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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
課時分層訓練(二十一) 正弦定理和余弦定理
A組 基礎達標
(建議用時:30分鐘)
一、選擇題
1.(20xx·蘭州模擬)設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則△ABC的形狀為( )
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.不確定
B [由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,
∴sin(B+C)=sin2A,
即sin(π-A)=sin2A,sin A=sin
2、2A.
∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴sin A=1,即A=.]
2.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,則此三角形的解的情況是( )
A.有一解 B.有兩解
C.無解 D.有解但解的個數(shù)不確定
C [由正弦定理得=,
∴sin B===>1.
∴角B不存在,即滿足條件的三角形不存在.]
3.(20xx·天津高考)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,則AC=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
A [由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos
3、C,即13=AC2+9-2AC×3×cos 120°,化簡得AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).故選A.]
4.(20xx·石家莊模擬)△ABC中,AB=,AC=1,∠B=30°,則△ABC的面積等于( ) 【導學號:00090111】
A. B.
C.或 D.或
D [由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,
即1=3+BC2-3BC,解得BC=1或BC=2,
當BC=1時,△ABC的面積S=AB·BCsin B=××1×
4、=.
當BC=2時,△ABC的面積S=AB·BCsin B=××2×=.
總上之,△ABC的面積等于或.]
5.(20xx·全國卷Ⅲ)在△ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則sin A=( )
A. B.
C. D.
D [過A作AD⊥BC于D,設BC=a,由已知得AD=.∵B=,∴AD=BD,∴BD=AD=,DC=a,∴AC==a,在△ABC中,由正弦定理得=,
∴sin ∠BAC=,故選D.]
二、填空題
6.(20xx·青島模擬)如圖361所示,在△ABC中,已
5、知點D在BC邊上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,則BD的長為________.
【導學號:00090112】
圖361
[∵sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=,
∴在△ABD中,有BD2=AB2+AD-2AB·ADcos∠BAD,
∴BD2=18+9-2×3×3×=3,
∴BD=.]
7.已知△ABC中,AB=,BC=1,sin C=cos C,則△ABC的面積為________.
[由sin C=cos C得tan C=>0,所以C=.
根據(jù)正弦
6、定理可得=,即==2,
所以sin A=.因為AB>BC,所以A<C,所以A=,所以B=,即三角形為直角三角形,
故S△ABC=××1=.]
8.(20xx·全國卷Ⅱ)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=________.
[由2bcos B=acos C+ccos A及正弦定理,
得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A.
∴2sin Bcos B=sin(A+C).
又A+B+C=π,∴A+C=π-B.
∴2sin Bcos B=sin(π-B)=si
7、n B.
又sin B≠0,∴cos B=.∴B=.]
三、解答題
9.(20xx·陜西八校聯(lián)考)已知△ABC內接于單位圓,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2acos A=ccos B+bcos C.
(1)求cos A的值;
(2)若b2+c2=4,求△ABC的面積.
[解] (1)∵2acos A=ccos B+bcos C,
∴2sin A·cos A=sin Ccos B+sin Bcos C,
即2sin A·cos A=sin(B+C)=sin A. 4分
又0<A<π,∴sin A≠0.
∴2cos A=1,cos A=.
8、 6分
(2)由(1)知cos A=,∴sin A=.
∵△ABC內接于單位圓,=2R=2,∴a=2sin A=. 8分
由a2=b2+c2-2bccos A,得bc=b2+c2-a2=4-3=1, 10分
∴S△ABC=bcsin A=×1×=. 12分
10.(20xx·云南二次統(tǒng)一檢測)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,m=(sin B,5sin A+5sin C)與n=(5sin B-6sin C,sin C-sin A)垂直.
(1)求sin A的值;
(2)若a=2,求△ABC的面積S的最大值.
【導學號:00090
9、113】
[解] (1)∵m=(sin B,5sin A+5sin C)與n=(5sin B-6sin C,sin C-sin A)垂直,∴m·n=5sin2B-6sin Bsin C+5sin2C-5sin2A=0,
即sin2B+sin2C-sin2A=. 3分
根據(jù)正弦定理得b2+c2-a2=,
由余弦定理得cos A==.
∵A是△ABC的內角,
∴sin A==. 6分
(2)由(1)知b2+c2-a2=,
∴=b2+c2-a2≥2bc-a2. 8分
又∵a=2,∴bc≤10.
∵△ABC的面積S=bcsin A=≤4,
∴△ABC的面積S的最大
10、值為4. 12分
B組 能力提升
(建議用時:15分鐘)
1.(20xx·山東高考)△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c已知b=c,a2=2b2(1-sin A),則A=( )
A. B.
C. D.
C [∵b=c,∴B=C.
又由A+B+C=π得B=-.
由正弦定理及a2=2b2(1-sin A)得
sin2A=2sin2B(1-sin A),
即sin2A=2sin2(1-sin A),
即sin2A=2cos2(1-sin A),
即4sin2cos2=2cos2(1-sin A),
整理得cos2=0,
即cos2(cos
11、A-sin A)=0.
∵0<A<π,∴0<<,∴cos ≠0,
∴cos A=sin A.又0<A<π,∴A=.]
2.如圖362,在△ABC中,∠B=45°,D是BC邊上的點,AD=5,AC=7,DC=3,則AB的長為________.
圖362
[在△ADC中,AD=5,AC=7,DC=3,
由余弦定理得cos ∠ADC==-,
所以∠ADC=120°,∠ADB=60°.
在△ABD中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,
由正弦定理得=,
所以AB=.]
12、
3.(20xx·昆明模擬)如圖363,在四邊形ABCD中,∠DAB=,AD∶AB=2∶3,BD=,AB⊥BC.
圖363
(1)求sin∠ABD的值;
(2)若∠BCD=,求CD的長. 【導學號:00090114】
[解] (1)∵AD∶AB=2∶3,∴可設AD=2k,AB=3k.
又BD=,∠DAB=,
∴由余弦定理,得()2=(3k)2+(2k)2-2×3k×2kcos,
解得k=1,∴AD=2,AB=3,
sin∠ABD===.
(2)∵AB⊥BC,∴cos∠DBC=sin∠ABD=,
∴sin∠DBC=,∴=,
∴CD==.