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安徽省長(zhǎng)豐縣高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹證明 2.1.1 合情推理教案 新人教A版選修12

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1、 2.1.1合情推理 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 2.1.1合情推理 修改與創(chuàng)新 教學(xué)目標(biāo) 1 結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例,了解歸納推理的含義, 2 能利用歸納進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理, 3 體會(huì)并認(rèn)識(shí)歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 重點(diǎn):能利用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理. 難點(diǎn):用歸納和類比進(jìn)行推理,作出猜想. 教學(xué)準(zhǔn)備 直尺、粉筆 教學(xué)過(guò)程 一、新課引入: 1. 哥德巴赫猜想:觀察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……

2、, 100=3+97,猜測(cè):任一偶數(shù)(除去2,它本身是一素?cái)?shù))可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和. 1742年寫信提出,歐拉及以后的數(shù)學(xué)家無(wú)人能解,成為數(shù)學(xué)史上舉世聞名的猜想. 1973年,我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn),證明了充分大的偶數(shù)可表示為一個(gè)素?cái)?shù)與至多兩個(gè)素?cái)?shù)乘積之和,數(shù)學(xué)上把它稱為“1+2”. 2. 費(fèi)馬猜想:法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家之王—費(fèi)馬(1601-1665)在1640年通過(guò)對(duì),,,,的觀察,發(fā)現(xiàn)其結(jié)果都是素?cái)?shù),于是提出猜想:對(duì)所有的自然數(shù),任何形如的數(shù)都是素?cái)?shù). 后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉,發(fā)現(xiàn)不是素?cái)?shù),推翻費(fèi)馬猜想. 3. 四色猜想:1852年,畢業(yè)于英國(guó)倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工

3、作時(shí),發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象:“每幅地圖都可以用四種顏色著色,使得有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色.”,四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題.1976年,美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上,用1200個(gè)小時(shí),作了100億邏輯判斷,完成證明. 二、講授新課: 1. 教學(xué)概念: ① 概念:由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理. 簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理. ② 歸納練習(xí):(i)由銅、鐵、鋁、金、銀能導(dǎo)電,能歸納出什么結(jié)論? (ii)由直角三角形、等腰三角

4、形、等邊三角形內(nèi)角和180度,能歸納出什么結(jié)論? (iii)觀察等式:,能得出怎樣的結(jié)論? ③ 討論:(i)統(tǒng)計(jì)學(xué)中,從總體中抽取樣本,然后用樣本估計(jì)總體,是否屬歸納推理? (ii)歸納推理有何作用? (發(fā)現(xiàn)新事實(shí),獲得新結(jié)論,是做出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段) (iii)歸納推理的結(jié)果是否正確?(不一定) 2. 教學(xué)例題: ① 出示例題:已知數(shù)列的第1項(xiàng),且,試歸納出通項(xiàng)公式. (分析思路:試值n=1,2,3,4 → 猜想 →如何證明:將遞推公式變形,再構(gòu)造新數(shù)列) ② 思考:證得某命題在n=n時(shí)成立;又假設(shè)在n=k時(shí)命題成立,再證明n=k+1時(shí)命題也成立. 由這兩步,可以歸納出什

5、么結(jié)論? (目的:滲透數(shù)學(xué)歸納法原理,即基礎(chǔ)、遞推關(guān)系) ③ 練習(xí):已知 ,推測(cè)的表達(dá)式. 3. 小結(jié):①歸納推理的藥店:由部分到整體、由個(gè)別到一般;②典型例子:哥德巴赫猜想的提出;數(shù)列通項(xiàng)公式的歸納. 1. 練習(xí):已知 ,考察下列式子:;;. 我們可以歸納出,對(duì)也成立的類似不等式為 . 2. 猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式是 . 3. 導(dǎo)入:魯班由帶齒的草發(fā)明鋸;人類仿照魚類外形及沉浮原理,發(fā)明潛水艇;地球上有生命,火星與地球有許多相似點(diǎn),如都是繞太陽(yáng)運(yùn)行、擾軸自轉(zhuǎn)的行星,有大氣層,也有季節(jié)變更,溫度也適合生物生存,科學(xué)家猜測(cè):火星上有生命存在. 以上都是類比思維

6、,即類比推理. 1. 教學(xué)概念: ① 概念:由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理. 簡(jiǎn)言之,類比推理是由特殊到特殊的推理. ② 類比練習(xí): (i)圓有切線,切線與圓只交于一點(diǎn),切點(diǎn)到圓心的距離等于半徑. 由此結(jié)論如何類比到球體? (ii)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓,由此結(jié)論如何類比得到空間的結(jié)論? (iii)由圓的一些特征,類比得到球體的相應(yīng)特征. (教材P81 探究 填表) 小結(jié):平面→空間,圓→球,線→面. ③ 討論:以平面向量為基礎(chǔ)學(xué)習(xí)空間向量,試舉例其中的一些類比思維. 2. 教學(xué)例題 ① 出示例1

7、:類比實(shí)數(shù)的加法和乘法,列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì). (得到如下表格) 類比角度 實(shí)數(shù)的加法 實(shí)數(shù)的乘法 運(yùn)算結(jié)果 若則 若則 運(yùn)算律 逆運(yùn)算 加法的逆運(yùn)算是減法,使得方程有唯一解 乘法的逆運(yùn)算是除法,使得方程有唯一解 單位元 ② 出示例2:類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想. 思維:直角三角形中,,3條邊的長(zhǎng)度,2條直角邊和1條斜邊; →3個(gè)面兩兩垂直的四面體中,,4個(gè)面的面積和 3個(gè)“直角面”和1個(gè)“斜面”. → 拓展:三角形到四面體的類比. 3. 小結(jié):歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行歸納、類比,然后提出猜想的推理,統(tǒng)稱為合情推理. 板書設(shè)計(jì) 教學(xué)反思 課后反思 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài),需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式,改變粗放式增長(zhǎng)模式,不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展,推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化,推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。

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