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高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 柯西不等式應(yīng)用例析素材 新人教A版選修45

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1、 柯西不等式應(yīng)用例析 柯西不等式(++…+)≤(a+a+…+a)(b+b+…+b) (等號當(dāng)且僅當(dāng)==……=時成立)結(jié)構(gòu)簡單,在證明有些不等式時十分奏效.下面介紹幾例. 例1 已知a、b、c,求證:(++)(++)≥9. 證明:由柯西不等式得 (++)(++) = [++][++]≥(·+·+·)= (1+1+1)= 9. 例2 在△ABC中,設(shè)其各邊長為a、b、c,外接圓半徑,求證:(++)(++)≥. 證明:∵===,∴由柯西不等式得 (++)(++) = (++)= (++)=. 例3 已知a、b、cR+,a+b+c = 1,求證

2、:++≤4. 證明:∵a+b+c = 1,∴由柯西不等式得 (++)= (1·+1·+1·)≤(1+1+1)(13a+1+13b+1+13c+1) = 3[13(a+b+c)+3] = 48, ∵++>0, ∴ ++≤= 4. 例4 設(shè)a、b、cR+,a+b+c = 1,求證:(a+)+(b+)+(c+)≥. 證明:∵a+b+c = 1,∴由柯西不等式得 (a+)+(b+)+(c+) =(1+1+1)[(a+)+(b+)+(c+)] ≥[1·(a+)+1·(b+)+1·(c+)] =[( a+b+c)+(++)

3、] =[1+( a+b+c)(++)] ={[1+()+()+()] [()+()+()]} ≥[1+(·+·+·)] =(1+3) =. 例5 設(shè),,,…,為正數(shù),求證:+++…++≥+++…+. 證明:由柯西不等式得 (+++…++)(++…++) ≥(·+·+…+·+·) = (+++…+), ∴+++…++≥=+++…+. 例6 已知,,,…,為兩兩不相等的正整數(shù),求證:對任何正整數(shù)n,不等式++…+≥++…+成立. 證明:∵,,,…,是兩兩不相等的正整數(shù), ∴++…+≥++…+, 由柯西不等式得 (++…+)(++…+) ≥(·+·+…+·) = (++…+), ∴++…+≥≥=++…+. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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