《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科: 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科: 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 文 北師大版(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)
[考綱傳真] 1.(1)了解冪函數(shù)的概念;(2)結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=的圖像,了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第14頁(yè))
[基礎(chǔ)知識(shí)填充]
1.二次函數(shù)
(1)二次函數(shù)解析式的三種形式
一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
頂點(diǎn)式:f(x)=a(x+h)2+k(a≠0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-h(huán),k);
零點(diǎn)式:f(x)=a
2、(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為f(x)的零點(diǎn).
(2)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
函數(shù)
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
圖像
定義域
R
值域
單調(diào)性
在上是減少的,
在上是增加的
在上是增加的,
在上是減少的
對(duì)稱性
函數(shù)的圖像關(guān)于x=-對(duì)稱
2. 冪函數(shù)
(1)定義:形如y=xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).
(2)五種常見(jiàn)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)
函數(shù)
特征
性質(zhì)
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
圖像
定義域
R
3、
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
增
(-∞,0)減,
(0,+∞)增
增
增
(-∞,0)和
(0,+∞)減
公共點(diǎn)
(1,1)
[知識(shí)拓展]
1.一元二次不等式恒成立的條件
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要條件是
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要條件是
(3)ax2+bx+c>0(a<0)在區(qū)間[a,b]恒成立的充要條件是
(4)ax2+bx+c<0(a>0)在區(qū)間[a,b]恒
4、成立的充要條件是
2.冪函數(shù)y=xα(α∈R)的圖像特征
(1)α>0時(shí),圖像過(guò)原點(diǎn)和(1,1),在第一象限的圖像上升.
(2)α<0時(shí),圖像不過(guò)原點(diǎn),在第一象限的圖像下降.
[基本能力自測(cè)]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”)
(1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函數(shù).( )
(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.( )
(3)冪函數(shù)的圖像一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0).( )
(4)當(dāng)n>0時(shí),冪函數(shù)y=xn在(0,+∞)上是增函數(shù).( )
[答案] (1) (2)
5、(3) (4)√
2.(教材改編)已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖像過(guò)點(diǎn)(4,2),若f(m)=3,則實(shí)數(shù)m的值為( )
A. B.
C. D.9
D [由題意可知4α=22α=2,所以α=.
所以f(x)=x=,
故f(m)==3?m=9.]
3.已知函數(shù)f(x)=ax2+x+5的圖像在x軸上方,則a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
C [由題意知即得a>.]
4.(20xx貴陽(yáng)適應(yīng)性考試(二))二次函數(shù)f(x)=2x2+bx-3(b∈R)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是
( )
A.0 B.1
C.2 D.4
C
6、 [因?yàn)榕袆e式Δ=b2+24>0,所以原二次函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),故選C.]
5.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于A(-2,0),B(4,0)且函數(shù)的最大值為9,則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是________.
y=-x2+2x+8 [設(shè)y=a(x+2)(x-4),對(duì)稱軸為x=1,
當(dāng)x=1時(shí),ymax=-9a=9,∴a=-1,
∴y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.]
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第15頁(yè))
求二次函數(shù)的解析式
已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,試確定此二次函數(shù)的解析式.
[解]
7、法一(利用一般式):
設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由題意得
解得∴所求二次函數(shù)為f(x)=-4x2+4x+7.
法二(利用頂點(diǎn)式):
設(shè)f(x)=a(x-m)2+n.
∵f(2)=f(-1),
∴拋物線的圖像的對(duì)稱軸為x==.
∴m=.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8,∴n=8.
∴y=f(x)=a2+8.
∵f(2)=-1,∴a2+8=-1,解得a=-4,
∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7.
法三(利用零點(diǎn)式):
由已知f(x)+1=0的兩根為x1=2,x2=-1,
故可設(shè)f(x)+1=a(x-2)(x+1),
即f
8、(x)=ax2-ax-2a-1.
又函數(shù)的最大值是8,即=8,解得a=-4,
∴所求函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7.
[規(guī)律方法] 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式的形式,選法如下:
[變式訓(xùn)練1] 已知二次函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3),它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,并且對(duì)任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.
