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1、 第三講 柯西不等式與排序不等式 單元整合 知識網絡 專題探究 專題一　柯西不等式的應用 利用柯西不等式證明其他不等式或求最值，關鍵是構造兩組數，并向著柯西不等式的形式進行轉化． 已知實數a，b，c，d，e滿足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，求e的取值范圍． 提示：由a2＋b2＋c2＋d2＋e2聯想到應用柯西不等式． 解：∵4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2， 即4(16－e2)≥(8－e)2,64－4e2≥64－16e＋e2， 即5e2－16e≤0，∴e(5e－16)≤0，∴

2、0≤e≤. 即e的取值范圍是. 若n是不小于2的正整數，試證： ＜1－＋－＋…＋－＜. 提示：注意中間的一列數的代數和，其奇數項為正，偶數項為負，可進行恒等變形予以化簡． 證明：1－＋－＋…＋－ ＝－2 ＝＋＋…＋， 所以求證式等價于＜＋＋…＋＜. 由柯西不等式，有 [(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]＞n2， 于是，＋＋…＋ ＞＝＝ ≥＝， 又由柯西不等式，有＋＋…＋＜ ≤＝. 綜上，原不等式成立． 專題二　排序不等式的應用 應用排序不等式可以簡捷地證明一類不等式，其證明的關鍵是找出兩組有序數組，通常可以從函數單調性去尋找． 在△ABC中，試證：≤＜

3、. 提示：可構造△ABC的邊和角的序列，應用排序不等式來證明． 證明：不妨設a≤b≤c，于是A≤B≤C，由排序不等式，得： aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，得≥，① 又由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b， 有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋

4、bB＋cC)， 得＜.② 由①②得原不等式成立． 專題三　利用不等式解決最值問題 利用不等式解決最值問題，尤其是含多個變量的問題，是一種常用方法．特別是條件最值問題，通常運用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及冪平均不等式等，但要注意取等號的條件能否滿足． 設a，b，c為正實數，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值． 解：根據柯西不等式，知 (a＋2b＋3c) ≥2＝(＋＋)2， ∴(＋＋)2≤， 則＋＋≤， 當且僅當＝＝時取等號． 又a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝，c＝時， ＋＋有最大值. 專題四　利用柯西不等式解決實際問題 數學知識服務于生活實踐始終

5、是數學教學的中心問題，利用柯西不等式解決實際問題，關鍵是從實際情景中構造出這類不等式的模型． 如圖，等腰直角三角形AOB的直角邊長為1. 在此三角形中任取點P，過P分別引三邊的平行線，與各邊圍成以P為頂點的三個三角形(圖中陰影部分)，求這三個三角形的面積和的最小值，以及達到最小值時P的位置． 解：分別取OA，OB為x軸、y軸，則AB的方程為x＋y＝1， 記P點坐標P(xP，yP)，則以P為公共頂點的三個三角形的面積和S為S＝x＋y＋(1－xP－yP)2，則 2S＝x＋y＋(1－xP－yP)2. 由柯西不等式，得 [x＋y＋(1－xP－yP)2](12＋12＋12)≥ [xP＋yP＋(1－xP－yP)]2， 即2S3＝6S≥1，所以S≥. 當且僅當＝＝時，等號成立， 即xP＝y(tǒng)P＝時，面積S最小，且最小值為. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375