《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 2.2.1 函數(shù)的單調(diào)性2學(xué)案 蘇教版必修1》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 2.2.1 函數(shù)的單調(diào)性2學(xué)案 蘇教版必修1(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第2課時(shí) 函數(shù)的最值
1.理解函數(shù)最值的定義,知道最值是函數(shù)定義域上的一個(gè)整體性質(zhì).
2.會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的最值.
3.了解函數(shù)最值與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.
1.最大值
一般地,設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)锳.
若存在定值x0∈A,使得對(duì)于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0)恒成立,則稱f(x0)為y=f(x)的最大值,記為ymax=f(x0).
【做一做1】函數(shù)y=-x2+5的最大值為_(kāi)_______.
答案:5
2.最小值
一般地,設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)锳.
若存在定值x0∈A,使得對(duì)于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0)恒成立,則稱f(x0)為y=f(x)
2、的最小值,記為ymin=f(x0).
【做一做2】函數(shù)y=3x+1,x∈[1,4]的最小值為_(kāi)_______.
答案:4
3.函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值.
(1)函數(shù)的值域是指函數(shù)值的集合.函數(shù)最大(小)值一定是值域中的元素.如果值域是一個(gè)閉區(qū)間,那么函數(shù)的最大(小)值就是閉區(qū)間右(左)端點(diǎn)的值.(2)函數(shù)的值域和最值既有區(qū)別又有聯(lián)系.一般來(lái)講,對(duì)于圖象是連續(xù)不斷的函數(shù),知道函數(shù)在定義域上的最大值和最小值,可知函數(shù)的值域,而知道了函數(shù)的值域,不一定能確定最值.
【做一做3-1】函數(shù)y=-3x+1,x∈[-2,3]時(shí)的值域是__________.
解析:當(dāng)x∈[-2,3
3、]時(shí),ymax=-3×(-2)+1=7,ymin=-3×3+1=-8.
答案:[-8,7]
【做一做3-2】函數(shù)y=-x2-4x+1,x∈[-3,3]的值域是__________.
解析:y=-(x+2)2+5,當(dāng)x=-2時(shí),y有最大值5;當(dāng)x=3時(shí),y有最小值-20.
答案:[-20,5]
求函數(shù)最值的三種方法
剖析:(1)作出函數(shù)的圖象,從圖象直接觀察可得最值;
(2)求出函數(shù)的值域,其邊界值即為最值,此時(shí)要注意邊界值能否取到(即是否存在)的問(wèn)題;
(3)由函數(shù)的單調(diào)性求最值.
①最大值:已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[a,b],a<c<b,當(dāng)x∈
4、[a,c]時(shí),f(x)是單調(diào)增函數(shù);當(dāng)x∈[c,b]時(shí),f(x)是單調(diào)減函數(shù),則f(x)在x=c時(shí)取得最大值.
②最小值:已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[a,b],a<c<b,當(dāng)x∈[a,c]時(shí),f(x)是單調(diào)減函數(shù);當(dāng)x∈[c,b]時(shí),f(x)是單調(diào)增函數(shù),則f(x)在x=c時(shí)取得最小值.
題型一 函數(shù)的最值
【例1】已知一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)x∈[-1,3]時(shí),ymax=5,ymin=-3.試求函數(shù)解析式.
解:若k>0,
則由條件得
解得y=2x-1.
若k<0,
則由條件得
解得y=-2x+3.
反思:因一次函數(shù)y=kx+b的單調(diào)性由k來(lái)確定,所以當(dāng)x∈[m
5、,n]時(shí),y的最值應(yīng)根據(jù)k來(lái)確定,若k>0,則y∈[km+b,kn+b];若k<0,則y∈[kn+b,km+b].
【例2】已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函數(shù)f(x)的最小值.
解:函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=a,且開(kāi)口向上,如圖,
當(dāng)a>1時(shí),f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減,故f(x)min=f(1)=3-2a;
當(dāng)-1≤a≤1時(shí),f(x)在[-1,1]上先減后增,故f(x)min=f(a)=2-a2;
當(dāng)a<-1時(shí),f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,故f(x)min=f(-1)=3+2a.
綜上,可知f(x)的最小值為f(x)min=
反思:求二
6、次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法:一看開(kāi)口方向;二看對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置,簡(jiǎn)稱“兩看法”.只需作出二次函數(shù)相關(guān)部分的簡(jiǎn)圖,利用數(shù)形結(jié)合法就可以得到問(wèn)題的解.
運(yùn)用這個(gè)方法,同樣可以解決對(duì)稱軸確定而區(qū)間變化的問(wèn)題,甚至開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、區(qū)間同時(shí)都在變化的問(wèn)題.
題型二 含參不等式恒成立問(wèn)題
【例3】已知函數(shù)f(x)=,x∈[1,+∞),
(1)當(dāng)a=時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)若對(duì)任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:?jiǎn)栴}(1)中,由a=可確定函數(shù)解析式,由函數(shù)的單調(diào)性可確定最值;問(wèn)題(2)為恒成立問(wèn)題,常結(jié)合函數(shù)性質(zhì),合理構(gòu)建.
