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1、
高考數(shù)學精品復(fù)習資料
2019.5
課時跟蹤訓練(三十八)
[基礎(chǔ)鞏固]
一、選擇題
1.觀察下面關(guān)于循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的等式:0.==,0. ==,0. =,0.000 ==,據(jù)此推測循環(huán)小數(shù)0.2可化成分數(shù)( )
A. B. C. D.
[解析] 0.2=0.2+0.10.=+=.
選D.
[答案] D
2.已知數(shù)列{an}為,,,,,,,,,,…,依它的前10項的規(guī)律,則a99+a100的值為( )
A. B. C. D.
[解析] 由給出的數(shù)列{an}的前10項得出規(guī)律,此數(shù)列中,分
2、子與分母的和等于2的有1項,等于3的有2項,等于4的有3項,…,等于n的有n-1項,且分母由1逐漸增大到n-1,分子由n-1逐漸減小到1(n≥2),當n=14時即分子與分母的和為14時,數(shù)列到91項,當n=15即分子與分母的和為15時,數(shù)列到104項,所以a99與a100是分子與分母和為15中的第8項與第9項,分別為,,∴a99+a100=+=,選A.
[答案] A
3.觀察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,則520xx的末四位數(shù)字為( )
A.3125 B.5625 C.0625 D.8125
[解析] ∵55=3125,56=15625,57
3、=78125,
58=390625,59=1953125,…,∴最后四位應(yīng)為每四個循環(huán),20xx=4504+2,∴520xx最后四位應(yīng)為5625.
[答案] B
4.(20xx安徽合肥一中模擬)《聊齋志異》中有這樣一首詩:“挑水砍柴不堪苦,請歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”:2=,3=,4=,5=,…,則按照以上規(guī)律,若9=具有“穿墻術(shù)”,則n=( )
A.25 B.48 C.63 D.80
[解析] 由2=,3=,4=,5=,…,
可得若9=具有“穿墻術(shù)”,則n=92-1=80,故選D.
[答案] D
5.
4、(20xx湖北宜昌一中、龍泉中學聯(lián)考)老師帶甲、乙、丙、丁四名學生去參加自主招生考試,考試結(jié)束后老師向四名學生了解考試情況,四名學生回答如下:甲說:“我們四人都沒考好”;乙說:“我們四人中有人考得好”;丙說:“乙和丁至少有一人沒考好”;丁說:“我沒考好”.結(jié)果,四名學生中有兩人說對了,則四名學生中說對了的兩人是( )
A.甲 丙 B.乙 丁
C.丙 丁 D.乙 丙
[解析] 如果甲對,則丙、丁都對,與題意不符,故甲錯,乙對;如果丙錯,則丁錯,因此只能是丙對,丁錯,故選D.
[答案] D
6.如圖所示,面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i=1,2,3,4),此四
5、邊形內(nèi)任一點P到第i條邊的距離記為hi(i=1,2,3,4),若====k,則1h1+2h2+3h3+4h4=.類比以上性質(zhì),體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si(i=1,2,3,4),此三棱錐內(nèi)任一點Q到第i個面的距離記為Hi(i=1,2,3,4),若====k,則H1+2H2+3H3+4H4值為( )
A. B. C. D.
[解析] ∵V=S1H1+S2H2+S3H3+S4H4
=(kH1+2kH2+3kH3+4kH4)
∴H1+2H2+3H3+4H4=.
[答案] B
二、填空題
7.半徑為x(x>0)的圓的面積函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)等于該圓的周長的函數(shù).對于
6、半徑為R(R>0)的球,類似的結(jié)論為________.
[解析] 因為半徑為x(x>0)的圓的面積函數(shù)f(x)=πx2,所以f′(x) =2πx.
類似地,半徑為R(R>0)的球的體積函數(shù)V(R)=πR3,所以V′(R)=4πR2.
故對于半徑為R(R>0)的球,類似的結(jié)論為半徑為R(R>0)的球的體積函數(shù)V(R)的導(dǎo)數(shù)等于該球的表面積的函數(shù).
[答案] 半徑為R(R>0)的球的體積函數(shù)V(R)的導(dǎo)數(shù)等于該球的表面積的函數(shù)
8.(20xx河北卓越聯(lián)盟月考)在平面內(nèi),三角形的面積為S,周長為C,則它的內(nèi)切圓的半徑r=.在空間中,三棱錐的體積為V,表面積為S,利用類比推理的方法,可得三
7、棱錐的內(nèi)切球(球面與三棱錐的各個面均相切)的半徑R=________.
[解析] 若三棱錐表面積為S,體積為V,則其內(nèi)切球半徑R=.理由如下:
設(shè)三棱錐的四個面的面積分別為S1,S2,S3,S4,
由于內(nèi)切球的球心到各面的距離等于內(nèi)切球的半徑,
所以V=S1R+S2R+S3R+S4R=SR,
所以內(nèi)切球的半徑R=.
[答案]
9.某種平面分形圖如圖所示,一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段,長度均為1,兩兩夾角為120;二級分形圖是在一級分段形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段,且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120,…,依此規(guī)律得到n級分形圖.
n級分形圖中共有
8、________條線段.
[解析] 分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段,由題圖知,一級分形圖有3=(32-3)條線段,二級分形圖有9=(322-3)條線段,三級分形圖中有21=(323-3)條線段,按此規(guī)律n級分形圖中的線段條數(shù)an=32n-3.
