《高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.5 定積分的概念 1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 汽車行駛的路程 1.5.3 定積分的概念學案 新人教A版選修22》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.5 定積分的概念 1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 汽車行駛的路程 1.5.3 定積分的概念學案 新人教A版選修22（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1．5　定積分的概念 1．5．1　曲邊梯形的面積 1．5．2　汽車行駛的路程 1．5．3　定積分的概念 學習目標：、1.了解定積分的概念(難點).2.理解定積分的幾何意義．(重點、易錯點).3.通過求曲邊梯形面積的過程和解決有關汽車行駛路程問題的過程，了解“以直代曲”“以不變代變”的思想(難點).4.能用定積分的定義求簡單的定積分(重點)． [自 主 預 習探 新 知] 1．曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程 (1)曲邊梯形的面積 ①曲線梯形：由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖151①所示)． ②求曲邊梯形面積的方法 把區(qū)

2、間[a，b]分成許多小區(qū)間，進而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值(如圖151②所示)． 圖①　　 　　　圖② 圖151 ③求曲邊梯形面積的步驟：分割，近似代替，求和，取極限． (2)求變速直線運動的(位移)路程 如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取極限的方法，求出它在a≤t≤b內(nèi)所作的位移s. 2．定積分的概念 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點a＝x0＜x1＜…＜xi－

3、1＜xi＜…＜xn＝b將區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點ξi(i＝1,2，…，n)作和式f(ξi)Δx＝ f(ξi)，當n→∞時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dx＝.其中a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式． 思考：f(x)dx是一個常數(shù)還是一個變量？f(x)dx與積分變量有關系嗎？ [提示]由定義可得定積分f(x)dx是一個常數(shù)，它的值僅取決于被積函數(shù)與積分上、下限，而與積分變量沒有

4、關系，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du. 3．定積分的幾何意義與性質(zhì) (1)定積分的幾何意義 由直線x＝a，x＝b(a＜b)，x軸及一條曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積設為S，則有： ①　　　　?、凇　　　　　、? 圖152 ①在區(qū)間[a，b]上，若f(x)≥0，則S＝f(x)dx，如圖152①所示，即f(x)dx＝S. ②在區(qū)間[a，b]上，若f(x)≤0，則S＝－f(x)dx，如圖152②所示，即f(x)dx＝－S. ③若在區(qū)間[a，c]上，f(x)≥0，在區(qū)間[c，b]上，f(x)≤0，則S＝f(x)dx－f(x)dx，如圖152③所示，即(SA，SB表

5、示所在區(qū)域的面積)． (2)定積分的性質(zhì) ①kf(x)dx＝kf(x)dx(k為常數(shù))； ②[f1(x)f2(x)]dx＝f1(x)dxf2(x)dx； ③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)． [基礎自測] 1．思考辨析 (1)f(x)dx＝f(t)dt.(　　) (2)f(x)dx的值一定是一個正數(shù)．(　　) (3)2xdx<2xdx(　　) [答案]　(1)√　(2)　(3)√ 2．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上的近似值(　　) A．只能是左端點的函數(shù)值f(xi) B．只能是右端點的函數(shù)值f(xi＋1) C．可以

6、是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1]) D．以上答案均正確 C　[作近似計算時，Δx＝xi＋1－xi很小，誤差可忽略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f(ξi)．] 3．圖153中陰影部分的面積用定積分表示為(　　) 圖153 A.2xdx B.(2x－1)dx C.(2x＋1)dx D.(1－2x)dx B　[根據(jù)定積分的幾何意義，陰影部分的面積為2xdx－1dx＝(2x－1)dx.] 4．已知x2dx＝，x2dx＝，1dx＝2，則(x2＋1)dx＝________. 【導學號：31062080】 [解析]　∵x2dx＝，x

