《高考數(shù)學(xué)理二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)檢測(cè)第二篇 專(zhuān)題滿分突破 專(zhuān)題六 解析幾何:課時(shí)鞏固過(guò)關(guān)練十七 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)理二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)檢測(cè)第二篇 專(zhuān)題滿分突破 專(zhuān)題六 解析幾何:課時(shí)鞏固過(guò)關(guān)練十七 Word版含解析(14頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
課時(shí)鞏固過(guò)關(guān)練(十七) 圓錐曲線中的熱點(diǎn)問(wèn)題
一、選擇題
1.已知F1,F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且∠F1PF2=,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為( )
A. B.
C.3 D.2
解析:解法一:設(shè)橢圓方程為+=1(a1>b1>0),離心率為e1,雙曲線的方程為-=1(a2>0,b2>0),離心率為e2,它們的焦距為2c,不妨設(shè)P為兩曲線在第一象限的交點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為左,右焦點(diǎn),則易知
解得
在△F
2、1PF2中,由余弦定理得(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos60=4c2,
整理得a+3a=4c2,
所以+=4,即+=4.
設(shè)a=,b=,
∴+=ab≤|a||b|===,故+的最大值是,故選A.
解法二:不妨設(shè)P在第一象限,|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1,離心率為e1,雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a2,離心率為e2,它們的焦距為2c,則+===.∴2===,易知2-+1的最小值為.故max=.故選A.
答案:A
2.設(shè)P,Q分別為圓x2+(y-6)2=2和橢圓+y2=1上
3、的點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是( )
A.5 B.+
C.7+ D.6
解析:設(shè)Q(cosθ,sinθ),圓心為M,由已知得M(0,6),
則|MQ|=
=
=
=
≤5,
故|PQ|max=5+=6.
答案:D
3.(20xx廣東深圳一模)過(guò)點(diǎn)(0,2b)的直線l與雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條斜率為正值的漸近線平行,若雙曲線C的右支上的點(diǎn)到直線l的距離恒大于b,則雙曲線C的離心率的取值范圍是( )
A.(1,2] B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(1,)
解析:由題意得,直線l的方程為y=x+2b,即bx-ay+2ab=0,因?yàn)殡p曲
4、線C的右支上的點(diǎn)到直線l的距離恒大于b,所以直線l與bx-ay=0的距離恒大于或等于b,所以≥b,即3a2≥b2,∴≤3,∴e2=1+≤4,又∵e>1,∴1b>0),P為橢圓上與長(zhǎng)軸端點(diǎn)不重合的一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓的左,右焦點(diǎn),過(guò)F2作∠F1PF2外角平分線的垂線,垂足為Q,若|OQ|=2b,橢圓的離心率為e,則的最小值為( )
A. B.
C. D.1
解析:如圖所示,設(shè)∠F1PF2的外角平分線為PT,則F2Q⊥PT,延長(zhǎng)F2Q交F1P的延長(zhǎng)線于M.
∵PT為∠F2PM的平分線,且PQ⊥F2
5、M,
∴△F2PM為等腰三角形,且|PM|=|PF2|,
由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=2a,
∴|PM|+|PF1|=|F1M|=2a.
又∵O為F1F2的中點(diǎn),Q為F2M的中點(diǎn),
∴|OQ|=|F1M|,
∴|OQ|=a,又|OQ|=2b,
∴a=2b,∴e==.
∴==2b+≥2=,當(dāng)且僅當(dāng)2b=,即b=時(shí),取得等號(hào),故選C.
答案:C
二、解答題
5.如圖,設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0),動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且點(diǎn)P在第一象限.
(1)已知直線l的斜率為k,用a,b,k表示點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若過(guò)原點(diǎn)O的直線l1與l垂直,證明:點(diǎn)P到
6、直線l1的距離的最大值為a-b.
解:(1)設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k<0),由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.
由于l與C只有一個(gè)公共點(diǎn),故Δ=0,即b2-m2+a2k2=0,解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
又點(diǎn)P在第一象限,
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為
.
(2)由于直線l1過(guò)原點(diǎn)O且與l垂直,故直線l1的方程為x+ky=0,
所以點(diǎn)P到直線l1的距離
d=,
整理得d=.
因?yàn)閍2k2+≥2ab,
所以≤
=a-b,
當(dāng)且僅當(dāng)k2=時(shí)等號(hào)成立.
所以,點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a-b.
6.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,
7、點(diǎn)P(0,1)和點(diǎn)A(m,n)(m≠0)都在橢圓C上,直線PA交x軸于點(diǎn)M.
(1)求橢圓C的方程,并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m,n表示);
(2)設(shè)O為原點(diǎn),點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱,直線PB交x軸于點(diǎn)N.問(wèn):y軸上是否存在點(diǎn)Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
解:(1)由題意得
解得a2=2.
故橢圓C的方程為+y2=1.
設(shè)M(xM,0).
因?yàn)閙≠0,所以-1
8、得∠OQM=∠ONQ”等價(jià)于“存在點(diǎn)Q(0,yQ)使得=”,
即yQ滿足y=|xM||xN|.
因?yàn)閤M=,xN=,+n2=1,
所以y=|xM||xN|==2.
所以yQ=或yQ=-.
故在y軸上存在點(diǎn)Q,使得∠OQM=∠ONQ.
點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,)或(0,-).
7.(20xx豫北名校4月聯(lián)考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線2x-y+6=0相切.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn)A,B為動(dòng)直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn),問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)E,使得2+為定值?若存在,試求出點(diǎn)E的坐
9、標(biāo)和定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)由e=,即=,
得c=a,(*)
由已知得圓的方程為x2+y2=a2,
又圓與直線2x-y+6=0相切,
所以a==,
代入(*)式得c=2,
所以b2=a2-c2=2.
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)存在.由
得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=,
假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)E(m,0),
使得2+=(+)=為定值,
則=(x1-m,y1)(x2-m,y2)
=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+(4k2+m2)
=的值與k無(wú)關(guān),∴3m2-12m+10=3(m2-6),得m=.此時(shí),2+=m2-6=-,所以在x軸上存在定點(diǎn)E,使得2+為定值,且定值為-.