《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第6章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第6章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用學(xué)案 理 北師大版(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第二節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用
[考綱傳真] (教師用書獨(dú)具)1.了解基本不等式的證明過程.2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問題.
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第95頁(yè))
[基礎(chǔ)知識(shí)填充]
1.基本不等式:≤
(1)基本不等式成立的條件:a≥0,b≥0.
(2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).
(3)其中稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù),基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).
2.幾個(gè)重要的不等式(注意逆應(yīng)用)
(1)a2+
2、b2≥2ab(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).
(2)ab≤ (a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).
(3)≥(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).
(4)+≥2(a,b同號(hào)),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0,y≥0,則
(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),x+y有最小值是2(簡(jiǎn)記:積定和最小).
(2)如果和x+y是定值q那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),xy有最大值是(簡(jiǎn)記:和定積最大).
[知識(shí)拓展]
1.≤≤≤(a>0,b>0).
2.不等式的恒成立、能成立、恰成立問題
(1)恒成立問題:若f(x)在區(qū)間D上存在最小值,則
3、不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立?f(x)min>A;
若f(x)在區(qū)間D上存在最大值,則不等式f(x)<B在區(qū)間D上恒成立?f(x)max<B.
(2)能成立問題:若f(x)在區(qū)間D上存在最大值,則在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)>A成立?f(x)max>A;
若f(x)在區(qū)間D上存在最小值,則在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)<B成立?f(x)min<B.
(3)恰成立問題:不等式f(x)>A恰在區(qū)間D上成立?f(x)>A的解集為D;
不等式f(x)<B恰在區(qū)間D上成立?f(x)<B的解集為D.
[基本能力自測(cè)]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,
4、錯(cuò)誤的打“”)
(1)兩個(gè)不等式a2+b2≥2ab與≥成立的條件是相同的.( )
(2)(a+b)2≥4ab(a,b∈R).( )
(3)兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).( )
(4)函數(shù)y=x+的最小值是2.( )
(5)函數(shù)f(x)=cos x+,x∈的最小值等于4.( )
(6)x>0且y>0是+≥2的充分不必要條件.( )
[答案] (1) (2)√ (3)√ (4) (5) (6)√
2.(教材改編)設(shè)x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為( )
A.80 B.77
C.81 D.82
C [∵x>0,y>0,∴≥,即
5、xy≤=81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=9時(shí),(xy)max=81.]
3.已知f(x)=x+-2(x<0),則f(x)有( )
A.最大值0 B.最小值0
C.最大值-4 D.最小值-4
C [∵x<0,∴f(x)=--2≤-2-2=-4,當(dāng)且僅當(dāng)-x=,即x=-1時(shí)取等號(hào).
∴f(x)有最大值-4.]
4.若函數(shù)f(x)=x+(x>2)在x=a處取最小值,則a等于( )
A.1+ B.1+
C.3 D.4
C [當(dāng)x>2時(shí),x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-2=(x>2),即x=3時(shí)取等號(hào),即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí),x=3,即a=3,選C.]
5
6、.若把總長(zhǎng)為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地,則矩形場(chǎng)地的最大面積是__________m2.
25 [設(shè)矩形的一邊為x m,矩形場(chǎng)地的面積為y,
則另一邊為(20-2x)=(10-x)m,
則y=x(10-x)≤=25,
當(dāng)且僅當(dāng)x=10-x,即x=5時(shí),ymax=25.]
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第95頁(yè))
利用基本不等式求最值
(1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,則ab的最大值為________.
(2)已知x<,則f(x)=4x-2+的最大值為________.
(3)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值為________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)
7、:79140194】
(1) (2)1 (3)5 [(1)法一:∵a>0,b>0,4a+b=1,∴1=4a+b≥2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)4a=b=,即a=,b=時(shí),等號(hào)成立.
∴≤,∴ab≤.∴ab的最大值為.
法二:∵4a+b=1,
∴ab=4ab≤=,
當(dāng)且僅當(dāng)4a=b=,即a=,b=(滿足a>0,b>0)時(shí),等號(hào)成立,∴ab的最大值為.
(2)因?yàn)閤<,所以5-4x>0,
則f(x)=4x-2+=-+3
≤-2+3=-2+3=1.
當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=,即x=1時(shí),等號(hào)成立.
故f(x)=4x-2+的最大值為1.
(3)由x+3y=5xy可得+=1,
∴3x+4y=(
8、3x+4y)
=+++≥+2=5(當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=1,y=時(shí),等號(hào)成立),
∴3x+4y的最小值是5.]
