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高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 平均不等式素材 新人教A版選修45

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1、 平均不等式 一、引入: 1.定理1:如果,那么(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”) 證明: 指出定理適用范圍: 強(qiáng)調(diào)取“=”的條件。 2.定理2:如果是正數(shù),那么(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”) 證明:∵ ∴ 即: 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 注意:(1)這個(gè)定理適用的范圍:; (2)語言表述:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 3.定理3:如果,那么(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”) 證明:∵ ∵ ∴上式≥0 從而 指出:這里 ∵就不能保證。 推論:如果,那么。(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”) 證明: 4.算術(shù)—幾何平均不等式:

2、①如果 則:叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù),叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù); ②基本不等式: ≥() 這個(gè)結(jié)論最終可用數(shù)學(xué)歸納法,二項(xiàng)式定理證明(這里從略) 語言表述:n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 ③的幾何解釋: 以為直徑作圓,在直徑AB上取一點(diǎn)C,過C作弦DD’^AB 則, 從而,而半徑。 二、典型例題: 例1 已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù),求證:。 證:∵ 以上三式相加: ∴ 例2 設(shè)為正數(shù),求證:。 例3 設(shè),,,…,為正數(shù),證明:。 例4 若,設(shè) 求證: 加權(quán)平均;算術(shù)平均;幾何平均;調(diào)和平均 證:∵ ∴即:(俗稱冪平均不等式) 由平均不等式 即: 綜上所述: 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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