[答案] 32n-3
三、解答題
10.(20xx山西運城4月模擬改編)宋元時期杰出的數(shù)學家朱世杰在其數(shù)學巨著《四元玉鑒》中提出了一個“茭草形段”問題:“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’(同垛)之,問底子幾何?”他在這一問題中探討了“垛積術(shù)”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上一束,下一層3束,再下一層6束,……,)成三角錐的堆垛,故也
9、稱三角垛,如圖,表示從上往下第二層開始的每層茭草束數(shù),求本問題中三角垛倒數(shù)第二層茭草總束數(shù)為多少?
[解析] 由題意得,從上往下第n層茭草束數(shù)為1+2+3+…+n=,
∴1+3+6+…+=680,
即=n(n+1)(n+2)=680,
∴n(n+1)(n+2)=151617,∴n=15.
故倒數(shù)第二層為第14層,該層茭草總束數(shù)為=105.
[答案] 105
[能力提升]
11.(20xx江西贛州十四縣聯(lián)考)我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有人持金出五關(guān),前關(guān)二而稅一,次關(guān)三而稅一,次關(guān)四而稅一,次關(guān)五而稅一,次關(guān)六而稅一.并五關(guān)所稅,適重一下.問本持金幾何?”其
10、意思為“今有人持金出五關(guān),第1關(guān)收稅金,第2關(guān)收稅金為剩余的,第3關(guān)收稅金為剩余的,第4關(guān)收稅金為剩余的,第5關(guān)收稅金為剩余的,5關(guān)所收稅金之和,恰好重1斤,問原本持金多少?”若將“5關(guān)所收稅金之和,恰好重1斤,問原本持金多少?”改成“假設(shè)這個人原本持金為x,按此規(guī)律通過第8關(guān)”,則第8關(guān)所收稅金為________x.
[解析] 第1關(guān)收稅金:x;
第2關(guān)收稅金:x==;
第3關(guān)收稅金:x==;
……
第8關(guān)收稅金:=.
[答案]
12.(20xx安徽合肥模擬)“已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(1,2),解關(guān)于x的不等式cx2+bx+a>0.”給出如下的一種解法
11、:
解:由ax2+bx+c>0的解集為(1,2),得a2+b+c>0的解集為,即關(guān)于x的不等式cx2+bx+a>0的解集為.
類比上述解法:若關(guān)于x的不等式+<0的解集為∪,則關(guān)于x的不等式->0的解集為______________________.
[解析] 根據(jù)題意,
由+<0的解集為
∪,
得+<0的解集為
∪,
即->0的解集為
∪.
[答案] ∪
13.(20xx河北唐山三模)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若Sn+an=4-(n∈N*),則an=________.
[解析] 解法一:已知Sn+an=4-?、伲攏=1時,S1+a1=4-=2,解得a1=1.當n
12、≥2時,用n-1代換n,得Sn-1+an-1=4- ②.①-②,得Sn-Sn-1+an-an-1=-,整理得2an-an-1=.兩邊同時乘2n-1,得2nan-2n-1an-1=2.
令bn=2nan,則bn-bn-1=2.
所以數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列,首項b1=21a1=2.
所以bn=2+(n-1)2=2n,即2nan=2n.
所以an==.
解法二:(歸納法):已知Sn+an=4- ①,當n=1時,S1+a1=4-=2,解得a1=1;當n=2時,S2+a2=4-,即2a2+a1=3,解得a2=1;當n=3時,S3+a3=4-,即2a3+S2=,解得a3=;當n=4時,
13、S4+a4=4-,即2a4+S3=,解得a4=;當n=5時,S5+a5=4-,即2a5+S4=,解得a5=;…,a1和a2可以寫成分數(shù)的形式,顯然該數(shù)列中每一項的分母都是2的整數(shù)冪,分子對應(yīng)項的序號,即a1=,a2=,a3=,a4=,a5=,…,所以an=.
[答案]
14.已知函數(shù)y=f(x)滿足:對任意a,b∈R,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),試證明:f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù).
[證明] 設(shè)任意x1,x2∈R,取x1x1f(x2)+x2f(x1),
∴x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x
14、2)-f(x1)]>0,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0,
∵x10,
即f(x2)>f(x1).
∴y=f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù).
15.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.
(1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(2)若a,b,c成等比數(shù)列,求cosB的最小值.
[解] (1)證明:∵a,b,c成等差數(shù)列,∴a+c=2b.
由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.
∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
∴sinA+sinC=2sin(A+C).
15、
(2)∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac.
由余弦定理得
cosB==≥=,
當且僅當a=c時等號成立.
∴cosB的最小值為.
[延伸拓展]
中國古代十進位制的算籌記數(shù)法,在世界數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造.如圖所示,算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算.算籌的擺放形式有縱、橫兩種,據(jù)《孫子算經(jīng)》記載,算籌記數(shù)法則是:凡算之法,先識其位,一縱十橫,百立千僵,千十相望,萬百相當.即表示多位數(shù)時,個位用縱式,十位用橫式,百位用縱式,千位用橫式,以此類推,遇零則置空.例如20xx用算籌表示就是,則8227可表示為________.
[解析] 千位數(shù)字8為模式,百位數(shù)字2為縱式,十位數(shù)字2為橫式,個位數(shù)字7為縱式,所以8227可表示為.
[答案]