7、2dx＝，1dx＝2， ∴(x2＋1)dx＝x2dx＋x2dx＋1dx ＝＋＋2 ＝＋2＝. [答案]　 [合 作 探 究攻 重 難] 求曲邊梯形的面積 　求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形面積． 圖154 [解]　(1)分割 將曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形，用分點，，…，把區(qū)間[0,1]等分成n個小區(qū)間： ，，…，，…，， 簡寫作(i＝1,2，…，n)． 每個小區(qū)間的長度為Δx＝－＝.過各分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn. (2)近似代替 用小矩形面積

8、近似代替小曲邊梯形面積，在小區(qū)間上任取一點ξi(i＝1,2，…，n)，為了計算方便，取ξi為小區(qū)間的左端點，用f(ξi)的相反數(shù)－f(ξi)＝－為其一邊長，以小區(qū)間長度Δx＝為另一邊長的小矩形對應的面積近似代替第i個小曲邊梯形面積，可以近似地表示為 ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－(i＝1,2，…，n)． (3)求和 因為每一個小矩形的面積都可以作為相應小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和就是曲邊梯形面積S的近似值，即 S＝Si≈－(ξi)Δx ＝ ＝－[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝－n(n－1)(2n－1)＋ ＝－＝－. (4)

9、取極限 當分割無限變細，即Δx趨向于0時，n趨向于∞， 此時－趨向于S.從而有 S＝ ＝. 所以由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形面積為. [規(guī)律方法]　求曲邊梯形的面積　 (1)思想：以直代曲． (2)步驟：分割→近似代替→求和→取極限． (3)關鍵：近似代替． (4)結果：分割越細，面積越精確． (5)求和時可用到一些常見的求和公式，如 1＋2＋3＋…＋n＝， 12＋22＋32＋…＋n2＝， 13＋23＋33＋…＋n3＝2. [跟蹤訓練] 1．求由拋物線y＝x2與直線y＝4所圍成的曲邊梯形的面積. 【導學號：31062081】

10、 [解]　∵y＝x2為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，∴所求曲邊梯形的面積應為拋物線y＝x2(x≥0)與直線x＝0，y＝4所圍圖形面積S陰影的2倍，下面求S陰影．由 得交點為(2,4)，如圖所示，先求由直線x＝0，x＝2，y＝0和曲線y＝x2圍成的曲邊梯形的面積． (1)分割 將區(qū)間[0,2]n等分， 則Δx＝， 取ξi＝. (2)近似代替求和 Sn＝ 2 ＝[12＋22＋32＋…＋(n－1)2] ＝. (3)取極限 S＝Sn＝ ＝. ∴所求平面圖形的面積為 S陰影＝24－＝. ∴2S陰影＝，即拋物線y＝x2與直線y＝4所圍成的圖形面積為. 求變速直線運動的路

11、程 　已知汽車做變速直線運動，在時刻t的速度為v(t)＝－t2＋2t(單位：km/h)，求它在1≤t≤2這段時間行駛的路程是多少？ [解]　將時間區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間為， 在第i個時間段的路程近似為Δsi＝vΔt＝，i＝1,2，…，n. 所以sn＝Δsi＝ ＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n] ＝－＋ ＝－＋＋3＋， s＝sn＝ ＝，所以這段時間行駛的路程為 km. [規(guī)律方法]　求變速直線運動路程的問題，方法和步驟類似于求曲邊梯形的面積，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解

12、過程為：分割、近似代替、求和、取極限.應特別注意變速直線運動的時間區(qū)間. [跟蹤訓練] 2．一物體自200 m高空自由落下，求它在開始下落后的第3秒至第6秒之間的距離．(g＝9.8 m/s2) 【導學號：31062082】 [解]　自由落體的下落速度為v(t)＝gt. 將[3,6]等分成n個小區(qū)間，每個區(qū)間的長度為. 在第i個小區(qū)間(i＝1,2，…，n)上，以左端點函數(shù)值作為該區(qū)間的速度． 所以sn＝v＝ ＝＝9g＋＝9g＋g. 所以s＝sn＝ ＝9g＋g＝9.8＝132.3(m)． 故該物體在下落后第3 s至第6 s之間的距離是132.3 m. 利用定積分的性質(zhì)

