《高中數學 第一章 集合與函數概念 第1節(jié) 集合1教案 新人教A版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學 第一章 集合與函數概念 第1節(jié) 集合1教案 新人教A版必修1（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第一章第一節(jié)集合第一課時 通過本章的學習，使學生會使用最基本的集合語言表示有關的數學對象，并能在自然語言、圖形語言、集合語言之間進行轉換，體會用集合語言表達數學內容的簡潔性、準確性，幫助學生學會用集合語言描述數學對象，發(fā)展學生運用數學語言進行交流的能力．通過本章的學習，使學生不僅把函數看成變量之間的依賴關系，同時還會用集合與對應的語言刻畫函數，為后續(xù)學習奠定基礎．函數是高中數學的核心概念，本章把函數作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數學模型來學習，強調結合實際問題，使學生感受運用函數概念建立模型的過程與方法，從而發(fā)展學生對變量數學的認識，培養(yǎng)學生的抽象概括能力，提高學生應用數學的意識．

2、 課本力求緊密結合學生的生活經驗和已有數學知識，通過列舉豐富的實例，強調從實例出發(fā)，讓學生對集合和函數概念有充分的感性認知基礎，再用集合與對應語言抽象出函數概念．課本突出了集合和函數概念的背景教學，這樣比較符合學生的認識規(guī)律．教學中要高度重視數學概念的背景教學．課本盡量創(chuàng)設使學生運用集合語言和數學符號進行表達和交流的情境和機會，并注意運用Venn圖表達集合的關系及運算，用圖象表示函數，幫助學生借助直觀圖示認識抽象概念．課本在例題、習題的教學中注重運用集合和函數的觀點研究、處理數學問題，這一觀點，一直貫穿到以后的數學學習中．在例題和習題的編排中，滲透了分類討論思想，讓學生體會到分類討論思想在生活

3、中和數學中的廣泛運用，這是學生在初中階段所缺少的．函數的表示是本章的主要內容之一，課本重視采用不同的表示法(列表法、圖象法、分析法)，目的是豐富學生對函數的認識，幫助理解抽象的函數概念．在教學中，既要充分發(fā)揮圖象的直觀作用，又要適當地引導學生從代數的角度研究圖象，使學生深刻體會數形結合這一重要數學方法．課本將函數推廣到了映射，體現了由特殊到一般的思維規(guī)律，有利于學生對函數概念學習的連續(xù)性． 在教學中，要堅持循序漸進，逐步滲透數形結合、分類討論這方面的訓練．對函數的三要素著重從函數的實質上要求理解，而對定義域、值域的繁難計算，特別是人為的過于技巧化的訓練不作提倡，要準確把握這方面的要求，防止拔

4、高教學．重視函數與信息技術整合的要求，通過電腦繪制簡單函數動態(tài)圖象，使學生初步感受到信息技術在函數學習中的重要作用．為了體現課本的選擇性，在練習題安排上加大了彈性，教師應根據學生實際情況，合理地取舍． 本章教學時間約需14課時，具體分配如下(僅供參考)： 1.1.1 集合的含義與表示 約1課時 1.1.2 集合間的基本關系 約1課時 1.1.3 集合的基本運算 約2課時 1.2.1 函數的概念 約2課時 1.2.2 函數的表示法 約3課時 1.3.1 單調性與最大(小)值 約2課時 1.3.2 奇偶性 約1課時 實習作業(yè) 約1課時 本章復習

5、 約1課時 作者：唐洵 教學分析　　　　　 集合語言是現代數學的基本語言，同時也是一種抽象的數學語言．教材將集合的初步知識作為初、高中數學課程的銜接，既體現出集合在高中數學課程中舉足輕重的作用，又體現出集合在數學中的奠基性地位． 課本除了從學生熟悉的集合(自然數的集合、有理數的集合等)出發(fā)，結合實例給出元素、集合的含義、性質、表示方法之外，還特別注意滲透了“概括”與“類比”這兩種常用的邏輯思考方法．因此，建議教學時，應引導學生從大量的實例中概括出集合的含義；多創(chuàng)設讓學生運用集合語言進行表達和交流的情境和機會，以便學生在實際應用中逐漸熟悉自然語言、集合語言和圖形語言各自的特點和表

