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課時規(guī)范練42　圓的方程 基礎鞏固組 1.(2017云南昆明一中模擬)若點A,B在圓O:x2+y2=4上,弦AB的中點為D(1,1),則直線AB的方程是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.x-y=0 B.x+y=0 C.x-y-2=0 D.x+y-2=0 2.(2017山西臨汾模擬)若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切,則該圓的標準方程是(　　) A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1 3.已知實數(shù)x,y滿足(x+5)2+(y-12)2=122,則x2+y2的最小值為(　　) A.2 B.1 C.3 D.2 4.已知三點A(1,0),B(0,3),C(2,3),則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為(　　) A.53 B.213 C.253 D.43 5.已知圓C的圓心在曲線y=2x上,圓C過坐標原點O,且分別與x軸、y軸交于A,B兩點,則△OAB的面積等于 (　　) A.2 B.3 C.4 D.8 6.(2017廣東深圳五校聯(lián)考)已知直線l:x+my+4=0,若曲線x2+y2+2x-6y+1=0上存在兩點P,Q關于直線l對稱,則m的值為(　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 ?導學號24190938? 7.(2017北京東城區(qū)調(diào)研)當方程x2+y2+kx+2y+k2=0k2<43所表示的圓的面積取最大值時,直線y=(k-1)x+2的傾斜角α=　　　　　. 8.在平面直角坐標系xOy中,以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為　　　　　　　　　　. 9.已知等腰三角形ABC,其中頂點A的坐標為(0,0),底邊的一個端點B的坐標為(1,1),則另一個端點C的軌跡方程為　　　　　　　　　　　　　　　. 10.(2017河北邯鄲一模,文14)已知圓M與y軸相切,圓心在直線y=12x上,并且在x軸上截得的弦長為23,則圓M的標準方程為　　　　　　　　　　. 綜合提升組 11.設點M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點N,使得∠OMN=45,則x0的取值范圍是(　　) A.[-1,1] B.-12,12 C.[-2,2] D.-22,22 12.(2017北京,文12)已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標為(-2,0),O為原點,則AOAP的最大值為　　　　　. 13.在以O為原點的平面直角坐標系中,點A(4,-3)為△OAB的直角頂點,已知|AB|=2|OA|,且點B的縱坐標大于0. (1)求AB的坐標; (2)求圓x2-6x+y2+2y=0關于直線OB對稱的圓的方程. ?導學號24190939? 創(chuàng)新應用組 14.已知平面區(qū)域x≥0,y≥0,x+2y+4≤0恰好被面積最小的圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其內(nèi)部所覆蓋,則圓C的方程為　　　　　　　　　　. 15.(2017北京東城模擬)已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等,求此切線的方程; (2)從圓C外一點P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標原點,且有|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值時點P的坐標. 答案： 1.D　因為直線OD的斜率為kOD=1,所以由垂徑定理得直線AB的斜率為kAB=-1,所以直線AB的方程是y-1=-(x-1),即x+y-2=0,故選D. 2.A　由于圓心在第一象限且圓與x軸相切,因此設圓心為(a,1)(a>0).又由圓與直線4x-3y=0相切可得|4a-3|5=1,解得a=2,故圓的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=1. 3.B　設P(x,y),則點P在圓(x+5)2+(y-12)2=122上,則圓心C(-5,12),半徑r=12,x2+y2=[(x-0)2+(y-0)2]2=|OP|2. 又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值為1. 4.B　由題意知,△ABC外接圓的圓心是直線x=1與線段AB垂直平分線的交點P,而線段AB垂直平分線的方程為y-32=33x-12,它與x=1聯(lián)立得圓心P坐標為1,233, 則|OP|=12+2332=213. 5.C　設圓心的坐標是t,2t. ∵圓C過坐標原點, ∴|OC|2=t2+4t2, ∴圓C的方程為(x-t)2+y-2t2=t2+4t2. 