(浙江專(zhuān)用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 概率隨機(jī)變量及其分布 11.3 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用講義(含解析).docx
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11.3 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 最新考綱 考情考向分析 1.了解獨(dú)立事件的概念. 2.了解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布. 以了解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布的概念為主,重點(diǎn)考查二項(xiàng)分布概率模型的應(yīng)用.識(shí)別概率模型是解決概率問(wèn)題的關(guān)鍵.在高考中,常以選擇、填空題的形式考查,難度為中低檔. 1.相互獨(dú)立事件 (1)對(duì)于事件A,B,若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響,則稱(chēng)事件A,B是相互獨(dú)立事件. (2)若A與B相互獨(dú)立,則P(AB)=P(A)P(B). (3)若A與B相互獨(dú)立,則A與,與B,與也都相互獨(dú)立. (4)若P(AB)=P(A)P(B),則A與B相互獨(dú)立. 2.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的,各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn),在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果,即要么發(fā)生,要么不發(fā)生,且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的. (2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記為X~B(n,p),并稱(chēng)p為成功概率. 3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 (1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p). (2)若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p). 概念方法微思考 “事件相互獨(dú)立”與“事件互斥”有何不同? 提示 兩事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響,兩事件相互獨(dú)立不一定互斥. 題組一 思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)相互獨(dú)立事件就是互斥事件.( ) (2)對(duì)于任意兩個(gè)事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( ) (3)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布,其公式相當(dāng)于(a+b)n二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,其中a=p,b=1-p.( ) 題組二 教材改編 2.[P55T3]天氣預(yù)報(bào),在元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響,則這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率為( ) A.0.2B.0.3C.0.38D.0.56 答案 C 解析 設(shè)甲地降雨為事件A,乙地降雨為事件B,則兩地恰有一地降雨為A+B, ∴P(A+B)=P(A)+P(B) =P(A)P()+P()P(B) =0.20.7+0.80.3 =0.38. 3.[P69B組T1]拋擲兩枚骰子,當(dāng)至少一枚5點(diǎn)或一枚6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),就說(shuō)這次試驗(yàn)成功,則在10次試驗(yàn)中成功次數(shù)的均值為_(kāi)_______. 答案 解析 拋擲兩枚骰子,當(dāng)兩枚骰子不出現(xiàn)5點(diǎn)和6點(diǎn)時(shí)的概率為=,所以至少有一次出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率為1-=,用X表示10次試驗(yàn)中成功的次數(shù),則X~B,E(X)=10=. 題組三 易錯(cuò)自糾 4.兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件,加工成一等品的概率分別為和,兩個(gè)零件能否被加工成一等品相互獨(dú)立,則這兩個(gè)零件恰好有一個(gè)一等品的概率為( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 因?yàn)閮扇思庸こ梢坏绕返母怕史謩e為和, 且相互獨(dú)立,所以?xún)蓚€(gè)零件恰好有一個(gè)一等品的概率為P=+=. 5.小王通過(guò)英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試的概率是,他連續(xù)測(cè)試3次,那么其中恰有1次通過(guò)的概率是( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 所求概率P=C13-1=. 6.國(guó)慶節(jié)放假,甲去北京旅游的概率為,乙去北京旅游的概率為,假定兩人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響,那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為_(kāi)_______. 答案 解析 記在國(guó)慶期間“甲去北京旅游”為事件A,“乙去北京旅游”為事件B,又P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]==, “甲、乙兩人至少有1人去北京旅游”的對(duì)立事件為“甲、乙兩人都不去北京旅游”, 故所求概率為1-P()=1-=. 