6、示方法，能進行相互轉換并且靈活應用，充分掌握集合語言．與此同時，本小節(jié)作為高一數學教學的第一節(jié)新授課，知識體系中的新概念、新符號較多，建議教學時先引導學生閱讀課本，然后進行交流、討論，讓學生在閱讀與交流中理解概念并熟悉新符號的使用．這樣，既能夠培養(yǎng)學生自我閱讀、共同探究的能力，又能提高學生主動學習、合作交流的精神． 三維目標 1．了解集合含義；理解元素與集合“屬于”關系；熟記常用數集專用符號． 2．深刻理解集合元素的確定性、互異性、無序性；能夠用其解決有關問題． 3．能選擇不同的形式表示具體的問題中的集合． 重點難點 教學重點：集合的基本概念與表示方法． 教學難點：選擇適當的方法

7、表示具體問題中的集合． 課時安排 1課時 導入新課 思路1.集合對我們來說可謂是“最熟悉的陌生人”．說它熟悉，是因為我們在現實生活中常常用到“集合”這個名詞；比如說，軍訓的時候，教官是不是經常喊：“高一(4)班的同學，集合啦！”那么說它陌生，是因為我們還未從數學的角度理解集合，從數學的層面挖掘集合的內涵．那么，在數學的領域中，集合究竟是什么呢？集合又有著怎樣的含義呢？就讓我們通過今天這堂課的學習，一起揭開“集合”神秘的面紗． 思路2.你經常會談論你的家庭，你的班級．其實在講到你的家庭、班級的時候，你必定在聯想構成家庭、班級的成員，例如：家庭成員就是被你稱為父親、母親、哥哥、姐姐、

8、妹妹、弟弟……的人；班級成員就是與你在同一個教室里一起上課、一起學習的人；一些具有特定屬性的人構成的群體，在數學上就是一個集合．那么，在數學中，一些對象的總體怎樣才可以構成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？ 這就是本節(jié)課我們所要學習的內容． 思路3.“同學們，在小學和初中的學習過程中，我們已經接觸過一些集合的例子，比如說：有理數集合，到一個定點的距離等于定長的點的集合(圓)，那么大家是否能夠舉出更多關于集合的例子呢？”(通過兩個簡單的例子，引導大家進行類比，運用發(fā)散性思維思考說出更多的關于集合的實例，然后教師予以點評．) “那么，集合的含義究竟是什么？它又該如何表示呢

9、？這就是我們今天要研究的課題．” 推進新課 ①中國有許多傳統(tǒng)的佳節(jié)，那么這些傳統(tǒng)的節(jié)日是否能構成一個集合?如果能，這個集合由什么組成? ②全體自然數能否構成一個集合?如果能，這個集合由什么組成? ③方程x2-3x+2=0的所有實數根能否構成一個集合?如果能，這個集合由什么組成? ④你能否根據上述幾個問題總結出集合的含義? 討論結果：①能．這個集合由春節(jié)、元宵節(jié)、端午節(jié)等有限個種類的節(jié)日組成，稱為有限集． ②能．這個集合由0、1、2、3、……等無限個元素組成，稱為無限集． ③能．這個集合由1、2兩個數組成． ④我們把研究對象統(tǒng)稱為“元素”

10、，把一些元素組成的總體叫做“集合”． 通過以上的學習我們已經知道集合是由一些元素組成的總體，那么是否所有的元素都能構成集合呢?請看下面幾個問題 ①近視超過300度的同學能否構成一個集合? ②“眼神很差”的同學能否構成一個集合? ③比較問題①②，說明集合中的元素具有什么性質? ④我們知道冬蟲夏草既是一種植物，又是一種動物那么在所有動植物構成的集合中，冬蟲夏草出現的次數是一次呢還是兩次? ⑤組成英文單詞every的字母構成的集合含有幾個元素?分別是什么? ⑥問題④⑤說明集合中的元素具有什么性質? ⑦在玩斗地主的時候，我們都知道3、4、5、6、7是一個順子，那比如說老師出牌的時候

