《《步步高學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)》2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2【配套備課資源】第二章23（二）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《步步高學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)》2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2【配套備課資源】第二章23（二）（5頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.3　數(shù)學(xué)歸納法(二) 一、基礎(chǔ)過關(guān) 1． 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ (n∈N*)，驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是 (　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 2． 用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2＋1對于n≥n0的自然數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取 (　　) A．2 B．3 C．5 D．6 3． 已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，證明不等式f(2n)>時(shí)，f(2k＋1)比f(2k)多的項(xiàng)數(shù)是 (　　) A．2k－1項(xiàng)

2、 B．2k＋1項(xiàng) C．2k項(xiàng) D．以上都不對 4． 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋>(n∈N*)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時(shí)，下列說法正確的是 (　　) A．增加了一項(xiàng) B．增加了兩項(xiàng)和 C．增加了B中的兩項(xiàng)，但又減少了一項(xiàng) D．增加了A中的一項(xiàng)，但又減少了一項(xiàng) 5． 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an (n∈N*)．依次計(jì)算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表達(dá)式為________________． 二、能力提升 6． 用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”

3、，要利用歸納假設(shè)證n＝k＋1時(shí)的情況，只需展開 (　　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 7． k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)個(gè)對角面，則(k＋1)棱柱的對角面?zhèn)€數(shù)f(k＋1)為 (　　) A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1 C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2 8． 對于不等式≤n＋1 (n∈N*)，某學(xué)生的證明過程如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，≤1＋1，不等式成立． ②假設(shè)n＝k (n∈N*)時(shí)，不等式成立，即≤k＋1，則n＝k＋1時(shí)，＝<＝＝(k＋1)＋

4、1，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，上述證法 (　　) A．過程全部正確 B．n＝1驗(yàn)證不正確 C．歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確 9． 用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋>－.假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立．則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是____________________________________________． 10．證明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)． 11．求證：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)． 12．已知數(shù)列{an}中，a1＝－，其前n項(xiàng)和Sn滿足an＝Sn＋＋2(n≥2)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表

5、達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明． 三、探究與拓展 13．試比較2n＋2與n2的大小(n∈N*)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論． 答案 1．D　2．C　3．C　4．C　 5．Sn＝ 6．A　7．A　8．D　 9.＋＋…＋＋＋>－ 10．證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，62－1＋1＝7能被7整除． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，62k－1＋1能被7整除． 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1 ＝36(62k－1＋1)－35. ∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，62(k＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命題成

6、立． 11．證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝＋＋＋>，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)命題成立， 即＋＋…＋>. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(＋＋－)>＋(＋＋－)>＋(3－)＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立． 由(1)和(2)可知，原不等式對一切n≥2，n∈N*均成立． 12．解　當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2. ∴Sn＝－(n≥2)． 則有：S1＝a1＝－， S2＝－＝－， S3＝－＝－， S4＝－＝－， 由此猜想：Sn＝－(n∈N*)． 用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝－＝a1， 猜想

7、成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N*)猜想成立， 即Sk＝－成立， 那么n＝k＋1時(shí)， Sk＋1＝－＝－ ＝－＝－. 即n＝k＋1時(shí)猜想成立． 由(1)(2)可知，對任意正整數(shù)n， 猜想結(jié)論均成立． 13．證明　當(dāng)n＝1時(shí)，21＋2＝4>n2＝1， 當(dāng)n＝2時(shí)，22＋2＝6>n2＝4， 當(dāng)n＝3時(shí)，23＋2＝10>n2＝9， 由n＝4時(shí)，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝21＋2＝4，右邊＝1， 所以左邊>右邊，所以原不等式成立． 當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4， 所以左邊>右邊； 當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9， 所以左邊>右邊． (2)假設(shè)n＝k(k≥3且k∈N*)時(shí)， 不等式成立， 即2k＋2>k2. 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 2k＋1＋2＝22k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2. 又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0， 即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立． 根據(jù)(1)和(2)，原不等式對于任何n∈N*都成立．