題型一 相互獨(dú)立事件的概率 例1 (2018溫州“十五校聯(lián)合體”期中聯(lián)考)一個(gè)口袋中裝有n個(gè)紅球(n≥4且n∈N*)和5個(gè)白球,從中摸兩個(gè)球,兩個(gè)球顏色相同則為中獎(jiǎng). (1)若一次摸兩個(gè)球,其中獎(jiǎng)的概率為,求n的值; (2)若一次摸一個(gè)球,記下顏色后,又把球放回去.當(dāng)n=4時(shí),求兩次摸球中獎(jiǎng)的概率. 解 (1)一次摸獎(jiǎng)從n+5個(gè)球中任選兩個(gè),有C種,它們等可能,其中兩球不同色有CC種,一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率P=1-=. 由=,得n=4或n=5. (2)若n=4,兩次摸球(每次摸球后放回)中獎(jiǎng)的概率是 P=+=. 思維升華求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法 (1)首先判斷幾個(gè)事件的發(fā)生是否相互獨(dú)立. (2)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法 ①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解; ②正面計(jì)算較煩瑣或難以入手時(shí),可從其對(duì)立事件入手計(jì)算. 跟蹤訓(xùn)練1甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽.現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲得冠軍,乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊(duì)勝每局的概率相同,則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 設(shè)Ai (i=1,2)表示繼續(xù)比賽時(shí),甲在第i局獲勝;B事件表示甲隊(duì)獲得冠軍, 則B=A1+1A2, ∴P(B)=P(A1)+P(1A2)=+=. 題型二 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 例2 一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤(pán)游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè),要么不出現(xiàn)音樂(lè);每盤(pán)游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分,出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分,沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立. (1)設(shè)每盤(pán)游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列; (2)玩三盤(pán)游戲,至少有一盤(pán)出現(xiàn)音樂(lè)的概率是多少? 解 (1)X可能的取值為10,20,100,-200. 根據(jù)題意,有 P(X=10)=C12=, P(X=20)=C21=, P(X=100)=C30=, P(X=-200)=C03=. 所以X的分布列為 X 10 20 100 -200 P (2)設(shè)“第i盤(pán)游戲沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)”為事件Ai(i=1,2,3), 則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=. 所以“三盤(pán)游戲中至少有一盤(pán)出現(xiàn)音樂(lè)”的概率為 1-P(A1A2A3)=1-3=1-=. 因此,玩三盤(pán)游戲,至少有一盤(pán)出現(xiàn)音樂(lè)的概率是. 思維升華在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí),首先要確定好n和k的值,再準(zhǔn)確利用公式求概率. 跟蹤訓(xùn)練2投籃測(cè)試中,每人投3次,至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且每次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為( ) A.0.648 B.0.432 C.0.360 D.0.312 答案 A 解析 所求概率為C0.620.4+0.63=0.648. 題型三 二項(xiàng)分布及其均值、方差 例3某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng))A和B,系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p. (1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為,求p的值; (2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ,求ξ的分布列及均值E(ξ). 解 (1)設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C,那么 1-P()=1-p=,解得p=. (2)由題意,得隨機(jī)變量ξ可能的取值為0,1,2,3, 則P(ξ=0)=3=, P(ξ=1)=C2=, P(ξ=2)=C2=, P(ξ=3)=3=. ∴隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 故隨機(jī)變量ξ的均值 E(ξ)=0+1+2+3=. 思維升華在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系,確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率,求得概率,列出分布列. 跟蹤訓(xùn)練3(2018臺(tái)州模擬)有10道數(shù)學(xué)單項(xiàng)選擇題,每題選對(duì)得4分,不選或選錯(cuò)得0分.已知某考生能正確答對(duì)其中的7道題,余下的3道題每題能正確答對(duì)的概率為.假設(shè)每題答對(duì)與否相互獨(dú)立,記ξ為該考生答對(duì)的題數(shù),η為該考生的得分,則P(ξ=9)=________,E(η)=________.(用數(shù)字作答) 答案 32 解析 ξ=7,8,9,10, P(ξ=9)=C2=3=; η=28,32,36,40, P(η=28)=3=, P(η=32)=C2=, P(η=36)=C2=, P(η=40)=3=, 所以E(η)=28+32+36+40=32. 