11、把這五張牌的順序擺成了5、3、6、7、4，那么這還是一個順子么?類比集合中的元素，一個集合中的元素是3、4、5、6、7，另外一個集合中的元素是5、3、6、7、4，這兩個集合中的元素相同么?集合相同嗎?這體現了集合中的元素的什么性質? 討論結果：①能． ②不能． ③確定性．問題②對“眼神很差”的同學沒有一個確定的標準，到底怎樣才算眼神差，是近視300度？400度？還是說“眼神很差”只是寓意？我們不得而知．因此通過問題①②我們了解到，對于給定的集合，它的元素必須是確定的，即任何一個元素要么在這個集合中，要么不在這個集合中，這就是集合中元素的確定性． ④一次． ⑤4個元素．e、v、r、y這

12、四個字母． ⑥互異性．一個集合中的元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素不能重復出現． ⑦是．元素相同．集合相同．體現集合中元素的無序性，即集合中的元素的排列是沒有順序的．只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的． ①如果用A表示所有的自然數構成的集合，B表示所有的有理數構成的集合，a=1.58，那么元素“和集合A、B分別有著怎樣的關系? ②大家能否從問題①中總結出元素與集合的關系? ③A表示“1～20內的所有質數”組成的集合，那么3________A，4________A. 討論結果：①a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素． ②a是集合B中的元素，就

13、說a屬于集合B，記作a∈B；a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.因此元素與集合的關系有兩種，即屬于和不屬于． ③3∈A,4?A. ①從這堂課的開始到現在，你們注意到了我用了幾種方法表示集合？ ②字母表示法中有哪些專用符號？ ③除了自然語言法和字母表示法之外，課本還為我們提供了幾種集合的表示方法？分別是什么？ ④列舉法的含義是什么？你能否運用列舉法表示一些集合？請舉例! ⑤能用列舉法把下列集合表示出來嗎？ (ⅰ)小于10的質數； (ⅱ)不等式x-2>5的解集. ⑥描述法的含義是什么？你能

14、否運用描述法表示一些集合？請舉例! ⑦集合的表示方法共有幾種？ 討論結果：①兩種，自然語言法和字母表示法． ②非負整數集(或自然數集)，記作N； 除0的非負整數集，也稱正整數集，記作N*或N＋； 整數集，記作Z；有理數集，記作Q；實數集，記作R. ③兩種，列舉法與描述法． ④把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{　}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．例如“地球上的四大洋”組成的集合可以用列舉法表示為{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，方程x2－3x＋2＝0的所有實數根組成的集合可以用列舉法表示為{1,2}． ⑤“小于10的質數”可以用列舉法表示出來；“不等式x－2&

15、gt;5的解集”不能夠用列舉法表示出來，因為這個集合是一個無限集．因此，當集合是無限集或者其元素數量較多而不便于無一遺漏地列舉出來的時候，如果我們再用列舉法來表示集合就顯得不夠簡潔明了． ⑥用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法．具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．例如，不等式x－2>5的解集可以表示為{x∈R|x>7}；所有的正方形的集合可以表示為{x|x是正方形}，也可寫成{正方形}． ⑦自然語言法、字母表示法、列舉法、描述法． 例1下列所給對象不能構成集合的是

16、__________． (1)高一數學課本中所有的難題； (2)某一班級16歲以下的學生； (3)某中學的大個子； (4)某學校身高超過1.80米的學生． 活動探究：教師首先引導學生通過讀題、審題，了解本題考查的基本知識點——集合中元素的確定性；然后指導學生對4個選項進行逐一判斷；判斷所給元素是否能構成集合，關鍵是看是否滿足集合元素的確定性． 解析：(1)不能構成集合．“難題”的概念是模糊的，不確定的，無明確的標準，對于一道數學題是否是“難題”無法客觀地判斷．實際上一道數學題是“難者不會，會者不難”，因而“高一數學課本中所有的難題”不能構成集合． (2)能構成集合，其中的元素是某

17、班級16歲以下的學生． (3)因為未規(guī)定大個子的標準，所以(3)不能組成集合． (4)由于(4)中的對象具備確定性，因此，能構成集合． 答案：(1)(3) 變式訓練 1．下列幾組對象可以構成集合的是(　　) A．充分接近π的實數的全體 B．善良的人 C．某校高一所有聰明的同學 D．某單位所有身高在1.7 m以上的人 答案：D 2．已知集合S的三個元素a、b、c是△ABC的三邊長，那么△ABC一定不是(　　) A．銳角三角形　　　　　　　　　B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 答案：D 3．由a2,2－a,4組成一個集合