13、及 幾何意義求定積分 [探究問題] 1．在定積分的幾何意義中f(x)≥0，如果f(x)＜0，f(x)dx表示什么？ 提示：如果在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f(x)＜0，那么曲邊梯形位于x軸的下方(如圖所示)， 由于Δxi＞0，f(ξi)＜0， 故f(ξi)Δxi＜0，從而定積分f(x)dx＜0，這時它等于圖中所示曲邊梯形面積的相反數(shù)， 即f(x)dx＝－S或S＝－f(x)dx. 2．dx的幾何意義是什么？ 提示：是由直線x＝0，x＝2，y＝0和曲線y＝所圍成的曲邊梯形面積，即以原點為圓心，2為半徑的圓的面積即dx＝π. 3．若f(x)為[－a，a]上的偶函數(shù)，則f(x)dx

14、與f(x)dx存在什么關系？若f(x)為[－a，a]上的奇函數(shù)，則f(x)dx等于多少？ 提示：若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)dx＝2f(x)dx；若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)dx＝0. 　說明下列定積分所表示的意義，并根據(jù)其意義求出定積分的值． (1)2dx； (2)xdx； (3) dx. [解]　(1)2dx表示的是圖①中陰影部分所示的長方形的面積，由于這個長方形的面積為2，所以2dx＝2. ①　　　　　?、凇　　　　　　、? (2)xdx表示的是圖②中陰影部分所示的梯形的面積，由于這個梯形的面積為，所以xdx＝. (3) dx表示的是圖③中陰影部分所示的半徑為1

15、的半圓的面積，其值為，所以dx＝. 母題探究：1.(變條件)將例3(3)改為利用定積分的幾何意義求dx. [解]　dx表示的是圖④中陰影部分所示半徑為1的圓的的面積，其值為， ∴dx＝. 2．(變條件)將例3(3)改為利用定積分的幾何意義求dx. [解]　dx表示的是圖⑤中陰影部分所示半徑為1的圓的面積，其值為， ∴dx＝. 3．(變條件)將例3(3)改為利用定積分的幾何意義求 (x＋)dx. [解]　由定積分的性質(zhì)得， (x＋)dx＝ xdx＋dx. ∵y＝x是奇函數(shù)，∴xdx＝0. 由例3(3)知dx＝. ∴ (x＋)dx＝. [當 堂 達 標固 雙 基]

16、 1．把區(qū)間[1,3]n等分，所得n個小區(qū)間中每個小區(qū)間的長度為(　　) A.　　　 B. C. D. B　[區(qū)間長度為2，n等分后每個小區(qū)間的長度都是，故選B.] 2．定積分f(x)dx的大小(　　) A．與f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關，與ξi的取法無關 B．與f(x)有關，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無關 C．與f(x)以及ξi的取法有關，與區(qū)間[a，b]無關 D．與f(x)、積分區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關 A　[由定積分的定義可知A正確．] 3．由y＝sin x，x＝0，x＝，y＝0所圍成圖形的面積寫成定積分的形式是________. 【導學號：310

17、62083】 [解析]　∵0＜x＜， ∴sin x＞0. ∴y＝sin x，x＝0，x＝，y＝0所圍成圖形的面積寫成定積分的形式為 sin xdx. [答案]　 sin xdx 4．已知某物體運動的速度為v＝t，t∈[0,10]，若把區(qū)間10等分，取每個小區(qū)間右端點處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運動的路程近似值為__________． [解析]　∵把區(qū)間[0,10]10等分后，每個小區(qū)間右端點處的函數(shù)值為n(n＝1,2，…，10)，每個小區(qū)間的長度為1. ∴物體運動的路程近似值s＝1(1＋2＋…＋10)＝55. [答案]　55 5．計算： (2－5sin x)dx. 【導學號：31062084】 [解]　由定積分的幾何意義得， 2dx＝2＝2π. 由定積分的幾何意義得，sin xdx＝0. 所以 (2－5sin x)dx ＝2dx－5sin xdx＝2π. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375