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專題11 函數(shù)零點(diǎn) 【母題原題1】【2018江蘇，理11】若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為 ▲ ． 分析：先結(jié)合三次函數(shù)圖象確定在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的條件，求出參數(shù)a,再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即得結(jié)果. 點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可利用函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)取值條件．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等． 【母題原題2】【2017江蘇，理14】設(shè)是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上, 其中集合，則方程的解的個(gè)數(shù)是 ▲ . 【答案】8 【解析】由于，則需考慮的情況 在此范圍內(nèi)，且時(shí)，設(shè)，且互質(zhì) 【考點(diǎn)】函數(shù)與方程 【母題原題3】【2015江蘇，理13】已知函數(shù)，，則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為 【答案】4 【解析】由題意得：求函數(shù)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)以及函數(shù)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和，因?yàn)?，所以函?shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，又，所以函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，因此共有4個(gè)交點(diǎn) 【考點(diǎn)定位】函數(shù)與方程 【命題意圖】 高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查以能力與思想方法為主，重點(diǎn)考查函數(shù)與方程. 【命題規(guī)律】1．函數(shù)的零點(diǎn)問題是命題熱點(diǎn)，經(jīng)常考查函數(shù)零點(diǎn)存在的區(qū)間和零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，難度不大． 2．函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用主要是利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍． 【答題模板】解答本類題目，以2018年試題為例，一般考慮如下三步： 第一步：明確目標(biāo)函數(shù). 第二步：根據(jù)函數(shù)圖像與性質(zhì)研究零點(diǎn)問題. 第三步：結(jié)合圖像討論參數(shù)取值范圍. 【方法總結(jié)】函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)用問題的常見類型及解題策略 (1)已知函數(shù)零點(diǎn)存在求參數(shù)．根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程的根求解參數(shù)應(yīng)分三步：①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式；③解不等式，即得參數(shù)的取值范圍． (2)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)．常利用數(shù)形結(jié)合法． (3)借助函數(shù)零點(diǎn)比較大?。容^f(a)與f(b)的大小，通常先比較f(a)，f(b)與0的大小． 1．【江蘇省南通市2018屆高三最后一卷 --- 備用題數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________． 【答案】. 在上有兩個(gè)交點(diǎn)， 只需在有一個(gè)交點(diǎn)即可， 畫出兩函數(shù)圖象，如圖， 由圖可得， ， 故答案為. 點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題. 數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個(gè)數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)． 2．【江蘇省蘇州市2018屆高三調(diào)研測(cè)試（三）數(shù)學(xué)試題】如果函數(shù)在其定義域內(nèi)總存在三個(gè)不同實(shí)數(shù)，滿足，則稱函數(shù)具有性質(zhì).已知函數(shù)具有性質(zhì) ，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________. 【答案】 ， . 故答案為： 點(diǎn)睛：（1）零點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題進(jìn)行求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． （2）求零點(diǎn)范圍時(shí)用數(shù)形結(jié)合求解可減少思維量，作圖時(shí)要盡量準(zhǔn)確. 3．【江蘇省鹽城中學(xué)2018屆高三考前熱身2數(shù)學(xué)試卷】已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____． 【答案】. 綜上，范圍是. 給答案為：. 點(diǎn)睛：本題中涉及根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值，是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問題，（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解. 4．【江蘇省南京師大附中2018屆高三高考考前模擬考試數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝，若方程g[f (x)]－a＝0（a＞0）有6個(gè)實(shí)數(shù)根（互不相同），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______． 【答案】 ，由g[f（x）]-a=0（a＞0）得g[f（x）]=a，（a＞0）設(shè)t=f（x），則g（t）=a，（a＞0）由y=g（t）的圖象知，①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程g（t）=a有兩個(gè)根-4＜t1＜-3，或-4＜t2＜-2，由t=f（x）的圖象知，當(dāng)-4＜t1＜-3時(shí)，t=f（x）有0個(gè)根，當(dāng)-4＜t2＜-2時(shí)，t=f（x）有0個(gè)根，此時(shí) 點(diǎn)睛：本題主要考查根的個(gè)數(shù)的判斷，利用換元法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大． 5．【江蘇省海門中學(xué)2018屆高三5月考試（最后一卷）數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù)，若在區(qū)間上有且只有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______. 【答案】. 【解析】分析：將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)的問題，結(jié)合函數(shù)的圖象整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)滿足：， 很明顯不是其零點(diǎn)，則：， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)滿足：，則：， 則原問題等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 很明顯單調(diào)遞減， 且當(dāng)時(shí)，， 繪制函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法： (1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)． (2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)． (3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)． 6．【江蘇省揚(yáng)州樹人學(xué)校2018屆高三模擬考試（四）數(shù)學(xué)試題】已知等邊的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)在線段上，若滿足的點(diǎn)恰有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】. ∴關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根． 設(shè)， 則函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， ∴，解得． ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是． 點(diǎn)睛：（1）用定義進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，有時(shí)要注意選擇合適的基底，將所有向量用同一基底表示，然后再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解． （2）對(duì)于一元二次方程根的分布問題，可根據(jù)“三個(gè)二次”間的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化為不等式（組），通過解不等式（組）可得所求． 7．【江蘇省揚(yáng)州樹人學(xué)校2018屆高三模擬考試（四）數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù)（，為正實(shí)數(shù)）只有一個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為__________． 【答案】. ∴的最小值為. 點(diǎn)睛：應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，一定要滿足不等式成立的條件，即“一正、二定、三相等”，若題目中不滿足使用基本不等式的條件，則需要通過“拆”、“拼”、“湊”等手段進(jìn)行變形，以得到能使用不等式的條件，然后再利用不等式． 8．【江蘇省南京市2018屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題】已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若存在，使得函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則的取值范圍為_________． 【答案】 點(diǎn)睛：(1)本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問題和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合的能力. (2)本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是轉(zhuǎn)化為存在零點(diǎn)，其二是如何數(shù)形結(jié)合分析兩個(gè)函數(shù)的圖像求出a的最大值和最小值. 9．【江蘇省2018年高考沖刺預(yù)測(cè)卷一數(shù)學(xué)】已知，若函數(shù)且有且只有五個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】由題意可知，是的一個(gè)零點(diǎn)， 當(dāng)式，由可得： 點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，先求出一個(gè)零點(diǎn)，然后分離含參量，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，求出有四個(gè)交點(diǎn)的情況，即最值問題。本題較為綜合，有一定難度。 10．【江蘇省姜堰、溧陽、前黃中學(xué)2018屆高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，則的取值范圍是____. 【答案】 【解析】如圖，由|x2﹣2x﹣1|﹣t=0得到：t=|（x﹣1）2﹣2|，則0＜t＜2． 點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決； (3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．