令x=0,得y1=0,y2=4t, ∴點B的坐標為0,4t; 令y=0,得x1=0,x2=2t, ∴點A的坐標為(2t,0), ∴S△OAB=12|OA||OB|=124t|2t|=4,即△OAB的面積為4. 6.D　曲線x2+y2+2x-6y+1=0是圓(x+1)2+(y-3)2=9,若圓(x+1)2+(y-3)2=9上存在兩點P,Q關于直線l對稱,則直線l:x+my+4=0過圓心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故選D. 7.3π4　由題意知,圓的半徑r=12k2+4-4k2=124-3k2≤1k2<43. 當半徑r取最大值時,圓的面積最大,此時k=0,r=1,所以直線方程為y=-x+2,則有tan α=-1,又α∈[0,π),故α=3π4. 8.(x-1)2+y2=2　由mx-y-2m-1=0,可得m(x-2)=y+1,由m∈R知該直線過定點(2,-1),從而點(1,0)與直線mx-y-2m-1=0的距離的最大值為(2-1)2+(-1-0)2=2.故所求圓的標準方程為(x-1)2+y2=2. 9.x2+y2=2(除去點(1,1)和點(-1,-1)) 設C(x,y),根據(jù)在等腰三角形中,|AB|=|AC|可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2. 考慮到A,B,C三點要構成三角形,因此點C不能為(1,1)和(-1,-1). 所以點C的軌跡方程為x2+y2=2(除去點(1,1)和點(-1,-1)). 10.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4　設圓M的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, 由題意可得12a-b=0,|a|=r,b2+3=r2,解得a=2,b=1,r=2或a=-2,b=-1,r=2, 所以圓M的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4. 11.A　如圖所示,設點A(0,1)關于直線OM的對稱點為P,則點P在圓O上, 且MP與圓O相切,而點M在直線y=1上運動,由圓上存在點N使∠OMN=45, 則∠OMN≤∠OMP=∠OMA, ∴∠OMA≥45,∴∠AOM≤45. 當∠AOM=45時,x0=1. ∴結合圖象知,當∠AOM≤45時,-1≤x0≤1, ∴x0的取值范圍為[-1,1]. 12.6　方法1:設P(cos α,sin α),α∈R,則AO=(2,0),AP=(cos α+2,sin α),AOAP=2cos α+4. 當α=2kπ,k∈Z時,2cos α+4取得最大值,最大值為6. 故AOAP的最大值為6. 方法2:設P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,AO=(2,0),AP=(x+2,y),AOAP=2x+4,故AOAP的最大值為6. 13.解 (1)設AB=(x,y),由|AB|=2|OA|,ABOA=0, 得x2+y2=100,4x-3y=0, 解得x=6,y=8或x=-6,y=-8. 若AB=(-6,-8),則yB=-11與yB>0矛盾. ∴舍去x=-6,y=-8,即AB=(6,8). (2)圓x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=(10)2,其圓心為C(3,-1),半徑r=10. ∵OB=OA+AB=(4,-3)+(6,8)=(10,5), ∴直線OB的方程為y=12x. 設圓心C(3,-1)關于直線y=12x的對稱點的坐標為(a,b), 則b+1a-3=-2,b-12=12a+32,解得a=1,b=3, 故所求的圓的方程為(x-1)2+(y-3)2=10. 14.(x-2)2+(y-1)2=5　由題意知,此平面區(qū)域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所構成的三角形及其內(nèi)部,所以覆蓋它且面積最小的圓是其外接圓. 因為△OPQ為直角三角形, 所以圓心為斜邊PQ的中點(2,1),半徑r=|PQ|2=5, 所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5. 15.解 (1)將圓C配方,得(x+1)2+(y-2)2=2. ①當切線在兩坐標軸上的截距為零時,設切線方程為y=kx,由|k+2|1+k2=2,得k=26, ∴切線方程為y=(26)x. ②當切線在兩坐標軸上的截距不為零時,設切線方程為x+y-a=0(a≠0),由|-1+2-a|2=2,得|a-1|=2,即a=-1或a=3. ∴切線方程為x+y+1=0或x+y-3=0. 綜上,圓的切線方程為y=(2+6)x或y=(2-6)x或x+y+1=0或x+y-3=0. (2)由|PO|=|PM|,得x12+y12=(x1+1)2+(y1-2)2-2,整理得2x1-4y1+3=0,即點P在直線l:2x-4y+3=0上. 當|PM|取最小值時,|PO|取最小值,此時直線PO⊥l, ∴直線PO的方程為2x+y=0. 解方程組2x+y=0,2x-4y+3=0,得點P的坐標為-310,35.