《與名師對(duì)話高三數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練:第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練14 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《與名師對(duì)話高三數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練:第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練14 Word版含解析(9頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十四)
[基礎(chǔ)鞏固]
一、選擇題
1.(20xx·四川名校聯(lián)考一模)已知函數(shù)f(x)圖象如圖,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則下列數(shù)值排序正確的是( )
A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2)
B.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2)
C.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2)
D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3)
[解析] 如下
2、圖:
f′(3)、f(3)-f(2)、f′(2)分別表示了直線n,m,l的斜率,故0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2),故選C.
[答案] C
2.(20xx·河南三門峽一模)若曲線y=x4的一條切線l與直線x+2y-8=0平行,則l的方程為( )
A.8x+16y+3=0 B.8x-16y+3=0
C.16x+8y+3=0 D.16x-8y+3=0
[解析] 由y=x4,得y′=4x3,
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),
則y′|x=x0=4x,
∵切線l與直線x+2y-8=0平行,
∴4x=-,解得x0=-.
∴y0=x=,
3、∴直線l的方程為y-=-,即8x+16y+3=0.故選A.
[答案] A
3.在曲線y=x2上切線傾斜角為的點(diǎn)是( )
A.(0,0) B.(2,4)
C. D.
[解析] ∵y′=2x,設(shè)切點(diǎn)為(a,a2),
∴y′=2a,即切線的斜率為2a,∴2a=tan45°=1.
解得a=,∴在曲線y=x2上切線傾斜角為的點(diǎn)是.故選D.
[答案] D
4.函數(shù)f(x)=(x+2a)(x-a)2的導(dǎo)數(shù)為( )
A.2(x2-a2) B.2(x2+a2)
C.3(x2-a2) D.3(x2+a2)
[解析] f(x)=(x+2a)(x2-2ax+a2)=x3-3a2x
4、+2a3,∴f′(x)=3x2-3a2,選C.
[答案] C
5.(20xx·合肥模擬)已知直線y=kx+1與曲線y=x3+mx+n相切于點(diǎn)A(1,3),則n=( )
A.-1 B.1
C.3 D.4
[解析] 對(duì)于y=x3+mx+n,y′=3x2+m,∴k=3+m,又k+1=3,1+m+n=3,可解得n=3.
[答案] C
6.已知f(x)=ax4+bcosx+7x-2.若f′(20xx)=6,則f′(-20xx)為( )
A.-6 B.-8
C.6 D.8
[解析] ∵f′(x)=4ax3-bsinx+7.
∴f′(-x)=4a(-x)3-bsin(-x
5、)+7
=-4ax3+bsinx+7.
∴f′(x)+f′(-x)=14.
又f′(20xx)=6,
∴f′(-20xx)=14-6=8,故選D.
[答案] D
二、填空題
7.已知函數(shù)f(x)=3x+sin2x,則f′=__________.
[解析] f(x)=3x+2sinxcosx,
∴f′(x)=3+2cos2x-2sin2x,
∴f′=3.
[答案] 3
8.若f(x)=x2-2x-4lnx,則f′(x)>0的解集為________.
[解析] f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
又由f′(x)=2x-2-=>0,
解得x>2,
所以
6、f′(x)>0的解集為(2,+∞).
[答案] (2,+∞)
9.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)圖象上任意一點(diǎn)處的切線的斜率都小于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
[解析] 由題意得f′(x)=-3x2+2ax,
當(dāng)x=時(shí),f′(x)取到最大值.
∴<1,解得-<a<.
[答案]?。?lt;a<
三、解答題
10.設(shè)函數(shù)f(x)=ax-,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)證明:曲線f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形
7、面積為定值,并求此定值.
[解] (1)方程7x-4y-12=0可化為y=x-3.
當(dāng)x=2時(shí),y=.又f′(x)=a+,
于是解得故f(x)=x-.
(2)證明:設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點(diǎn),由y′=1+知曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(x-x0),
即y-=(x-x0).