規(guī)律方法] 利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值,主要有兩種思路:
(1)對(duì)條件使用基本不等式,建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解.常用的方法有:拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等.
(2)條件變形,進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值.
易錯(cuò)警示:使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三個(gè)條件缺一不可.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx東北三省四市模擬(一))已知a>0,b>0,則的最小值為( )
A.
9、 B.1
C.2 D.4
(2)(20xx山東高考)若直線+=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為________.
(3)(20xx四川樂山一中月考)設(shè)0<x<,則函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值為________.
(1)D (2)8 (3) [(1)=a+2b+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a+2b=,即a+2b=2時(shí)等號(hào)成立,則的最小值為4.故選D.
(2)∵直線+=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(1,2),
∴+=1,
∴2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8,
當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=2,b=4時(shí),等號(hào)成立.
故2a+b的最小值為8.
(3)y=4x(3-2
10、x)=2[2x(3-2x)]≤2=,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x,即x=時(shí),等號(hào)成立.
∵∈,
∴函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值為.]
基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
某化工企業(yè)年底將投入100萬元,購(gòu)入一套污水處理設(shè)備.該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元,此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi),第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元,由于設(shè)備老化,以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬元.設(shè)該企業(yè)使用該設(shè)備x年的年平均污水處理費(fèi)用為y(單位:萬元).
(1)用x表示y;
(2)當(dāng)該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低時(shí),企業(yè)需重新更換新的污水處理設(shè)備.則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備.
[解] (1)由
11、題意得,
y=,
即y=x++1.5(x∈N+).
(2)由基本不等式得:
y=x++1.5≥2+1.5=21.5,
當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=10時(shí)取等號(hào).
故該企業(yè)10年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備.
[易錯(cuò)警示] 解實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)注意點(diǎn)
(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).
(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后,只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.
(3)在求函數(shù)的最值時(shí),一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.
[跟蹤訓(xùn)練] 要制作一個(gè)容積為4 m3,高為1 m的無蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元,側(cè)面造價(jià)是
12、每平方米10元,則該容器的最低總造價(jià)是( )
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
C [設(shè)底面相鄰兩邊的邊長(zhǎng)分別為x m,y m,總造價(jià)為T元,則xy1=4?xy=4.
T=420+(2x+2y)110=80+20(x+y)≥80+202=80+204=160(當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)取等號(hào)).
故該容器的最低總造價(jià)是160元.]
利用基本不等式求參數(shù)的取值范圍
(1)(20xx河南平頂山一模)若對(duì)任意x>0,≤a恒成立,則a的取值范圍是( )
A.a(chǎn)≥ B.a(chǎn)>
C.a(chǎn)< D.a(chǎn)≤
(2)已知函數(shù)f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3時(shí)取得
13、最小值,則a=________.
(1)A (2)36 [(1)∵對(duì)任意x>0,≤a恒成立,
∴對(duì)x∈(0,+∞),a≥max,
而對(duì)x∈(0,+∞),=≤=,
當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號(hào)成立,∴a≥.
(2)∵x>0,a>0,
∴f(x)=4x+≥2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)4x=,即4x2=a時(shí),f(x)取得最小值.
又∵f(x)在x=3時(shí)取得最小值,
∴a=432=36.]
[規(guī)律方法] 求解含參數(shù)不等式的求解策略
(1)觀察題目特點(diǎn),利用基本不等式確定相關(guān)成立條件,從而得參數(shù)的值或取值范圍.
(2)在處理含參數(shù)的不等式恒成立問題時(shí),往往將已知不等式看作關(guān)于參數(shù)的不等式,體現(xiàn)了主元
14、與次元的轉(zhuǎn)化.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)已知不等式(x+y)≥9對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為( )
A.2 B.4
C.6 D.8
(2)已知正數(shù)x,y滿足x+2≤λ(x+y)恒成立,則實(shí)數(shù)λ的最小值為________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140195】
(1)B (2)2 [(1)(x+y)=1+a++≥1+a+2=(+1)2(x,y,a>0),當(dāng)且僅當(dāng)y=x時(shí)取等號(hào),所以(x+y)的最小值為(+1)2,于是(+1)2≥9恒成立.所以a≥4,故選B.
(2)依題意得x+2≤x+(x+2y)=2(x+y),即≤2(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)),即的最大值為2.又λ≥,因此有λ≥2,即λ的最小值為2.]