《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科: 不等式選講 第2節(jié) 不等式的證明學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科: 不等式選講 第2節(jié) 不等式的證明學(xué)案 文 北師大版(6頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第二節(jié) 不等式的證明
[考綱傳真] 通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法.
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第166頁)
[基礎(chǔ)知識(shí)填充]
1.不等式證明的方法
(1)比較法:
①求差比較法:
知道a>b?a-b>0,a<b?a-b<0,因此要證明a>b,只要證明a-b>0即可,這種方法稱為求差比較法.
②求商比較法:
由a>b>0?>1且a>0,b>0,因此當(dāng)a>0,b
2、>0時(shí),要證明a>b,只要證明>1即可,這種方法稱為求商比較法.
(2)分析法:
從所要證明的結(jié)論入手向已知條件反推直至達(dá)到已知條件為止.這種證法稱為分析法,即“執(zhí)果索因”的證明方法.
(3)綜合法:
從已知條件出發(fā),利用不等式的性質(zhì)(或已知證明過的不等式),推出了所要證明的結(jié)論,即“由因?qū)す钡姆椒ǎ@種證明不等式的方法稱為綜合法.
(4)幾何法:通過構(gòu)造幾何圖形,利用幾何圖形的性質(zhì)來證明不等式的解法稱為幾何法.
(5)放縮法和反證法:
在證明不等式時(shí),有時(shí)可以通過縮小(或放大)分式的分母(或分子),或通過放大(或縮小)被減式(或減式)來證明不等式,這
3、種證明不等式的方法稱為放縮法.
反證法是常用的證明方法.它是通過證明命題結(jié)論的否定不能成立,來肯定命題結(jié)論一定成立.其證明的步驟是:①作出否定結(jié)論的假設(shè);②進(jìn)行推理,導(dǎo)出矛盾;③否定假設(shè),肯定結(jié)論.
2.幾個(gè)常用基本不等式
(1)柯西不等式:
①柯西不等式的代數(shù)形式:對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(當(dāng)向量(a,d)與向量(c,d)共線時(shí).等號(hào)成立).
②柯西不等式的向量形式:設(shè)α,β是兩個(gè)向量,則|α||β|≥|α·β|,當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量,或存在實(shí)數(shù)k,使α=kβ時(shí),等號(hào)成立.
③一般形式的柯西不等式
設(shè)a1,a
4、2,…,an與b1,b2,…,bn是兩組實(shí)數(shù),則有(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,當(dāng)向量(a1,a2,…,an)與向量(b1,b2,…,bn)共線時(shí),等號(hào)成立.
(2)算術(shù)—幾何平均不等式
若a1,a2,…,an為正數(shù),則≥,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí),等號(hào)成立.
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)比較法最終要判斷式子的符號(hào)得出結(jié)論.( )
(2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法,它是從已知條件出發(fā),經(jīng)過逐步推理,最后達(dá)到待證的結(jié)論.( )
(
5、3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法,是從待證結(jié)論出發(fā),一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件,最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí).( )
(4)使用反證法時(shí),“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(教材改編)若a>b>1,x=a+,y=b+,則x與y的大小關(guān)系是( )
A.x>y B.x<y
C.x≥y D.x≤y
A [x-y=a+-
=a-b+=.
由a>b>1得ab>1,a-b>0,
所以>0,即x-y>0,所以x>y.]
3.(教材改編)已知a≥b>0,M
6、=2a3-b3,N=2ab2-a2b,則M,N的大小關(guān)系為________.
M≥N [2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).
因?yàn)閍≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,
從而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,故2a3-b3≥2ab2-a2B.]
4.已知a>0,b>0且ln(a+b)=0,則+的最小值是________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090380】
4 [由題意得,a+b=1,a>0,b>0,
∴+=(a+b)=2++
≥2+2=4,
當(dāng)且
7、僅當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立.]
5.已知x>0,y>0,證明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.
[證明] 因?yàn)閤>0,y>0,
所以1+x+y2≥3>0,1+x2+y≥3>0,
故(1+x+y2)(1+x2+y)≥3·3=9xy.
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第167頁)
比較法證明不等式
已知a>0,b>0,求證:+≥+.