1.甲、乙兩人參加“社會(huì)主義價(jià)值觀”知識(shí)競(jìng)賽,甲、乙兩人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為和,甲、乙兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立,則這兩個(gè)人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 根據(jù)題意,恰有一人獲得一等獎(jiǎng)就是甲獲獎(jiǎng)乙沒(méi)獲獎(jiǎng)或甲沒(méi)獲獎(jiǎng)乙獲獎(jiǎng),則所求概率是+=,故選D. 2.袋中裝有2個(gè)紅球,3個(gè)黃球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,則3次中恰有2次抽到黃球的概率是( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 袋中裝有2個(gè)紅球,3個(gè)黃球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黃球的概率P1=,∴3次中恰有2次抽到黃球的概率P=C2=. 3.某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1000粒,對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子,每粒需再補(bǔ)種2粒,補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,則X的均值為( ) A.100 B.200 C.300 D.400 答案 B 解析 記不發(fā)芽的種子數(shù)為Y,則Y~B(1000,0.1), ∴E(Y)=10000.1=100.又X=2Y, ∴E(X)=E(2Y)=2E(Y)=200. 4.一袋中有5個(gè)白球,3個(gè)紅球,現(xiàn)從袋中往外取球,每次任取一個(gè)記下顏色后放回,直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止,設(shè)停止時(shí)共取了X次球,則P(X=12)等于( ) A.C102 B.C92 C.C92 D.C102 答案 D 解析 “X=12”表示第12次取到紅球,前11次有9次取到紅球,2次取到白球, 因此P(X=12)=C92 =C102. 5.甲射擊命中目標(biāo)的概率是,乙命中目標(biāo)的概率是,丙命中目標(biāo)的概率是.現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo),則目標(biāo)被擊中的概率為( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 設(shè)“甲命中目標(biāo)”為事件A,“乙命中目標(biāo)”為事件B,“丙命中目標(biāo)”為事件C,則擊中目標(biāo)表示事件A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生.又P()=P()P()P()=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]==. 故目標(biāo)被擊中的概率P=1-P()=. 6.(2019湖州質(zhì)檢)設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X~B,則函數(shù)f(x)=x2+4x+X存在零點(diǎn)的概率是( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 ∵函數(shù)f(x)=x2+4x+X存在零點(diǎn), ∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4. ∵X服從X~B, ∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-=. 7.(2018杭州四校聯(lián)考)若ξ~B,D(ξ)=,則n=________,E(ξ)=________. 答案 6 3 解析 由D(ξ)==n, 得n=6,E(ξ)=6=3. 8.(2018杭州高考仿真測(cè)試)一個(gè)盒子中有大小形狀完全相同的m個(gè)紅球和6個(gè)黃球,現(xiàn)從中有放回的摸取5次,每次隨機(jī)摸出一個(gè)球,設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為X,若E(X)=3,則m=________,P(X=2)=________. 答案 9 解析 由題意知每次隨機(jī)抽出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為,所以X~B,則由E(X)=3,得5=3,解得m=9,所以=, 所以P(X=2)=C23=. 9.4支足球隊(duì)兩兩比賽,一定有勝負(fù),每隊(duì)贏的概率都為.若每隊(duì)贏的場(chǎng)數(shù)各不相同,則共有________種結(jié)果;其概率為_(kāi)_______. 答案 24 解析 ∵4支足球隊(duì)兩兩比賽,一定有勝負(fù),每隊(duì)贏的概率都為0.5,并且每隊(duì)贏的場(chǎng)數(shù)各不相同, ∴4隊(duì)比6場(chǎng)只考慮勝場(chǎng),且各不相同,勝場(chǎng)分別為0,1,2,3,∴共有A=4321=24種結(jié)果, ∴概率為P=A6=. 10.若將甲、乙兩個(gè)球隨機(jī)放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中,每個(gè)盒子的放球數(shù)量不限,則在1,2號(hào)盒子中各有一個(gè)球的概率是________. 答案 解析 將甲、乙兩個(gè)球隨機(jī)放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中,每個(gè)盒子的放球數(shù)量不限,則有33=9(種)不同的放法,其中在1,2號(hào)盒子中各有一個(gè)球的結(jié)果有2種,故所求概率是. 11.設(shè)隨機(jī)變量X~B(2,p),隨機(jī)變量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,則P(Y≥1)=________. 答案 解析 ∵X~B(2,p), ∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C(1-p)2=, 解得p=.