件 答案　B　 2.過(guò)點(diǎn)M(1,2)的直線l將圓(x-2)2+y2=9分成兩段弧,當(dāng)其中的劣弧最短時(shí),直線l的方程是　　　　　　. 答案　x-2y+3=0 考點(diǎn)二　直線與直線的位置關(guān)系 3.已知圓的方程為(x+1)2+y2=2,則圓心到直線y=x+3的距離為(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.2　　　　D.22 答案　B　 4.已知直線3x+(1-a)y+1=0與直線x-y+2=0平行,則a的值為(　　) A.4　　　　B.-4　　　　　　　　C.2　　　　D.-2 答案　A　 5.已知a∈R,則“直線y=ax-1與y=-4ax+2垂直”是“a=12”的(　　) A.充分而不必要條件　　　　B.必要而不充分條件　　　　C.充分必要條件　　　　D.既不充分也不必要條件 答案　B　 考點(diǎn)三　圓的方程 6.若直線x+y+a=0是圓x2+y2-2y=0的一條對(duì)稱(chēng)軸,則a的值為(　　) A.1　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.-2 答案　B　 7.(2015課標(biāo)Ⅰ,14,5分)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓x216+y24=1的三個(gè)頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　. 答案　x-322+y2=254 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1　直線方程的求法 1.已知直線l過(guò)圓x2+(y-3)2=4的圓心,且與直線x+y+1=0垂直,則l的方程是(　　) A.x+y-2=0　　　　B.x-y+2=0　　　　C.x+y-3=0　　　　D.x-y+3=0 答案　D　 方法2　兩直線平行與垂直問(wèn)題的解決策略 2.已知直線3x+4y+3=0與直線6x+my-14=0平行,則它們之間的距離是(　　) A.2　　　　B.8　　　　C.175　　　　D.1710 答案　A　 3.已知直線l1:ax+y-1=0,直線l2:x-y-3=0,若直線l1的傾斜角為π4,則a=　　　　;若l1⊥l2,則a=　　　　;若l1∥l2,則兩平行直線間的距離為　　　　. 答案　-1;1;22 方法3　關(guān)于對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的求解策略 4.若圓C的半徑為1,其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.(x-1)2+y2=1　　　　B.x2+(y+1)2=1　　　　C.x2+(y-1)2=1　　　　D.(x+1)2+y2=1 答案　C　 方法4　圓的方程的求法 5.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為　　　　　　　　. 答案　x2+y2-2x=0 6.(2016江蘇改編,18,16分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2,4). (1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點(diǎn),且BC=OA,求直線l的方程. 解析　圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-7)2=25,所以圓心M(6,7),半徑為5. (1)由圓心N在直線x=6上,可設(shè)N(6,y0). 因?yàn)閳AN與x軸相切,與圓M外切, 所以00)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程. 解析　(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0), 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2. 由題設(shè)知4k2+4k2=8, 解得k=-1(舍去),或k=1, 因此l的方程為y=x-1. (2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則 y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6. 因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 方法總結(jié)　有關(guān)拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題,常用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解,在求解過(guò)程中應(yīng)注重利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體運(yùn)算.一般地,求直線和圓的方程時(shí),利用待定系數(shù)法求解. 6.(2017課標(biāo)Ⅲ,20,12分)已知拋物線C:y2=2x,過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓. (1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; (2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2),求直線l與圓M的方程. 解析　(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2. 由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,則y1y2=-4. 又x1=y122,x2=y222,故x1x2=(y1y2)24=4. 因此OA的斜率與OB的斜率之積為y1x1y2x2=-44=-1,所以O(shè)A⊥OB. 故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上. (2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故圓心M的坐標(biāo)為(m2+2,m),圓M的半徑r=(m2+2)2+m2. 由于圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2),因此APBP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4. 所以2m2-m-1=0, 解得m=1或m=-12. 當(dāng)m=1時(shí),直線l的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標(biāo)為(3,1),圓M的半徑為10,圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10. 當(dāng)m=-12時(shí),直線l的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標(biāo)為94,-12,圓M的半徑為854,圓M的方程為x-942+y+122=8516. 解后反思　解直線與圓錐曲線相交問(wèn)題時(shí),常聯(lián)立方程,消元得到一個(gè)一元二次方程,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系處理.以某線段為直徑的圓的方程,也可以用該線段的兩端點(diǎn)坐標(biāo)(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 疑難突破　將直徑所對(duì)的圓周角為90轉(zhuǎn)化為兩向量數(shù)量積等于0,進(jìn)而由根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體運(yùn)算求解. 7.(2015課標(biāo)Ⅰ,20,12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:y=x24與直線l:y=kx+a(a>0)交于M,N兩點(diǎn). (1)當(dāng)k=0時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程; (2)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN?說(shuō)明理由. 解析　(1)由題設(shè)可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a). 又y=x2,故y=x24在x=2a處的導(dǎo)數(shù)值為a,C在點(diǎn)(2a,a)處的切線方程為y-a=a(x-2a), 即ax-y-a=0. y=x24在x=-2a處的導(dǎo)數(shù)值為-a,C在點(diǎn)(-2a,a)處的切線方程為y-a=-a(x+2a), 即ax+y+a=0. 故所求切線方程為ax-y-a=0和ax+y+a=0.(5分) (2)存在符合題意的點(diǎn),證明如下: 設(shè)P(0,b)為符合題意的點(diǎn),M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2. 將y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0. 故x1+x2=4k,x1x2=-4a. 從而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a. 當(dāng)b=-a時(shí),有k1+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ),故∠OPM=∠OPN,所以點(diǎn)P(0,-a)符合題意.(12分) C組　教師專(zhuān)用題組 1.(2016四川,8,5分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且|PM|=2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為(　　) A.33　　　　B.23　　　　C.22　　　　D.1 答案　C　 2.(2015北京,2,5分)圓心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是(　　) A.(x-1)2+(y-1)2=1　　　　B.(x+1)2+(y+1)2=1　　　　C.(x+1)2+(y+1)2=2　　　　D.(x-1)2+(y-1)2=2 答案　D　 3.(2017江蘇,13,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點(diǎn)P在圓O:x2+y2=50上.若PAPB≤20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是　　　　. 答案　[-52,1] 4.(2015湖北文,16,5分)如圖,已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2. (1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　　　　; (2)圓C在點(diǎn)B處的切線在x軸上的截距為　　　　. 答案　(1)(x-1)2+(y-2)2=2　(2)-2-1 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2018天津河西三模,4)設(shè)a∈R,則“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件　　　　C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　C　 2.(2018天津十二區(qū)縣二模,4)已知m為實(shí)數(shù),直線l1:mx+y-1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,則“m=1”是“l(fā)1∥l2”的(　　) A.充要條件 B.充分不必要條件　　　　C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 答案　A　 二、填空題(每小題5分,共20分) 3.(2017天津和平四模,12)經(jīng)過(guò)圓x2+2x+y2=0的圓心,且與直線x+y-2=0垂直的直線方程是　　　　. 答案　x-y+1=0 4.(2017天津耀華中學(xué)二模,10)已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0,設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為　　　　. 答案　206 5.(2017天津一中3月月考,12)圓心在直線x-2y+7=0上的圓C與x軸交于A(-2,0)、B(-4,0)兩點(diǎn),則圓C的方程為　　　　　　　　　. 答案　(x+3)2+(y-2)2=5 6.(2018天津河?xùn)|一模,12)已知A(0,3),B(1,0),點(diǎn)P為圓x2+y2+2x=0上的任意一點(diǎn),則△PAB面積的最大值為　　　　. 答案　3+1