[證明] 法一:∵-(+) =+=+
==≥0,
∴+≥+. 10分
法二:由于=
=
=-1
≥-1=1. 8分
又a>0,b>0,>0,
∴+≥+. 10分
[規(guī)律方法] 1.在法一中,采用
8、局部通分,優(yōu)化了解題過程;在法二中,利用不等式的性質(zhì),把證明a>b轉(zhuǎn)化為證明>1(b>0).
2.作差(商)證明不等式,關(guān)鍵是對(duì)差(商)式進(jìn)行合理的變形,特別注意作商證明不等式,不等式的兩邊應(yīng)同號(hào).
提醒:在使用作商比較法時(shí),要注意說明分母的符號(hào).
[變式訓(xùn)練1] (20xx·長沙模擬)設(shè)a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),
求證:a2+b2≥(a+b).
[證明] 因?yàn)閍2+b2-(a+b)
=(a2-a)+(b2-b)
=a(-)+b(-)
=(-)(a-b)
=. 6分
因?yàn)閍≥0,b≥0,所以不論a≥b≥0,還是0≤a≤b,都有a-b與a-b
同號(hào),所
9、以(a-b)≥0,
所以a2+b2≥(a+b). 10分
綜合法證明不等式
(20xx·長春模擬)設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:
(1)ab+bc+ac≤;
(2)++≥1.
[證明] (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
由題設(shè)得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,
所以3(ab+bc+ca)≤1,
即ab+bc+ca≤. 5分
(2)因?yàn)椋玝≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2
10、(a+b+c),
則++≥a+b+c,所以++≥1. 10分
[規(guī)律方法] 1.綜合法證明的實(shí)質(zhì)是由因?qū)Ч?,其證明的邏輯關(guān)系是:A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理,B為要證結(jié)論),它的常見書面表達(dá)式是“∵,∴”或“?”.
2.綜合法證明不等式,要著力分析已知與求證之間,不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換,恰當(dāng)選擇已知不等式,這是證明的關(guān)鍵.
[變式訓(xùn)練2] (20xx·石家莊調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=2|x+1|+|x-2|.
(1)求f(x)的最小值m;
(2)若a,b,c均為正實(shí)數(shù),且滿足a+b+c=m,求證:++≥3
11、.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090381】
[解] (1)當(dāng)x<-1時(shí),f(x)=-2(x+1)-(x-2)=-3x>3; 2分
當(dāng)-1≤x<2時(shí),f(x)=2(x+1)-(x-2)=x+4∈[3,6);
當(dāng)x≥2時(shí),f(x)=2(x+1)+(x-2)=3x≥6.
綜上,f(x)的最小值m=3. 5分
(2)證明:a,b,c均為正實(shí)數(shù),且滿足a+b+c=3,
因?yàn)椋?a+b+c)
=++
≥2=2(a+b+c). 8分
(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)取“=”)
所以++≥a+b+c,
即++≥3. 10分
分析法證明不等式
(20xx
12、3;全國卷Ⅱ)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明:
(1)若ab>cd,則+>+;
(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件.
[證明] (1)∵a,b,c,d為正數(shù),且a+b=c+d,
欲證+>+,
只需證明(+)2>(+)2,
也就是證明a+b+2>c+d+2,
只需證明>,
即證ab>cD.
由于ab>cd,
因此+>+. 5分
(2)①若|a-b|<|c-d|,
則(a-b)2<(c-d)2,
即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cD.
因?yàn)閍+b=c+d,所以a
13、b>cD.
由(1),得+>+. 8分
②若+>+,
則(+)2>(+)2,
即a+b+2>c+d+2.
因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cD.
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|a-b|<|c-d|.
綜上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件. 10分
[規(guī)律方法] 1.本題將不等式證明與充要條件的判定滲透命題,考查推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法,由于兩個(gè)不等式兩邊都是正數(shù),可通過兩邊平方來證明.
2.當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí),可用分析法來尋找證明途徑,使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.
3.分析法證明的思路是“執(zhí)果索因”,其框圖表示為:
→→→…→
[變式訓(xùn)練3] 已知a>b>c,且a+b+c=0,求證:<A.
[證明] 要證<a,
只需證b2-ac<3a2.
∵a+b+c=0,只需證b2+a(a+b)<3a2,
只需證2a2-ab-b2>0, 4分
只需證(a-b)(2a+b)>0,
只需證(a-b)(a-c)>0.
∵a>b>c,∴a-b>0,a-c>0,
∴(a-b)(a-c)>0顯然成立,
故原不等式成立. 10分