又Y~B(3,p), ∴P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-C(1-p)3=. 12.挑選空軍飛行員可以說(shuō)是“萬(wàn)里挑一”,要想通過(guò)需要五關(guān):目測(cè)、初檢、復(fù)檢、文考(文化考試)、政審.若某校甲、乙、丙三位同學(xué)都順利通過(guò)了前兩關(guān),根據(jù)分析甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)復(fù)檢關(guān)的概率分別是0.5,0.6,0.75,能通過(guò)文考關(guān)的概率分別是0.6,0.5,0.4,由于他們平時(shí)表現(xiàn)較好,都能通過(guò)政審關(guān),若后三關(guān)之間通過(guò)與否沒(méi)有影響. (1)求甲、乙、丙三位同學(xué)中恰好有一人通過(guò)復(fù)檢的概率; (2)設(shè)只要通過(guò)后三關(guān)就可以被錄取,求錄取人數(shù)X的分布列. 解 (1)設(shè)A,B,C分別表示事件“甲、乙、丙通過(guò)復(fù)檢”,則所求概率P=P(A)+P(B)+P(C)=0.5(1-0.6)(1-0.75)+(1-0.5)0.6(1-0.75)+(1-0.5)(1-0.6)0.75=0.275. (2)甲被錄取的概率為P甲=0.50.6=0.3, 同理P乙=0.60.5=0.3,P丙=0.750.4=0.3. ∴甲、乙、丙每位同學(xué)被錄取的概率均為0.3, 故可看成是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),即X~B(3,0.3),X的可能取值為0,1,2,3,其中P(X=k)=C(0.3)k(1-0.3)3-k. 故P(X=0)=C0.30(1-0.3)3=0.343, P(X=1)=C0.3(1-0.3)2=0.441, P(X=2)=C0.32(1-0.3)=0.189, P(X=3)=C0.33=0.027, 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 13.如圖所示,某快遞公司送貨員從公司A處準(zhǔn)備開(kāi)車(chē)送貨到某單位B處,有A→C→D→B,A→E→F→B兩條路線.若該地各路段發(fā)生堵車(chē)與否是相互獨(dú)立的,且各路段發(fā)生堵車(chē)事件的概率如圖所示(例如A→C→D算作兩個(gè)路段,路段AC發(fā)生堵車(chē)事件的概率為,路段CD發(fā)生堵車(chē)事件的概率為).若使途中發(fā)生堵車(chē)事件的概率較小,則由A到B應(yīng)選擇的路線是______________. 答案 A→E→F→B 解析 路線A→C→D→B途中發(fā)生堵車(chē)事件的概率 P1=1-=, 路線A→E→F→B途中發(fā)生堵車(chē)事件的概率 P2=1-=. 因?yàn)?,所以應(yīng)選擇路線A→E→F→B. 14.(2018浙江省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知一個(gè)不透明的袋中有大小、質(zhì)地相同的4個(gè)紅球,3個(gè)白球和2個(gè)黑球.若不放回地摸球,每次摸1個(gè)球,摸取4次,則恰有3次摸到紅球的概率為_(kāi)_______;若有放回地摸球,每次摸1個(gè)球,摸取3次,則摸到紅球的次數(shù)X的均值為_(kāi)_______. 答案 解析 方法一 由題意得,若不放回地摸球,恰有3次摸到紅球的概率為==,若有放回地摸球,X的所有可能取值為0,1,2,3,且P(X=0)=3=,P(X=1)=C2=,P(X=2)=C2=,P(X=3)=C3=, ∴E(X)=0+1+2+3=. 方法二 由題意得,若不放回地摸球,恰有3次摸到紅球的概率為==,若有放回地摸球, 則X~B,∴E(X)=3=. 15.(2018浙江臺(tái)州高三適應(yīng)性考試)某特種部隊(duì)的3名戰(zhàn)士甲、乙、丙在完成一次任務(wù)后有三條撤退路線可走,他們各自選擇撤退的路線是隨機(jī)且相互獨(dú)立的,若這三條路線能順利撤退回到部隊(duì)的概率分別為,,. (1)求戰(zhàn)士甲能順利撤退回到部隊(duì)的概率; (2)設(shè)X為順利撤退回到部隊(duì)的戰(zhàn)士的人數(shù),求X的均值. 解 (1)設(shè)戰(zhàn)士甲能順利撤退回到部隊(duì)的概率為P,因?yàn)樗麖娜龡l路線中選擇一條順利撤退回到部隊(duì)是隨機(jī)的,所以P=++=. (2)由題意可得X的所有可能取值為0,1,2,3,分析可知X服從二項(xiàng)分布B. 方法一 所以P(X=0)=C03=, P(X=1)=C12=, P(X=2)=C21=, P(X=3)=C30=, 所以E(X)=0+1+2+3=. 方法二 n=3,p=,E(X)=np=3=. 16.在某年全國(guó)高校自主招生考試中,某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)面試考查方案:考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題,按照題目要求獨(dú)立回答全部問(wèn)題.規(guī)定:至少正確回答其中2題的便可通過(guò).已知6道備選題中考生甲有4題能正確回答,2題不能回答;考生乙每題正確回答的概率都為,且每題正確回答與否互不影響. (1)分別寫(xiě)出甲、乙兩考生正確回答題數(shù)的分布列,并計(jì)算其均值; (2)分析比較兩考生的通過(guò)能力. 解 (1)甲正確回答的題目數(shù)ξ可取1,2,3. P(ξ=1)==,P(ξ=2)==, P(ξ=3)==. 故其分布列為 ξ 1 2 3 P E(ξ)=1+2+3=2. 又乙正確回答的題目數(shù)η~B,其分布列為 η 0 1 2 3 P ∴E(η)=np=3=2. (2)∵D(ξ)=(2-1)2+(2-2)2+(2-3)2=, D(η)=np(1-p)=3=, ∴D(ξ)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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- 浙江專(zhuān)用2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 概率隨機(jī)變量及其分布 11.3 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用講義含解析 浙江 專(zhuān)用 2020 高考 數(shù)學(xué) 新增 一輪 復(fù)習(xí) 第十一 概率 隨機(jī)變量 及其
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