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5.立體幾何 1．空間幾何體表面積和體積的求法 幾何體的表面積是各個(gè)面的面積之和，組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理，求幾何體的體積常用公式法、割補(bǔ)法、等積變換法． [問題1]　底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱錐的表面積為________． 答案　3 解析　由題意作出圖形如圖． ∵三棱錐P－ABC是正三棱錐，頂點(diǎn)P在底面上的射影D是底面的中心，取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)PF，DF，PD. 在△PDF中，PD＝1，DF＝， ∴PF＝ ＝， ∴棱錐的側(cè)面積S側(cè)＝32＝2， ∵底面積為，∴表面積為3. 2．空間平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系 平行問題的核心是線線平行，證明線線平行的常用方法有：三角形的中位線、平行線分線段成比例(三角形相似)、平行四邊形等． [問題2]　下列命題正確的是________．(填序號(hào)) ①如果a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面； ②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行； ③如果直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b； ④如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α. 答案?、? 3．空間垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系 垂直問題的核心是線線垂直，證明線線垂直的常用方法有： 等腰三角形底邊上的中線、勾股定理、平面幾何方法等． [問題3]　已知兩個(gè)平面垂直，下列命題： ①一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線； ②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無數(shù)條直線； ③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面； ④過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面． 其中正確命題的個(gè)數(shù)是________． 答案　1 易錯(cuò)點(diǎn)1　旋轉(zhuǎn)體辨識(shí)不清 例1　如圖所示(單位：cm)，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積． 易錯(cuò)分析　注意這里是旋轉(zhuǎn)圖中的陰影部分，不是旋轉(zhuǎn)梯形ABCD.在旋轉(zhuǎn)的時(shí)候邊界形成一個(gè)圓臺(tái)，并在上面挖去了一個(gè)“半球”，其體積應(yīng)是圓臺(tái)的體積減去半球的體積．解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是誤以為旋轉(zhuǎn)的是梯形ABCD，在計(jì)算時(shí)沒有減掉半球的體積． 解　由題圖中數(shù)據(jù)及圓臺(tái)和球的體積公式，得 V圓臺(tái)＝π(22＋25＋52)4＝52π(cm3)， V半球＝π23＝π(cm3)． 所以旋轉(zhuǎn)體的體積為 V＝V圓臺(tái)－V半球＝52π－π＝π(cm3)． 易錯(cuò)點(diǎn)2　線面關(guān)系把握不準(zhǔn) 例2　設(shè)a，b為兩條直線，α，β為兩個(gè)平面，且a?α，a?β，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為________． ①若b?β，a∥b，則a∥β； ②若a⊥β，α⊥β，則a∥α； ③若a⊥b，b⊥α，則a∥α. 易錯(cuò)分析　本題易出現(xiàn)的問題就是對(duì)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系把握不準(zhǔn)，考慮問題不全面，不能準(zhǔn)確把握題中的前提——a?α，a?β，對(duì)空間中的平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理中的條件把握不準(zhǔn)導(dǎo)致判斷失誤．如①中忽視已知條件中的a?β，誤以為該項(xiàng)錯(cuò)誤等． 解析　對(duì)于①，若有b?β，a∥b，且已知a?β，所以根據(jù)線面平行的判定定理可得a∥β，故①正確；對(duì)于②，若a⊥β，α⊥β，則根據(jù)空間線面位置關(guān)系可知，a?α或a∥α，而由已知可知a?α，所以a∥α，故②正確；對(duì)于③，若a⊥b，b⊥α，所以a?α或a∥α，而由已知可得a?α，所以a∥α，故③正確． 答案　3 易錯(cuò)點(diǎn)3　線面關(guān)系論證不嚴(yán)謹(jǐn) 例3　在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn)． (1)求證：EF∥平面ABC1D1； (2)求證：EF⊥B1C. 易錯(cuò)分析　利用空間線面關(guān)系的判定或性質(zhì)定理證題時(shí)，推理論證一定要嚴(yán)格按照定理中的條件進(jìn)行，否則出現(xiàn)證明過程不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}． 證明　(1)連結(jié)BD1，如圖所示． 在△DD1B中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn)，則 ?EF∥平面ABC1D1. (2)ABCD－A1B1C1D1為正方體?AB⊥平面BCC1B1 ? ? ??EF⊥B1C. 1．已知α，β為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列命題中正確的是________．(填上所有正確命題的序號(hào)) ①若α∥β，m?α，則m∥β； ②若m∥α，n?α，則m∥n； ③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β. 答案　①④ 解析?