[解] ∵f(2-x)=f(2+x)對(duì)x∈R恒成立,
∴f(x)的對(duì)稱軸為x=2.
又∵f(x)的圖像被x軸截得的線段長(zhǎng)為2,
∴f(x)=0的兩根為1和3.
設(shè)f(x)的解析式
9、為f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).
又∵f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(4,3),
∴3a=3,a=1.
∴所求f(x)的解析式為f(x)=(x-1)(x-3),
即f(x)=x2-4x+3.
二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
角度1 二次函數(shù)的最值問(wèn)題
(1)(20xx廣西一模)若xlog52≥-1,則函數(shù)f(x)=4x-2x+1-3的最小值為( )
A.-4 B.-3
C.-1 D.0
(2)(20xx安徽皖北第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最大值為2,則a的值為( )
A.2 B.-1或
10、-3
C.2或-3 D.-1或2
(1)A (2)D [(1)xlog52≥-1?log52x≥log55-1?2x≥,
令t=2x,則有y=t2-2t-3=(t-1)2-4,
當(dāng)t=1≥,即x=0時(shí),f(x)取得最小值-4.故選A.
(2)函數(shù)f(x)=-(x-a)2+a2-a+1圖像的對(duì)稱軸為x=a,且開(kāi)口向下,分三種情況討論如下:
①當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上是減少的,
∴f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1.
②當(dāng)0<a≤1時(shí),函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,a]上是增加的,在
11、[a,1]上是減少的,
∴f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1,
由a2-a+1=2,解得a=或a=.∵0<a≤1,∴兩個(gè)值都不滿足,舍去.
③當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上是增加的,
∴f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,∴a=2.
綜上可知,a=-1或a=2.]
角度2 二次函數(shù)中的恒成立問(wèn)題
(1)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對(duì)于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090025】
(2)已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x
12、)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.
(1) (2) [(1)作出二次函數(shù)f(x)的圖像,對(duì)于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,
則有
即解得-<m<0.
(2)由題意知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.
當(dāng)x=0時(shí),適合;
當(dāng)x≠0時(shí),a<2-.
因?yàn)椤?-∞,-1]∪[1,+∞),當(dāng)x=1時(shí),右邊取最小值,所以a<.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.]
[規(guī)律方法] 1.二次函數(shù)最值問(wèn)題應(yīng)抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合求解,三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn),一軸指的是對(duì)稱軸,結(jié)合配方法,用函數(shù)的
13、單調(diào)性及分類(lèi)討論的思想即可完成.
2.由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,常用分離參數(shù)法,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題,其依據(jù)是a≥f(x)?a≥f(x)max,a≤f(x)?a≤f(x)min.
冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)
(1)(20xx蘭州模擬)已知冪函數(shù)f(x)=kxα的圖像過(guò)點(diǎn),則k+α等于( )
A. B.1
C. D.2
(2)若(2m+1)>(m2+m-1),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. B.
C.(-1,2) D.
(1)C (2)D [(1)由冪函數(shù)的定義知k=1.又f=,
所以α=,解得α=,從而k+α=.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=x的
14、定義域?yàn)閇0,+∞),
且在定義域內(nèi)為增函數(shù),
所以不等式等價(jià)于
解2m+1≥0,得m≥-;
解m2+m-1≥0,得m≤或m≥;
解2m+1>m2+m-1,得-1<m<2,
綜上所述,m的取值范圍是≤m<2.]
[規(guī)律方法] 1.冪函數(shù)的形式是y=xα(α∈R),其中只有一個(gè)參數(shù)α,因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.
2.在區(qū)間(0,1)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖像越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”),在區(qū)間(1,+∞)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖像越遠(yuǎn)離x軸.
[變式訓(xùn)練2] (1)設(shè)a=0.5,b=0.9,c=log50.3,則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.a(chǎn)>c>b B.c>a>b
C.a(chǎn)>b>c D.b>a>c
(2)若(a+1) <(3-2a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
(1)D (2) [(1)a=0.5=0.25,b=0.9,所以根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)知b>a>0,而c=log50.3<0,所以b>a>C.
(2)易知函數(shù)y=x的定義域?yàn)閇0,+∞),在定義域內(nèi)為增函數(shù),所以解得-1≤a<.]