《高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差課堂導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修23》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差課堂導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修23（4頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差 課堂導(dǎo)學(xué) 三點(diǎn)剖析 一、離散型隨機(jī)變量的方差 【例1】袋中有1個白球和4個黑球，每次從中任取一個球，但不放回原袋中，直到取到白球?yàn)橹梗笕∏虼螖?shù)的期望及方差. 解析：當(dāng)每次取出的黑球不再放回時，設(shè)隨機(jī)變量ξ是取球次數(shù)，因?yàn)槊看稳〕龅暮谇虿辉俜呕厝ィ驭蔚目赡苤禐?，2，3，4，5，易知：P（ξ=1）==0.2,P(ξ=2)=·=0.2, P(ξ=3)=··=0.2,P(ξ=4)=···=0.2,P(ξ=5)=····1=0.2, ∴所求ξ的概

2、率分布為 ξ 1 2 3 4 5 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 ∴Eξ=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3, Dξ=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2+(5-3)2×0.2=2. 溫馨提示 求期望和方差的問題關(guān)鍵是求隨機(jī)變量的分布列，即求每種情況的概率.因此求事件的概率是基礎(chǔ)，另外方差可用定義求，也可以用公式：Dη=Eη2-(Eη)2求. 二、離散型隨機(jī)變量的方差的作用 【例2

3、】A、B兩臺測量儀器測量一長度為120 mm的工件時分布列如下： A： 118 119 120 121 122 0.06 0.14 0.60 0.15 0.05 B： 118 119 120 121 122 0.09 0.15 0.52 0.16 0.08 試比較兩種儀器的優(yōu)劣. 解析：設(shè)隨機(jī)變量ξ1表示用A儀器測量此產(chǎn)品長度的數(shù)值，隨機(jī)變量ξ2表示用B儀器測量此產(chǎn)品長度的數(shù)值，從而有 Eξ1=118×0.06+119×0.14+120×0.60+121×0.15+122×0.05=119.99

4、, Dξ1=(118-119.99)2×0.06+(119-119.99)2×0.14+(120-119.99)2×0.60+(121-119.99)2×0.15+(122-119.99)2×0.05=0.729 9, Eξ2=118×0.09+119×0.15+120×0.52+121×0.16+122×0.08=119.99, Dξ2=(118-119.99)2×0.09+(119-119.99)2×0.15+(120-119.99)2×0.52+(121

5、-119.99)2×0.16+(122-119.99)2×0.08=0.989 9， 由此可知，Eξ1=Eξ2,Dξ1<Dξ2, ∴A儀器測量結(jié)果波動較小，表明A儀器質(zhì)量較好. 溫馨提示 本題若僅由Eξ1=Eξ2,易產(chǎn)生兩臺儀器性能一樣好的錯覺.這表明在實(shí)際問題中僅靠期望值不能完全反映隨機(jī)變量的分布特征，還要研究其偏離平均值的離散程度（即方差）. 三、離散型隨機(jī)變量的方差的最值 【例3】 若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p（0<p<1）,用隨機(jī)變量ξ表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù). （1）求方差Dξ的最大值？ （2）求的最大值.

6、 解析：隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1-p， 從而Eξ=0×(1-p)+1×p=p, Dξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2. (1)Dξ=p-p2 =-(p2-p+)+ =-(p)2+, ∵0<p<1, ∴當(dāng)p=時，Dξ取得最大值，最大值為. (2)==2-(2p+), ∵0<p<1, ∴2p+≥2, 當(dāng)2p=,p=時，取“=”，因此，當(dāng)p=時， 取得最大值2-2. 各個擊破 類題演練 1 已知某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列為 X

7、 1 0 P p q 且0<p<1.q=1-p,求D（X）. 解析：由題目知X服從二點(diǎn)分布，所以 E（X）=p, D(X)=(1-p)2·p+(0-p)2·q=q2p+p2q=pq. 這表明在二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X圍繞期望的平均波動大小為pq. 變式提升 1 已知某離散型隨機(jī)變量X服從下面的二項(xiàng)分布： P（X=k）=0.1k0.94-k(k=0,1,2,3,4), 求E（X）和D（X）. 解析：根據(jù)題目知道離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)n=4和p=0.1的二項(xiàng)分布，所以 E（X）=np=4×0.1=0.4,

8、 D(X)=npq=4×0.1×0.9=0.36. 類題演練 2 一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項(xiàng)，其中有且僅有一個選項(xiàng)是正確的，每個選擇正確答案得4分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分.某學(xué)生選對任一題的概率為0.6，求此學(xué)生在這一次測驗(yàn)中的成績的期望與方差. 解：設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測試中選擇正確答案的個數(shù)為X，所得的分?jǐn)?shù)（成績）為Y，則Y=4X. 由題知X~B（25，0.6）, ∴EX=25×0.6=15, DX=25×0.6×0.4=6, EY=E(4X)=4EX=60, DY=D(4X)

9、=42×DX=16×6=96. 答：該學(xué)生在這次測驗(yàn)中的期望與方差分別是60與96. 點(diǎn)評：審清題意得出X~B（25，0.6）是解本題的重要一步. 變式提升 2 若X是離散型隨機(jī)變量，P（X=x1）=,P(X=x2)= ,且x1<x2,又已知EX=,DX=,則x1+x2的值為（ ） A. B. C.3 D. 解析：由EX=x1+x2=得 2x1+x2=4① 又DX=（x1-）2·+(x2-)2·=得 18x12+9x22

10、-48x1-24x2+29=0② 由①②，且x1<x2得x1+x2=3. 答案：C 類題演練 3 設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和，且P（A）=p，令隨機(jī)變量X=1， 則X的方差DX等于（ ） A.p B.2p(1-p) C.-p(1-p) D.p(1-p) 解析：EX=0·（1-p）+1·p=p, DX=(0-p)2·（1-p）+(1-p)2·p =p-p2=p(1-p). 答案：D 變式提升 2 甲、乙兩種水稻在相同條

11、件下各種植100畝，它們收獲情況如下： 甲： 畝產(chǎn)量（單位：公斤） 300 320 330 340 畝數(shù) 20 25 40 15 乙： 畝產(chǎn)量（單位：公斤） 310 320 330 340 畝數(shù) 30 20 40 10 試評價哪種水稻的質(zhì)量較好. 解：設(shè)甲、乙兩種水稻的畝產(chǎn)量分別為ξ1,ξ2,則 P（ξ1=300)==,P(ξ1=320)==, P(ξ1=330)==,P(ξ1=340)==; P(ξ2=310)==,P(ξ2=320)==, P(ξ2=330)==,P(ξ2=340)==. 從而有 Eξ1=300×+320

12、×+330×+340×=323. Eξ2=310×+320×+330×+340×=323. 這表明兩種水稻的平均畝產(chǎn)量相等，進(jìn)一步求各自的方差，得 Dξ1=（300-323）2×+(320-323)2×+(330-323)2×+(340-323)2×=171, Dξ2=(310-323)2×+(320-323)2×+(330-323)2×+(340-323)2×=101, 即有Dξ1>Dξ2. 這說明乙種水稻其畝產(chǎn)量較為穩(wěn)定，因此乙種水稻質(zhì)量較好. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375