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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
課時分層訓練(十四) 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
A組 基礎(chǔ)達標
(建議用時:30分鐘)
一、選擇題
1.函數(shù)y=x2-ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
B [y=x2-ln x,y′=x-=
=(x>0).
令y′<0,得0<x<1,∴單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).]
2.已知定義在R上的函數(shù)f(x),其導函數(shù)f′(x)的大致圖像如圖2113所示,則下列敘述正確的是( )
圖2113
A.f(b)>f
2、(c)>f(d)
B.f(b)>f(a)>f(e)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(c)>f(e)>f(d)
C [依題意得,當x∈(-∞,c)時,f′(x)>0,因此,函數(shù)f(x)在(-∞,c)上是增加的,由a<b<c,所以f(c)>f(b)>f(a).因此C正確.]
3.若函數(shù)f(x)=2x3-3mx2+6x在區(qū)間(2,+∞)上為增函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍為( )
A.(-∞,2) B.(-∞,2]
C. D.
D [∵f′(x)=6x2-6mx+6,
當x∈(2,+∞)時,f′(x)≥0恒成立,
即x2-mx+1≥0恒成立,∴m≤x+恒成立.
令g(x)
3、=x+,g′(x)=1-,
∴當x>2時,g′(x)>0,即g(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,
∴m≤2+=,故選D.]
4.(20xx山東高考)若函數(shù)exf(x)(e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是( )
A.f(x)=2-x B.f(x)=x2
C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x
A [若f(x)具有性質(zhì)M,則[exf(x)]′=ex[f(x)+f′(x)]>0在f(x)的定義域上恒成立,即f(x)+f′(x)>0在f(x)的定義域上恒成立.
對于選項A,f(x)+f′(x)
4、=2-x-2-xln 2=2-x(1-ln 2)>0,符合題意.
經(jīng)驗證,選項B,C,D均不符合題意.
故選A.]
5.(20xx湖北棗陽第一中學3月模擬)函數(shù)f(x)的定義域為R,f(-1)=2,對任意x∈R,f′(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為( ) 【導學號:00090066】
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
B [由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,設(shè)F(x)=f(x)-2x-4,則F′(x)=f′(x)-2,因為f′(x)>2,所以F′(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上是增加的,而F(-1)=f(
5、-1)-2(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等價于F(x)>F(-1),所以x>-1,故選B.]
二、填空題
6.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
(0,e) [由f′(x)=′=>0(x>0),
可得解得x∈(0,e).]
7.若函數(shù)y=ax+sin x在R上是增加的,則a的最小值為________.
1 [函數(shù)y=ax+sin x在R上單調(diào)遞增等價于y′=a+cos x≥0在R上恒成立,即a≥-cos x在R上恒成立,因為-1≤-cos x≤1,所以a≥1,即a的最小值為1.]
8.(20xx江蘇高考)已知函數(shù)f(x)=x3-2x+e
6、x-,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若f(a-1)+f(2a2)≤0,則實數(shù)a的取值范圍是________.
[因為f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-
=-x3+2x-ex+=-f(x),
所以f(x)=x3-2x+ex-是奇函數(shù).
因為f(a-1)+f(2a2)≤0,
所以f(2a2)≤-f(a-1),即f(2a2)≤f(1-a).
因為f′(x)=3x2-2+ex+e-x≥3x2-2+2=3x2≥0,
所以f(x)在R上是增加的,
所以2a2≤1-a,即2a2+a-1≤0,
所以-1≤a≤.]
三、解答題
9.已知函數(shù)f(x)=(k為常數(shù),e是自然對數(shù)的底數(shù)),
7、曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行.
(1)求k的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間. 【導學號:00090067】
[解] (1)由題意得f′(x)=,
又f′(1)==0,故k=1. 5分
(2)由(1)知,f′(x)=.
設(shè)h(x)=-ln x-1(x>0),
則h′(x)=--<0,
即h(x)在(0,+∞)上是減少的. 8分
由h(1)=0知,當0<x<1時,h(x)>0,從而f′(x)>0;
當x>1時,h(x)<0,從而f′(x)<0.
綜上可知,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),
單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+∞).
8、12分
10.(20xx重慶高考)已知函數(shù)f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-處取得極值.
(1)確定a的值;
(2)若g(x)=f(x)ex,討論g(x)的單調(diào)性.
[解] (1)對f(x)求導得f′(x)=3ax2+2x, 2分
因為f(x)在x=-處取得極值,
所以f′=0,
即3a+2=-=0,
解得a=. 5分
(2)由(1)得g(x)=ex,
故g′(x)=ex+ex
=ex
=x(x+1)(x+4)ex. 8分
令g′(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4.
當x<-4時,g′(x)<0,故g(x)為減函數(shù);
當-4
9、)>0,故g(x)為增函數(shù);
當-10時,g′(x)>0,故g(x)為增函數(shù).
綜上知,g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)內(nèi)為減函數(shù),在(-4,-1)和(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù). 12分
B組 能力提升
(建議用時:15分鐘)
1.(20xx江淮十校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-9ln x在區(qū)間[a-1,a+1]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.1<a≤2 B.a(chǎn)≥4
C.a(chǎn)≤2 D.0<a≤3
A [易知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=x-,由f′(x)=x-<0,解得0<x<3.因為函數(shù)
10、f(x)=x2-9ln x在區(qū)間[a-1,a+1]上是減少的,所以解得1<a≤2,選A]
2.(20xx石家莊質(zhì)檢(二))設(shè)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導函數(shù),f(-2)=0,當x>0時,xf′(x)-f(x)>0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是________.
【導學號:00090068】
(-2,0)∪(2,+∞) [令g(x)=,則g′(x)=>0,x∈(0,+∞),所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又g(-x)====g(x),則g(x)是偶函數(shù),g(-2)=0=g(2),則f(x)=xg(x)>0?或解得x>2或-2<x<0,故不等式f(x)>0的
11、解集為(-2,0)∪(2,+∞).]
3.已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=ax+b.
(1)若f(x)與g(x)在x=1處相切,求g(x)的表達式;
(2)若φ(x)=-f(x)在[1,+∞)上是減少的,求實數(shù)m的取值范圍.
[解] (1)由已知得f′(x)=,∴f′(1)=1=a,a=2.
又∵g(1)=0=a+b,∴b=-1,∴g(x)=x-1. 5分
(2)∵φ(x)=-f(x)=-ln x在[1,+∞)上是減少的,
∴φ′(x)=≤0在[1,+∞)上恒成立,
即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,
則2m-2≤x+,x∈[1,+∞). 9分
∵x+∈[2,+∞),∴2m-2≤2,m≤2.
故實數(shù)m的取值范圍是(-∞,2]. 12分