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高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件北師大版文科: 坐標系與參數(shù)方程 第2節(jié) 參數(shù)方程學案 文 北師大版

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第二節(jié) 參數(shù)方程 [考綱傳真] 1.了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義.2.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓曲線的參數(shù)方程. (對應學生用書第161頁) [基礎知識填充] 1.曲線的參數(shù)方程 一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值,由這個方程組所確定的點M(x,y)都在這條曲線上,那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡稱參數(shù). 2.參數(shù)方程和普通方程的互化 (1)曲線的

2、參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地,可以通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程. (2)如果知道變數(shù)x,y中的一個與參數(shù)t的關系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系y=g(t),那么就是曲線的參數(shù)方程. 3.常見曲線的參數(shù)方程和普通方程 點的軌跡 普通方程 參數(shù)方程 直線 y-y0=tan α(x-x0) (t為參數(shù)) 圓 x2+y2=r2 (θ為參數(shù)) 橢圓 +=1(a>b>0) (φ為參數(shù)) 溫馨提示:在直線的參數(shù)方程中,參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時,t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為:|t|是直線上任一點M(x,y)到M0(x0

3、,y0)的距離. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)參數(shù)方程中的x,y都是參數(shù)t的函數(shù).(  ) (2)過M0(x0,y0),傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).參數(shù)t的幾何意義表示:直線l上以定點M0為起點,任一點M(x,y)為終點的有向線段的數(shù)量.(  ) (3)方程表示以點(0,1)為圓心,以2為半徑的圓.(  ) (4)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù)),點M在橢圓上,對應參數(shù)t=,點O為原點,則直線OM的斜率為.(  ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4) 2.(教材改編)曲線(θ為

4、參數(shù))的對稱中心(  ) A.在直線y=2x上 B.在直線y=-2x上 C.在直線y=x-1上 D.在直線y=x+1上 B [由得 所以(x+1)2+(y-2)2=1. 曲線是以(-1,2)為圓心,1為半徑的圓, 所以對稱中心為(-1,2),在直線y=-2x上.] 3.(教材改編)在平面直角坐標系中,曲線C:(t為參數(shù))的普通方程為________. x-y-1=0 [由x=2+t,且y=1+t, 消去t,得x-y=1,即x-y-1=0.] 4.在平面直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C1的極坐標方程為ρ(cos θ+s

5、in θ)=-2,曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),則C1與C2交點的直角坐標為________. (2,-4) [由ρ(cos θ+sin θ)=-2,得x+y=-2.① 由消去t得y2=8x.② 聯(lián)立①②得即交點坐標為(2,-4).] 5.(20xx江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).設直線l與橢圓C相交于A,B兩點,求線段AB的長. 【導學號:00090372】 [解] 橢圓C的普通方程為x2+=1. 2分 將直線l的參數(shù)方程代入x2+=1,得2+=1,即7t2+16t=0, 8分 解得t1=

6、0,t2=-,所以AB=|t1-t2|=. 10分 (對應學生用書第162頁) 參數(shù)方程與普通方程的互化  已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (1)求直線l和圓C的普通方程; (2)若直線l與圓C有公共點,求實數(shù)a的取值范圍. [解] (1)直線l的普通方程為2x-y-2a=0, 2分 圓C的普通方程為x2+y2=16. 4分 (2)因為直線l與圓C有公共點, 故圓C的圓心到直線l的距離d=≤4, 8分 解得-2≤a≤2. 10分 [規(guī)律方法] 1.將參數(shù)方程化為普通方程,消參數(shù)常用代入法、加減消元法、三角恒等

7、變換消去參數(shù). 2.把參數(shù)方程化為普通方程時,要注意哪一個量是參數(shù),并且要注意參數(shù)的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響,要保持同解變形. [變式訓練1] 在平面直角坐標系xOy中,若直線l:(t為參數(shù))過橢圓C:(φ為參數(shù))的右頂點,求常數(shù)a的值. [解] 直線l的普通方程為x-y-a=0, 橢圓C的普通方程為+=1, 4分 所以橢圓C的右頂點坐標為(3,0), 若直線l過橢圓的右頂點(3,0), 則3-0-a=0,所以a=3. 10分 參數(shù)方程的應用  (20xx合肥模擬)已知曲線C:+=1,直線l:(t為參數(shù)). (1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直

8、線l的普通方程; (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值. [解] (1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 直線l的普通方程為2x+y-6=0. 4分 (2)曲線C上任意一點P(2cos θ,3sin θ)到l的距離為d=|4cos θ+3sin θ-6|, 則|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α為銳角,且tan α=. 8分 當sin(θ+α)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為. 當sin(θ+α)=1時,|PA|取得最小值,最小值為. 10分 [規(guī)律方法] 1.解決直線與圓的參數(shù)方程的應用問題

9、時,一般是先化為普通方程,再根據(jù)直線與圓的位置關系來解決問題. 2.對于形如(t為參數(shù)),當a2+b2≠1時,應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題. [變式訓練2] (20xx石家莊質檢)在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l經過點P(1,2),傾斜角α=. (1)寫出圓C的普通方程和直線l的參數(shù)方程; (2)設直線l與圓C相交于A,B兩點,求|PA||PB|的值. 【導學號:00090373】 [解] (1)由消去θ, 得圓C的普通方程為x2+y2=16. 2分 又直線l過點P(1,2)且傾斜角α=, 所以l的參數(shù)方程為 即(

10、t為參數(shù)). 4分 (2)把直線l的參數(shù)方程 代入x2+y2=16, 得2+2=16,t2+(+2)t-11=0, 所以t1t2=-11, 8分 由參數(shù)方程的幾何意義,|PA||PB|=|t1t2|=11. 10分 參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應用  (20xx全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設l1與l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程; (2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M為l3與C的交點,

11、求M的極徑. [解] (1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2); 1分 消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=(x+2). 2分 設P(x,y),由題設得 消去k得x2-y2=4(y≠0). 所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0). 4分 (2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 5分 聯(lián)立得 cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 6分 故tan θ=-,從而cos2θ=,sin2θ=. 8分 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5, 所以交點M的極徑為. 10

12、分 [規(guī)律方法] 1.參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題,求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解.當然,還要結合題目本身特點,確定選擇何種方程. 2.數(shù)形結合的應用,即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,或者利用ρ和θ的幾何意義,直接求解,可化繁為簡. [變式訓練3] (20xx全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρsin=2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程; (2)設點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標. [解] (1)C1的普通方程為+y2=1, 2分 由于曲線C2的方程為ρsin=2, 所以ρsin θ+ρcos θ=4, 因此曲線C2的直角坐標方程為x+y-4=0. 4分 (2)由題意,可設點P的直角坐標為(cos α,sin α). 因為C2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值,8分 又d(α)==, 當且僅當α=2kπ+(k∈Z)時,d(α)取得最小值,最小值為,此時P的直角坐標為. 10分

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