《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.1 函數(shù)的概念 2.1.1 函數(shù)的概念和圖象1學(xué)案 蘇教版必修1》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.1 函數(shù)的概念 2.1.1 函數(shù)的概念和圖象1學(xué)案 蘇教版必修1(4頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2.1.1 函數(shù)的概念和圖象
第1課時(shí) 函數(shù)的概念
1.體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,理解函數(shù)的概念.
2.了解構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對應(yīng)法則、值域,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.
函數(shù)的概念
一般地,設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集,如果按某種對應(yīng)法則f,對于集合A中的每一個(gè)元素x,在集合B中都有惟一的元素y和它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù),通常記為y=f(x),x∈A.
其中,所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域.
若A是函數(shù)y=f(x)的定義域,則對于A中的每一個(gè)x,都有一個(gè)輸出值y與之對應(yīng).我們將所有輸出值y組成
2、的集合稱為函數(shù)的值域.
符號y=f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示,應(yīng)理解為x是自變量,它是法則所施加的對象;f是對應(yīng)法則,它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式,也可以是圖象、表格或文字描述;y是自變量的函數(shù),當(dāng)x允許取某一個(gè)具體數(shù)值時(shí),相應(yīng)的y值與之對應(yīng).“y=f(x)”僅僅是函數(shù)符號,還可用“y=g(x)”“y=F(x)”“y=G(x)”等來表示函數(shù)關(guān)系.
【做一做1-1】已知f(x)=+,則f(7)=__________.
答案:5
【做一做1-2】求下列函數(shù)的定義域和值域.
(1)y=;(2)y=+3.
解:(1)定義域:(-∞,0)∪(0,+∞),
值域:(-∞,0)∪(0,
3、+∞);
(2)定義域:[1,+∞),值域:[3,+∞).
1.三種基本初等函數(shù)的定義域和值域
剖析:(1)一次函數(shù)f(x)=kx+b(k≠0)的定義域是R,值域是R.
(2)反比例函數(shù)f(x)=(k≠0)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),值域是(-∞,0)∪(0,+∞).
(3)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定義域是R.當(dāng)a>0時(shí),值域是;當(dāng)a<0時(shí),值域是.
2.如何判斷兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)
剖析:只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù),這就是說:(1)定義域不同,兩個(gè)函數(shù)不同;(2)對應(yīng)法則不同,兩個(gè)函數(shù)也是不同的;(3)
4、即使是定義域和值域分別相同的兩個(gè)函數(shù),它們也不一定是同一函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能惟一地確定函數(shù)的對應(yīng)法則.例如,函數(shù)y=x+1與y=x-1,它們的定義域都是R,值域都是R,也就是說,這兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域都分別相同,但它們的對應(yīng)法則是不同的,因此不能說這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù).由于值域可以由定義域和對應(yīng)法則惟一確定,所以兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域與對應(yīng)法則分別相同時(shí),才是同一函數(shù).
題型一 函數(shù)的概念
【例1】下列四組函數(shù)中,f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的有__________.
①f(x)=,g(x)=()4
②f(x)=x,g(x)=
③f(x)=1,g(x)=1(x≠
5、0)
④f(x)=x-1,g(x)=|x-1|
解析:若兩個(gè)函數(shù)能表示同一個(gè)函數(shù),則必須滿足:①定義域相同;②對應(yīng)法則相同.
對于①,兩函數(shù)的定義域不同,其中f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R},g(x)的定義域?yàn)閧x|x≥0};對于②,定義域、值域和對應(yīng)法則都相同,所以f(x)與g(x)表示同一函數(shù);對于③,定義域不同,其中f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0};④的對應(yīng)法則不同.
答案:②
反思:一般地,函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則確定,值域就隨之確定,因此判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù),只需判斷它們的定義域和對應(yīng)法則是否分別相同即可.
題型二 求函數(shù)的定義域
【例2】求
6、下列函數(shù)的定義域:
(1)y=2+;
(2)y=·;
(3)y=.
分析:給定函數(shù)時(shí),要指明函數(shù)的定義域.對于用解析式表示的函數(shù),如果沒有給出定義域,那么就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值集合.
