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高中數(shù)學 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.1 函數(shù)的概念 2.1.2 函數(shù)的表示方法學案 蘇教版必修1

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1、 2.1.2 函數(shù)的表示方法 1.在實際情境中,會根據(jù)不同的要求選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù). 2.理解同一函數(shù)可以用不同的方法表示. 1.函數(shù)的表示方法 (1)列表法:用列表來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法. (2)解析法:用等式來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法,這個等式通常叫做函數(shù)的解析表達式,簡稱解析式. (3)圖象法:用圖象來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法. 1.列表法表示函數(shù)的優(yōu)點在于不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數(shù)值.這種方法常應用到實際生產(chǎn)和生活中. 2.圖象法表示函數(shù)的優(yōu)點是通過圖象可以直接觀察出函數(shù)的變化趨勢.氣象臺應用自動記錄儀器描繪

2、溫度隨時間變化的曲線,工廠的生產(chǎn)圖象及股市走向圖等,就是用圖象法表示函數(shù)關(guān)系的. 3.用解析法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點:一是簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系;二是可以通過解析式求出任意一個自變量所對應的函數(shù)值. 【做一做1-1】客車從甲地以60km/h的速度勻速行駛1小時到達乙地,在乙地停留了0.5 h,然后以80km/h的速度勻速行駛1 h到達丙地.下列描述客車從甲地出發(fā),經(jīng)過乙地,最后到達丙地所經(jīng)過的路程s與時間t之間關(guān)系的圖象中,正確的是__________. 答案:③ 【做一做1-2】某種杯子每只0.5元,買x只,所需錢數(shù)為y元,分別用列表法、圖象法、解析法將y表示成x(x∈{1,

3、2,3,4})的函數(shù). 解:(1)列表法: x/只 1 2 3 4 y/元 0.5 1 1.5 2 (2)圖象法(如下圖). (3)解析法:y=0.5x,x∈{1,2,3,4}. 2.分段函數(shù) 在定義域內(nèi)不同部分上,有不同的解析表達式.像這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù).生活中有很多可以用分段函數(shù)描述實際問題的模型,如出租車的計費、個人所得稅納稅額等. 分段函數(shù)的圖象由幾個不同部分組成,作分段函數(shù)圖象時,應根據(jù)不同定義域上的不同解析式分別作出. 分段函數(shù)的定義域應為各段上自變量取值的并集,如函數(shù)y=的定義域為{x|x>0}.

4、 分段函數(shù)定義域是各段自變量取值集合的并集,值域是各段函數(shù)值集合的并集,在作圖時,要特別注意每段端點的虛實. 【做一做2】在實際問題中,常常使用表格,有些表格描述了兩個變量的函數(shù)關(guān)系,比如,國內(nèi)跨省市之間郵寄信函,每封信函的質(zhì)量和對應郵資如下表: 信函質(zhì)量 m/g 0<m≤20 20<m≤40 40<m≤60 60<m≤80 80<m≤100 郵資M/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 畫出函數(shù)圖象并寫出它的解析式. 解:圖象如圖. 解析式為: 1.如何求函數(shù)解析式? 剖析:對于基本初等函數(shù),通過待定系數(shù)法求之,即利用方程思

5、想. 對于實際應用問題,通常是研究自變量、函數(shù)與其他量之間的等量關(guān)系,從而將函數(shù)用自變量和其他量之間的關(guān)系表示出來,但不要忘記確定自變量的取值范圍.如已知等腰三角形的周長為12,則底邊長x與腰長y之間的函數(shù)關(guān)系是y=6-x,其中x∈(0,6). 2.如何理解分段函數(shù)? 剖析:(1)分段函數(shù)的表達式是分段表示的,即函數(shù)與自變量的關(guān)系不是只滿足一個式子,而是在不同范圍內(nèi)有不同的對應法則,這樣的函數(shù)關(guān)系是分段函數(shù). (2)分段函數(shù)的定義域應為各段上自變量取值的并集,這一點與函數(shù)y=+的定義域的求法不相同. (3)作分段函數(shù)的圖象時,特別注意端點處點的虛實,如函數(shù)y=的圖象為 (4)分