、龠@是面面平行的性質(zhì)，正確；②只能確定m，n沒有公共點(diǎn)，有可能異面，錯(cuò)誤；③當(dāng)m?α?xí)r，才能保證m⊥β，錯(cuò)誤；④由m⊥α，n⊥α，得m∥n，又n⊥β，所以m⊥β，正確． 2．已知一個(gè)圓錐的底面積為2π，側(cè)面積為4π，則該圓錐的體積為________． 答案　π 解析　設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l， 則解得r＝，l＝2， 所以高h(yuǎn)＝＝， 所以V＝πr2h＝π2＝π. 3．(2018江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為________． 答案　1 解析　＝2＝1. 4.如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3 cm，AA1＝1 cm，則三棱錐D1－A1BD的體積為________ cm3. 答案　 解析　因?yàn)樵谡睦庵鵄BCD－A1B1C1D1中， AB＝3 cm，AA1＝1 cm， 所以三棱錐D1－A1BD的體積 ＝A1D1D1DAB ＝313＝(cm3)． 5．設(shè)一個(gè)正方體與底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的體積相等，則該正方體的棱長(zhǎng)為________． 答案　2 解析　由題意可得正四棱錐的高為2，體積為(2)22＝8，所以正方體的體積為8，所以棱長(zhǎng)為2. 6．α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列三個(gè)命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β； ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n； ③如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的序號(hào)) 答案?、冖? 解析　當(dāng)m⊥n，m⊥α，n∥β時(shí)，兩個(gè)平面的位置關(guān)系不確定，故①錯(cuò)誤，經(jīng)判斷知②③均正確，故正確答案為②③. 7．將半徑為5的圓分割成面積之比為1∶2∶3的三個(gè)扇形作為三個(gè)圓錐的側(cè)面，設(shè)這三個(gè)圓錐的底面半徑依次為r1，r2，r3，則r1＋r2＋r3＝________. 答案　5 解析　由題意可得三個(gè)扇形的弧長(zhǎng)分別為，，5π，分別等于三個(gè)圓錐底面圓的周長(zhǎng)，則r1＝，r2＝，r3＝，所以r1＋r2＋r3＝＋＋＝5. 8.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1，CBB1C1都是矩形，AB＝BC＝2，BB1＝4，∠ABC＝60，D為BC的中點(diǎn)，則四面體ADC1A1的體積為________． 答案　 解析　由側(cè)面ABB1A1，CBB1C1都是矩形， 得BB1⊥AB，BB1⊥BC， 又AB，BC是底面ABC內(nèi)的兩條相交直線， 所以BB1⊥平面ABC， 則三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱， 又AB＝BC＝2，∠ABC＝60， 則△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形， 則點(diǎn)B到平面AA1C1的距離等于正三角形ABC的高， 又D為BC的中點(diǎn)， 所以點(diǎn)D到平面AA1C1的距離為， 則四面體ADC1A1的體積＝24＝. 9.如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，OP＝OC，PA⊥PD. 求證：(1)直線PA∥平面BDE； (2)平面BDE⊥平面PCD. 證明　(1)連結(jié)OE，如圖所示． 因?yàn)镺為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)． 又E為PC的中點(diǎn)， 所以O(shè)E∥PA. 因?yàn)镺E?平面BDE，PA?平面BDE， 所以直線PA∥平面BDE. (2)因?yàn)镺E∥PA，PA⊥PD，所以O(shè)E⊥PD. 因?yàn)镺P＝OC，E為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)E⊥PC. 又PD?平面PCD，PC?平面PCD，PC∩PD＝P， 所以O(shè)E⊥平面PCD. 因?yàn)镺E?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD. 10．如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠DAB＝60，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點(diǎn)，AC∩EF＝O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連結(jié)PA，PB，PD，得到如圖的五棱錐P－ABFED，且PB＝. (1)求證：BD⊥PA； (2)求四棱錐P－BFED的體積． (1)證明　∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點(diǎn)， ∴BD∥EF. ∵菱形ABCD的對(duì)角線互相垂直，∴BD⊥AC. ∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO. ∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO＝O， ∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA， 又PA?平面POA，∴BD⊥PA. (2)解　設(shè)AO∩BD＝H，連結(jié)BO. ∵∠DAB＝60， ∴△ABD為等邊三角形， ∴BD＝4，BH＝2，HA＝2， HO＝PO＝， 在Rt△BHO中，BO＝＝， 在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2， ∴PO⊥BO. ∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF?平面BFED，BO?平面BFED，∴PO⊥平面BFED， 梯形BFED的面積S＝(EF＋BD)HO＝3， ∴四棱錐P－BFED的體積 V＝SPO＝3＝3.