令x=0,得y=-,
從而得切線與直線x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
令y=x,得y=x=2x0,
從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0).
所以點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為S=|2x0|=6.
故曲線y=f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線
8、x=0,y=x所圍成的三角形的面積為定值,且此定值為6.
[能力提升]
11.(20xx·四川成都模擬)曲線y=xsinx在點(diǎn)P(π,0)處的切線方程是( )
A.y=-πx+π2 B.y=πx+π2
C.y=-πx-π2 D.y=πx-π2
[解析] 因?yàn)閥=f(x)=xsinx,所以f′(x)=sinx+xcosx,在點(diǎn)P(π,0)處的切線斜率為k=sinπ+πcosπ=-π,所以曲線y=xsinx在點(diǎn)P(π,0)處的切線方程是y=-π(x-π)=-πx+π2.故選A.
[答案] A
12.(20xx·河南開封模擬)函數(shù)f(x)=lnx+ax存在與
9、直線2x-y=0平行的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,2] B.(-∞,2)
C.(2,+∞) D.(0,+∞)
[解析] 直線2x-y=0的斜率為2,且f′(x)=+a(x>0),令+a=2得a=2-.因?yàn)閤>0,則>0,所以a<2,故選B.
[答案] B
13.(20xx·天津卷)已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-lnx的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為l,則l在y軸上的截距為________.
[解析] 因?yàn)閒′(x)=a-,所以f′(1)=a-1,又f(1)=a,所以切線l的方程為y-a=(a-1)(x-1),令x=0,得
10、y=1.
[答案] 1
14.已知曲線f(x)=x3+ax+在x=0處的切線與曲線g(x)=-lnx相切,則a的值為________.
[解析] 由f(x)=x3+ax+得,
f′(x)=3x2+a,f′(0)=a,f(0)=,
∴曲線y=f(x)在x=0處的切線方程為y-=ax.
設(shè)直線y-=ax與曲線g(x)=-lnx相切于點(diǎn)(x0,-lnx0),g′(x)=-,
∴
將②代入①得lnx0=,∴x0=e,∴a=-=-e.
[答案]?。璭
15.已知函數(shù)f(x)=x3-4x2+5x-4.
(1)求曲線f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(2,-
11、2)的曲線f(x)的切線方程.
[解] (1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′(2)=1,又f(2)=-2,∴曲線在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y+2=x-2,即x-y-4=0.
(2)設(shè)曲線與經(jīng)過點(diǎn)A(2,-2)的切線相切于點(diǎn)P(x0,x-4x+5x0-4),
∵f′(x0)=3x-8x0+5,
∴切線方程為y-(-2)=(3x-8x0+5)·(x-2),
又切線過點(diǎn)P(x0,x-4x+5x0-4),
∴x-4x+5x0-2=(3x-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或1,
∴經(jīng)過點(diǎn)A(2,-2)的曲線f(x)的切線
12、方程為x-y-4=0,或y+2=0.
16.已知函數(shù)f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的圖象為曲線C.
(1)求過曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍;
(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線,求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.
[解] (1)由題意得f′(x)=x2-4x+3,
則f′(x)=(x-2)2-1≥-1,
即過曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍是[-1,+∞).
(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k,則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知,
解得-1≤k<0,或k≥1,
故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,得x∈(-
13、∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).
[延伸拓展]
(20xx·陜西西安一模)定義1:若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導(dǎo),即f′(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在區(qū)間D上也可導(dǎo),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在二階導(dǎo)數(shù),記作f″(x)=[f′(x)]′.
定義2:若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導(dǎo)數(shù)恒為正,即f″(x)>0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函數(shù).已知函數(shù)f(x)=x3-x2+1在區(qū)間D上為凹函數(shù),則x的取值范圍是________.
[解析] ∵f(x)=x3-x2+1,∴f′(x)=3x2-3x,f″(x)=6x-3,令f″(x)>0,解得:x>.
[答案]