18、A，A中含有3個元素，則實數a的取值可以是(　　) A．1　 　　　　B．－2 C．6　　　　　　 D．2 答案：C 點評：本題主要考查集合元素的性質．當所描述的對象明確的時候就能構成集合，若元素不明確就不能構成集合，稱為元素的確定性；同時，一個集合中的元素是互不相同的，稱為元素的互異性；此外還要注意元素的無序性. 例2 用列舉法表示下列集合： (1)小于10的所有自然數組成的集合； (2)方程x2＝x的所有實數根組成的集合； (3)由1～20以內的所有質數組成的集合． 活動探究：講解例2的過程中，可以設計如下問題引導學生： 針對例2(1)：①自然數中是否含

19、有0？②小于10的自然數有哪些？③如何用列舉法表示小于10的所有自然數組成的集合？ 針對例2(2)：①解一元二次方程的方法有哪些？分別是什么？②方程x2＝x的解是什么？③如何用列舉法表示方程x2＝x的所有實數根組成的集合？ 針對例2(3)：①如何判斷一個數是否為質數(即質數的定義是什么)？②1～20以內的質數有哪些？③如何用列舉法表示由1～20以內的所有質數組成的集合？ 在用列舉法表示集合的過程中，應讓學生先明確集合中的元素，再把元素寫入“{　}”內，并用逗號隔開． 解：(1)小于10的自然數有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，設小于10的所有自然數組成的集合為A，那么A＝{0,

20、1,2,3,4,5,6,7,8,9}； (2)方程x2＝x的兩個實根為x1＝0、x2＝1，設方程x2＝x的所有實數根組成的集合為B，那么B＝{0,1}； (3)1～20以內的質數有2、3、5、7、11、13、17、19，設由1～20以內的所有質數組成的集合為C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}． 點評：本題主要考查了集合表示法中的列舉法，通過本題的教學可以體會利用集合表示教學內容的嚴謹性和簡潔性. 變式訓練 1．用列舉法表示下列集合： (1)一年之中的四個季節(jié)組成的集合； (2)滿足不等式1＜1＋2x＜19的素數組成的集合． 答案：(1){春季，夏季，秋季，冬

21、季}； (2){2,3,5,7}． 2．已知集合A＝{x∈N|∈N}，試用列舉法表示集合A. 解：由題意可知6－x是8的正約數，當6－x＝1時，x＝5；當6－x＝2時，x＝4；當6－x＝4時，x＝2；當6－x＝8時，x＝－2；而x≥0，∴x＝2,4,5，即A＝{2,4,5}． 點評：變式訓練1主要對列舉法進行了考查；變式訓練2考查了兩個方面的知識點，一是元素與集合的關系，二是列舉法的應用，體現了對知識綜合應用的能力. 例3 試分別用列舉法和描述法表示下列集合： (1)方程x2－2＝0的所有實數根組成的集合； (2)由大于10小于20的所有整數組成的集合． 活動探究：講

22、解例3的過程中，可以設計如下問題引導學生： 針對例3(1)——列舉法 ①方程x2－2＝0的解是什么？ ②如何用列舉法表示方程x2－2＝0的所有實數根組成的集合？ 針對例3(1)——描述法 ①描述法的定義是什么？ ②所求集合中元素有幾個共同特征？分別是什么？ ③如何用描述法表示所求集合？ 針對例3(2)——列舉法 ①大于10小于20的所有整數有哪些？ ②由大于10小于20的所有整數組成的集合用列舉法如何表示？ 針對例3(2)——描述法 ①所求集合中元素有幾個共同特征？分別是什么？ ②如何用描述法表示所求集合？ 解：(1)設方程x2－2＝0的實數根為x，并且滿足x2－2

23、＝0，因此，用描述法表示為A＝{x∈R|x2－2＝0}；方程x2－2＝0的兩個實根為x1＝－、x2＝，因此，用列舉法表示為A＝{－，}． (2)設大于10小于20的整數為x，它滿足條件x∈Z且10<x<20，因此，用描述法表示為B＝{x∈Z|10<x<20}；大于10小于20的整數有11、12、13、14、15、16、17、18、19，因此，用列舉法表示為{11,12,13,14,15,16,17,18,19}． 點評：例2和例3是通過“問題引導”的方式，使學生逐步逼近答案的過程．在此過程中，既幫助學生理清了解答問題的基本思路，又使得列舉法和描述法在實例中得到進一步