解:(1
7、)當(dāng)a=時(shí),f(x)=x++2,
設(shè)x1,x2是[1,+∞)上的任意兩個(gè)值,且x1<x2,f(x2)-f(x1)=(x2-x1),
2x1x2>2,0<<,所以1->0.
又x2-x1>0,所以f(x2)-f(x1)>0,
則f(x1)<f(x2).所以f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),則f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值為f(1)=.
(2)方法一:在區(qū)間[1,+∞)上,
f(x)=>0恒成立,
即x2+2x+a>0恒成立.
設(shè)y=x2+2x+a,x∈[1,+∞).
則y=(x+1)2+a-1在區(qū)間[1,+∞)上遞增,
所以當(dāng)x=1時(shí),ymin=3+a.
于是當(dāng)且
8、僅當(dāng)ymin=3+a>0時(shí),
函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3.
方法二:f(x)=x++2,x∈[1,+∞),
當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)f(x)的值恒為正,
當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)遞增,
故當(dāng)x=1時(shí),f(x)min=3+a,于是當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a>0時(shí),函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3.
反思:求函數(shù)的最值,先求函數(shù)的定義域.函數(shù)的最值及值域經(jīng)常與函數(shù)的單調(diào)性聯(lián)系在一起,所以有時(shí)先求函數(shù)單調(diào)性再根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)最值.
不等式f(x)≥a恒成立的條件是f(x)min≥a,f(x)≤a恒成立的條件是f(x)max≤a.
題型三 最值的應(yīng)用
【例4】某工廠擬建造一座
9、平面圖如圖所示為矩形且面積為200平方米的三級(jí)污水處理池,由于地形限制,長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16米.如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元,中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米248元,池底建造單價(jià)為每平方米80元(池壁的厚度忽略不計(jì),且無(wú)池蓋).求污水處理池的長(zhǎng)和寬各為多少米時(shí),總造價(jià)最低?并求出最低總造價(jià).
解:設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為x米,0<x≤16,
則寬為米,0<≤16.
根據(jù)題意,總造價(jià)為y=400×2×+248×2×+80×200=800×+16 000.
由得定義域?yàn)椋?2.5,16].
∵函數(shù)y=800×+16 0
10、00在[12.5,16]上是單調(diào)減函數(shù),∴當(dāng)x=16時(shí),y取最小值為45 000.
故當(dāng)污水處理池的長(zhǎng)為16米,寬為12.5米時(shí),總造價(jià)最低,最低總造價(jià)為45 000元.
反思:在利用函數(shù)的單調(diào)性處理有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的最值時(shí),一定要注意函數(shù)的定義域要使實(shí)際問(wèn)題有意義.
1函數(shù)f(x)=3x+a,x∈[-1,2]的最大值與最小值的差為_(kāi)_________.
解析:由題意知f(x)為增函數(shù),最大值與最小值的差為f(2)-f(-1)=3×2+a-3×(-1)-a=9.
答案:9
2函數(shù)f(x)=的值域是__________.
解析:因?yàn)?-x(1-x)=x2-x+1
11、=+≥,從而f(x)max=.
又f(x)>0,所以f(x)的值域是.
答案:
3以墻為一邊,用籬笆圍成長(zhǎng)方形的場(chǎng)地,并用平行于一邊的籬笆隔開(kāi)(如圖),已知籬笆總長(zhǎng)為定值L,寫(xiě)出場(chǎng)地面積y為一邊長(zhǎng)x的函數(shù), 并求出函數(shù)的定義域及面積的最大值.
解:根據(jù)題意,可得y=(L-3x)x,
由題意知解得0<x<.
∴函數(shù)y=(L-3x)x的定義域?yàn)椋?
∵y=(L-3x)x=-3x2+Lx
=-3+.
∴當(dāng)x=時(shí),ymax=.
4若不等式|x-2|+|x+3|≥a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:由f(x)=|x-2|+|x+3|
=
得其圖象如圖所示,
所以f(x)
12、min=5,從而a∈(-∞,5].
5已知f(x)=x2-4x+3,求函數(shù)在區(qū)間[t,t+2]上的最值.
解:f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,作出如圖所示的圖象,
圖象的對(duì)稱軸為x=2.
①當(dāng)t+2<2,即t<0時(shí),f(x)在區(qū)間[t,t+2]上單調(diào)遞減,
所以f(x)max=f(t)=t2-4t+3,
f(x)min=f(t+2)=t2-1;
②當(dāng)2≤t+2<3,即0≤t<1時(shí),
f(x)max=f(t)=t2-4t+3,f(x)min=f(2)=-1.
③當(dāng)3≤t+2<4,即1≤t<2時(shí),
同上可知f(x)min=f(2)=-1,
f(x)max=f(t+2)=t2-1.
④當(dāng)t+2≥4,即t≥2時(shí),f(x)在區(qū)間[t,t+2]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(t)=t2-4t+3,
f(x)max=f(t+2)=t2-1.
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