6、段函數(shù)的表示法是解析法的一種形式.函數(shù)y=不能寫成y=22-6x,0<x<11或y=-44,x≥11. 分段函數(shù)的表達式因其特點可以分成兩個或兩個以上的不同表達式,所以其圖象也是由幾部分組成的,可以是由光滑的曲線段組成,也可以是孤立的點或幾段線段組成;求分段函數(shù)的函數(shù)值的關(guān)鍵是“分段歸類”,即自變量的取值屬于哪一區(qū)間,就用哪一區(qū)間上的解析式. 題型一 求函數(shù)解析式 【例1】(1)已知函數(shù)f(x+1)=x2-3x+2,求f(x); (2)已知f(+4)=x+8,求f(x2); (3)已知函數(shù)y=f(x)滿足2f(x)+=2x,x∈R且x≠0,求f(x); (4)已知一次函數(shù)

7、f(x)滿足f[f(x)]=4x-1,求f(x). 分析:求解析式的方法較多,如配湊法、換元法、方程法、待定系數(shù)法等,關(guān)鍵在于弄清對于“x”而言,“f”是怎樣的對應法則,至于選擇什么符號表示自變量沒有關(guān)系.要特別注意正確確定中間變量的取值范圍,如(2)中設(shè)+4=t≥4,否則就不能正確確定f(x)的定義域. 解:(1)方法一(換元法): 令t=x+1,則x=t-1,代入得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2, ∴f(t)=t2-5t+6,即f(x)=x2-5x+6. 方法二(配湊法): ∵f(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6, ∴

8、f(x)=x2-5x+6. (2)方法一(配湊法):∵f(+4)=x+8=(+4)2-16,∴f(x)=x2-16(x≥4). ∴f(x2)=x4-16(x≤-2,或x≥2). 方法二(換元法):設(shè)+4=t≥4, 則=t-4,x=(t-4)2, ∴f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t2-16. ∴f(x)=x2-16(x≥4). ∴f(x2)=x4-16(x≤-2,或x≥2). (3)(方程法)∵x∈R,且x≠0, 由2f(x)+=2x,① 將x換成,則換成x, 得+f(x)=.② ①2-②,得3f(x)=4x-, 即f(x)=-. (4)(待定系數(shù)法)∵f(x

9、)是一次函數(shù), ∴設(shè)f(x)=ax+b(a≠0), 則f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x-1. ∴?或 ∴f(x)=2x-或f(x)=-2x+1. 反思:對于已知f[g(x)]的表達式,求f(x)的表達式的問題,一般方法是換元法,即設(shè)g(x)=t,解出用t表示x的表達式,代入求得f(x)的解析式.在用換元法解這類題時,特別要注意正確確定中間變量t的取值范圍. 若題目中已知函數(shù)f(x)的函數(shù)類型,一般采用待定系數(shù)法,如第(4)小題,由于已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù),故可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0). 題型二 分段函數(shù)的圖象與應用 【例2】

10、試作出函數(shù)y=|x-1|和y=|x-1|+|x+2|的圖象. 分析:y=|x-1|= y=|x-1|+|x+2|= 解:y=|x-1|的圖象如圖(1). y=|x-1|+|x+2|的圖象如圖(2). 反思:畫帶絕對值符號的簡單函數(shù)的圖象的基本方法是先求函數(shù)的定義域,然后化簡函數(shù)解析式,就是去絕對值符號. (1)帶一個絕對值符號的函數(shù),根據(jù)絕對值的意義去絕對值符號. (2)帶兩個或兩個以上絕對值符號的問題,常用“零點分段法”去絕對值符號,從而把函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式,然后作圖.如本題(2),令x-1=0,得x=1;令x+2=0,得x=-2. -2和1把數(shù)軸分成三部分(如下圖所