24、的鞏固. 變式訓練 用適當的方法表示下列集合： (1)Welcome中的所有字母組成的集合； (2)由所有小于20的既是奇數又是質數的正整數組成的集合； (3)由所有非負偶數組成的集合； (4)直角坐標系內第三象限的點組成的集合； (5)不等式2x－3>2的解集． 解：(1)列舉法：{W，e，l，c，o，m}； (2)列舉法：{3,5,7,11,13,17,19}； (3)描述法：{x|x＝2n，n∈N}； (4)描述法：{(x，y)|x<0且y<0}； (5)描述法：{x|x>2.5}. 課后練習1、2. 【補充練習】 本節(jié)學習了

25、：(1)集合的含義；(2)集合中元素的性質；(3)元素與集合的關系；(4)集合的表示方法． 習題1.1A組3、4 本節(jié)教學設計是以數學課程標準的要求為指導，結合生活中的一些實例，重視引導學生積極思考，主動參與到教學中，體現了學生的主體地位．同時結合高考的要求適當拓展了教材，使學生的發(fā)散性思維得到拓展，最大限度地挖掘了學生的學習潛力，真正做到了對教材的“活學活用”． 集合論的誕生 集合論是德國著名數學家康托爾于19世紀末創(chuàng)立的.17世紀，數學中出現了一門新的分支：微積分．在之后的一二百年中這一嶄新學科獲得了飛速發(fā)展并結出了豐碩成果．其推進速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基

26、礎.19世紀初，許多迫切問題得到解決后，出現了一場重建數學基礎的運動．正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數點集，這是集合論研究的開端．到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念．他對集合所下的定義是：把若干確定的有區(qū)別的(不論是具體的或抽象的)事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素．人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日． 康托爾把無窮集這一詞匯引入數學．對無窮集的研究使他打開了“無限”這一數學上的潘多拉盒子．“我們把全體自然數組成的集合簡稱作自然數集，用字母N來表示．”學過集合的所有人應

27、該對這句話不會感到陌生．但在接受這句話時我們根本無法想到當年康托爾如此做時是在進行一項更新無窮觀念的工作．在此以前數學家們只是把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著的東西來解釋．無限永遠處在構造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在．這種關于無窮的觀念在數學上被稱為潛無限.18世紀數學王子高斯就持這種觀點．由于潛無限思想在微積分的基礎重建中已經獲得了全面勝利，康托爾的實無限思想在當時遭到一些數學家的批評與攻擊是不足為怪的．然而康托爾并未就此止步，他以前所未有的方式，繼續(xù)正面探討無窮．他提出用一一對應準則來比較無窮集元素的個數．他把元素間能建立一一對應的集合稱為個數相同，用他自己的概念是等勢

28、．由于一個無窮集可以與它的真子集建立一一對應關系——也就是說無窮集可以與它的真子集等勢，即具有相同的個數．這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾．而康托爾認為這恰恰是無窮集的特征．在此意義上，自然數集與正偶數集具有了相同的個數，他將其稱為可數集．又可容易地證明有理數集與自然數集等勢，因而有理數集也是可數集．后來當他又證明了實數集合也是可數集時，一個很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數集．但出乎意料的是，他在1873年證明了實數集的勢大于自然數集．有人嘲笑集合論是一種“疾病”，有人嘲諷超限數是“霧中之霧”，稱“康托爾走進了超限數的地獄”． 然而集合論前后經歷二十余年，最終獲得了世界公認．在19

29、00年第二次國際數學家大會上，著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣布“……數學已被算術化了．從康托爾提出集合論至今，時間已經過去了一百多年，在這一段時間里，數學又發(fā)生了極其巨大的變化，包括對上述經典集合論作出進一步發(fā)展的模糊集合論的出現等等．而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的．因而當現在回頭去看康托爾的貢獻時，我們仍然可以引用當時著名數學家對他的集合論的評價作為我們的總結．“它是對無限最深刻的洞察，它是數學天才的最優(yōu)秀作品，是人類純智力活動的最高成就之一．康托爾的無窮集合論是過去兩千五百年中對數學的最令人不安的獨創(chuàng)性貢獻．” 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375