解:(1)要使函數(shù)有意義,必須滿足x-2≠0成立,即x≠2,所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈R,且x≠2}.
(2)要使函數(shù)有意義,必須滿足成立,解得1≤x≤3,
所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈R,且1≤x≤3}.
(3)要使函數(shù)有意義,必須滿足成立,解得x>-1,所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>-1}.
反思:一般地,求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)解析式有意義
7、的自變量的取值的集合:
(1)解析式是整式的函數(shù),其定義域?yàn)镽;
(2)解析式是分式的函數(shù),其定義域?yàn)槭狗帜覆粸榱愕膶?shí)數(shù)的集合;
(3)解析式是偶次根式的函數(shù),其定義域是使被開方式為非負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)的集合;
(4)如果解析式是由實(shí)際問題得出的,則其定義域是同時(shí)使實(shí)際問題和解析式有意義的實(shí)數(shù)的集合;
(5)求函數(shù)的定義域的步驟通常是先根據(jù)題意列不等式(組),再解不等式(組),而后得出結(jié)論.
題型三 求函數(shù)的值域
【例3】求下列函數(shù)的值域:
(1)y=;(2)y=.
分析:求函數(shù)的值域沒有統(tǒng)一的方法.如果函數(shù)的定義域是有限個(gè)值,那么就可將函數(shù)值都求出得到值域;如果函數(shù)的定義域是無數(shù)
8、個(gè)值時(shí),則可根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)采取相應(yīng)的方法來求其值域,如觀察法、配方法、換元法等.
解:(1)(觀察法)y==2+.
因?yàn)閤≠3,≠0,
所以y≠2.故所求函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠2}.
(2)(逐步求解法)先分離常數(shù),y===1-.∵x2+1≥1,∴0<≤1.
∴-2≤1-<1.∴y∈[-2,1).
題型四 求已知函數(shù)的函數(shù)值
【例4】已知f(x)=x2+1,g(x)=,
(1)求f(2)和g(a);
(2)求f[g(1)]和g[f(x)].
分析:求某個(gè)函數(shù)的某個(gè)函數(shù)值,就是將自變量用相應(yīng)的代數(shù)式或數(shù)替換,然后化簡即可;求f[g(a)]時(shí),一般遵循先里后外的原則,先
9、求g(a),然后將f(x)解析式中的x代換為g(a),同時(shí)要注意函數(shù)的定義域.
解:(1)f(2)=22+1=5,g(a)=.
(2)f[g(1)]=+1=;
g[f(x)]=g(x2+1)==.
反思:要正確理解f(a)的含義.如果自變量取a,則由對應(yīng)法則f確定的y的值稱為函數(shù)在a處的函數(shù)值,記作f(a);求某個(gè)函數(shù)的函數(shù)值時(shí),還要正確理解對應(yīng)法則“f”和“g”的含義.
1已知函數(shù)f(x)=,則函數(shù)f[f(x)]的定義域是__________.
解析:由條件得:f[f(x)]=,
從而由得之.
答案:{x|x≠-1,且x≠-2}
2設(shè)f(x)=,又記f1(x)=f(x)
10、,fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2,…,則f2010(x)等于__________.
解析:因f1(x)=f(x)=,
f2(x)=f(f1(x))==-,
f3(x)=f(f2(x))==,
f4(x)=f(f3(x))==x,
所以它的規(guī)律是以4為周期,從而由2 010=4×502+2,得f2 010(x)=f2(x).
答案:-
3函數(shù)y=(x∈R)的值域是______.
解析:(方法一)由y=,得x2=.
∴≥0.解之,得0≤y<1.
(方法二)y==1-,
∵x2+1≥1,∴-1≤-<0.∴0≤y<1.
答案:[0,1)
已知P={x|
11、0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列對應(yīng)不表示從P到Q的函數(shù)的有__________.
(1)f:x→y=x
(2)f:x→y=x
(3)f:x→y=x
(4)f:x→y=
解析:因?yàn)楫?dāng)x=4時(shí),y=6不在集合Q中,(3)不符合函數(shù)的定義,其他均符合.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375