11、示). 【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=則不等式f(x)>f(1)的解集是__________. 解析:因f(1)=12-41+6=3,所以原不等式可化為f(x)>3.作出原函數(shù)的圖象,如下圖所示. 再作出直線y=3,其交點坐標分別為(-3,3),(1,3)和(3,3),從圖象觀察即得. 答案:(-3,1)∪(3,+∞) 反思:作為填空題,可利用數(shù)形結(jié)合的方法求解不等式,此方法直觀、簡潔、準確. 題型三 實際應用問題 【例4】通過研究學生的學習行為,心理學家發(fā)現(xiàn),學生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間.講座開始時,學生的興趣激增,中間有一段不太長的時間,學生的興趣

12、保持較理想的狀態(tài),隨后學生的注意力開始分散.分析結(jié)果表明,用f(x)表示學生掌握和接受概念的能力,f(x)的值越大,表示接受的能力越強,x表示提出和講授概念的的講授時間(單位:分鐘),可有以下的公式: f(x)= (1)開講后多少分鐘,學生的接受能力最強?能維持多長時間? (2)開講后5分鐘與開講后20分鐘比較,學生的接受能力何時強一些? (3)一道數(shù)學難題,需要55的接受能力以及13分鐘的講授時間,老師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道難題? 解:(1)開講10分鐘后,學生的接受能力值為59,達到最強,并維持6分鐘. (2)f(5)=-0.152+2.65+43

13、=53.5; f(20)=-320+107=47, 所以開講后5分鐘學生的接受能力比開講后20分鐘強一些. (3)當0<x≤10時,f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+43+16.9,f(x)max=f(10)=59.令55≤f(x)≤59,解得6≤x≤10. 所以6≤x≤10時,f(x)∈[55,59],即開講后10分鐘里,學生只有后4分鐘接受能力在55以上,然后有6分鐘接受能力維持在59; 當16<x≤30時,f(x)=-3x+107. 令f(x)≥55,解得x≤,即在這段時間里,學生只有分鐘接受能力維持在55以上. 綜上所述,開講后學生共有4+6

14、+=分鐘接受能力在55以上,故老師不能在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道難題. 反思:實際問題往往都有一個陌生的情境,它需要我們仔細閱讀題意.如果題中給的數(shù)量比較多,可以逐個理解和研究,然后把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,建立函數(shù)關(guān)系進行求解. 1設(shè)函數(shù)f(x)=則的值為__________. 解析:因為f(2)=22+2-2=4,所以=, ==1-=. 答案: 2某城市出租車按如下方法收費:起步價6元,可行3 km(含3 km),3 km后到10 km(含10 km)每走1 km加價0.5元,10 km后每走1 km加價0.8元,某人坐出租車走了12 km,他應交費___

15、___元. 解析:把收費y元看成所走路程x km的函數(shù), 當0<x≤3時,應交6元; 當3<x≤10時,應交6+(x-3)0.5=4.5+0.5x(元); 當x>10時,應交4.5+0.510+(x-10)0.8=1.5+0.8x(元). ∴當x=12時,y=1.5+0.812=11.1(元). 答案:11.1 3某客運公司確定客票價格的方法是:如果行程不超過100千米,票價是每千米0.5元,如果超過100千米,超過部分按每千米0.4元定價,則客運票價y(元)與行程數(shù)x(千米)之間的函數(shù)關(guān)系式是__________. 解析:根據(jù)行程是否大于100千米來求出解析式, 由題意,得

16、當0<x≤100時,y=0.5x, 當x>100時,y=1000.5+(x-100)0.4=10+0.4x. 答案:y= 已知函數(shù)h(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函數(shù),g(x)是x的反比例函數(shù),=16,h(1)=8,求h(x)及其定義域. 分析:本題中已知函數(shù)的模型,用待定系數(shù)法求解析式. 解:設(shè)f(x)=k1x(k1≠0),g(x)=(k2≠0), 則h(x)=k1x+. 由題意得 解得 所以h(x)=3x+,定義域是(-∞,0)∪(0,+∞). 5已知函數(shù)f(x)= (1)畫出函數(shù)的圖象; (2)求f(1),f(-1)的值. 分析:分別作出f(x)在x>0,x=0,x<0各段上的圖象,合在一起得函數(shù)的圖象. 解:(1)如圖所示. (2)f(1)=12=1,f(-1)=-=1. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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