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專題對點練4 從審題中尋找解題思路
一、選擇題
1.已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是( )
A.(-1,3) B.(-1,3) C.(0,3) D.(0,3)
2.已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且當0≤x<2時,f(x)=x3-x,則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點的個數(shù)為( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.已知F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩個焦點,P是C上一點,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小的內角為30,則雙曲線C的漸近線方程是( )
A.2xy=0 B.x2y=0
C.x2y=0 D.2xy=0
4.已知雙曲線C:x2-y24=1,過點P(1,1)作直線l,使l與C有且只有一個公共點,則滿足上述條件的直線l的條數(shù)共有( )
A.3 B.2 C.1 D.4
5.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,其中b>a,且對任意x∈R都有f(x)≥0,則M=a+2b+3cb-a的最小值為( )
A.5-232 B.5+232 C.7-352 D.7+352
6.(2018河北一模)設雙曲線x2a2-y2b2=1(0
0,解得-1|PF2|,則根據(jù)雙曲線的定義得,|PF1|-|PF2|=2a,
又|PF1|+|PF2|=6a,
解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.
在△PF1F2中,|F1F2|=2c,
而c>a,所以有|PF2|<|F1F2|,
所以∠PF1F2=30,所以(2a)2=(2c)2+(4a)2-22c4acos 30,得c=3a,
所以b=c2-a2=2a,
所以雙曲線的漸近線方程為y=bax=2x,即2xy=0.
4.D 解析 當直線l斜率存在時,令l:y-1=k(x-1),
代入x2-y24=1中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-k2+2k-5=0.當4-k2=0,即k=2時,l和雙曲線的漸近線平行,有一個公共點.
當k≠2時,由Δ=0,解得k=52,即k=52時,有一個切點.
直線l斜率不存在時,x=1也和曲線C有一個切點.
綜上,共有4條滿足條件的直線.
5.D 解析 由題意得a>0,b2-4ac≤0,即c≥b24a,則M=a+2b+3cb-a≥a+2b+3b24ab-a=1+2ba+34ba2ba-1.
令ba=t,則t>1,于是M≥1+2t+34t2t-1=34(t-1)2+72(t-1)+154t-1=34(t-1)+1541t-1+72≥352+72,
當且僅當t-1=5,即b=(1+5)a,c=b24a=3+52a時等號成立.
所以M=a+2b+3cb-a的最小值為7+352.
6.A 解析 ∵直線l過(a,0),(0,b)兩點,
∴直線l的方程為xa+yb=1,
即bx+ay-ab=0.
又原點到直線l的距離為34c,
∴|ab|a2+b2=34c,即a2b2a2+b2=316c2,
又c2=a2+b2,∴a2(c2-a2)=316c4,
即316c4-a2c2+a4=0,
化簡得(e2-4)(3e2-4)=0,
∴e2=4或e2=43.
又∵02,
∴e2=4,即e=2,故選A.
7.2 解析 (法一)因為bcos C+ccos B=2b,所以ba2+b2-c22ab+ca2+c2-b22ac=2b,化簡可得ab=2.
(法二)因為bcos C+ccos B=2b,
所以sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,
故sin(B+C)=2sin B,故sin A=2sin B,則a=2b,即ab=2.
8.(1)82 (2)5 解析 (1)a9,9表示第9行第9列,第1行的公差為1,第2行的公差為2,……第9行的公差為9,第9行的首項b1=10,則b9=10+89=82.
(2)第1行數(shù)組成的數(shù)列a1,j(j=1,2,…)是以2為首項,公差為1的等差數(shù)列,所以a1,j=2+(j-1)1=j+1;第i行數(shù)組成的數(shù)列ai,j(j=1,2,…)是以i+1為首項,公差為i的等差數(shù)列,所以ai,j=(i+1)+(j-1)i=ij+1,由題意得ai,j=ij+1=82,即ij=81,且i,j∈N*,所以81=811=273=99=181=327,故表格中82共出現(xiàn)5次.
9.(22,10) 解析 因為b是12和2的等比中項,所以b=122=1.
因為c是1和5的等差中項,
所以c=1+52=3.
又因為△ABC為銳角三角形,
①當a為最大邊時,有12+32-a2>0,a≥3,1+3>a,
解得3≤a<10;
②當c為最大邊時,有12+a2-32>0,a+1>3,a≤3,
解得220,
所以f(x)在(0,+∞)內單調遞增.
若a>0,則當x∈0,1a時,f(x)>0;當x∈1a,+∞時,f(x)<0.
所以f(x)在0,1a內單調遞增,在1a,+∞內單調遞減.
(2)由(1)知,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上無最大值;
當a>0時,f(x)在x=1a處取得最大值,最大值為
f1a=ln1a+a1-1a=-ln a+a-1.
因此f1a>2a-2等價于ln a+a-1<0.
令g(a)=ln a+a-1,則g(a)在(0,+∞)內單調遞增,
g(1)=0.于是,當01時,g(a)>0.
因此,a的取值范圍是(0,1).
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