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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 學(xué)案26　平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件． 自主梳理 1．平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)________向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，__________一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝______________. 我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組

2、________． 2．夾角 （1）已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的________． (2)向量夾角θ的范圍是________，a與b同向時(shí)，夾角θ＝____；a與b反向時(shí)，夾角θ＝____. (3)如果向量a與b的夾角是________，我們說(shuō)a與b垂直，記作________． 3．把一個(gè)向量分解為兩個(gè)____________的向量，叫做把向量正交分解． 4．在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使a＝xi＋yj，我們把有序數(shù)對(duì)______叫做向量a的__

3、______，記作a＝________，其中x叫a在________上的坐標(biāo)，y叫a在________上的坐標(biāo)． 5．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和實(shí)數(shù)λ，那么a＋b＝________________________，a－b＝________________________，λa＝________________. （2）已知A（），B（），則＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的__________的坐標(biāo)減去__________的坐標(biāo)． 6．若a＝(x1，y1)，b＝(x

4、2，y2) (b≠0)，則a∥b的充要條件是________________________． 7．(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______________________________． (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，則△P1P2P3的重心P的坐標(biāo)為_(kāi)______________． 自我檢測(cè) 1．(20xx福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，則“x＝4”是“|a|＝5”的 (　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．

5、既不充分又不必要條件 2．設(shè)a＝，b＝，且a∥b，則銳角α為 (　　) A．30 B．45 C．60 D．75 3.（20xx馬鞍山模擬）已知向量a=(6，-4)，b（0，2），＝c＝a＋λb，若C點(diǎn)在函數(shù)y＝sin x的圖象上，則實(shí)數(shù)λ等于 (　　) A. B. C．－ D．－ 4．(20xx陜西)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，

6、c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，則m＝________. 5.（2009安徽）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng)，若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是______. 探究點(diǎn)一　平面向量基本定理的應(yīng)用 例1 如圖所示，在△OAB中，＝，＝，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)＝a，＝b，以a、b為基底表示. 變式遷移1 （20xx廈門(mén)模擬）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、、，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ、μ∈R)，則λ＋μ

7、的值為_(kāi)_______． 探究點(diǎn)二　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例2 已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4），且＝3，＝2，試求點(diǎn)M，N和的坐標(biāo)． 變式遷移2 已知點(diǎn)A（1，-2），若向量|與a＝(2,3)同向，||＝2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 探究點(diǎn)三　在向量平行下求參數(shù)問(wèn)題 例3　(20xx嘉興模擬)已知平面內(nèi)三個(gè)向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m、n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k. 變式遷移3　(2009江西)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)

8、，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k＝________. 1．在解決具體問(wèn)題時(shí)，合理地選擇基底會(huì)給解題帶來(lái)方便．在解有關(guān)三角形的問(wèn)題時(shí)，可以不去特意選擇兩個(gè)基本向量，而可以用三邊所在的三個(gè)向量，最后可以根據(jù)需要任意留下兩個(gè)即可，這樣思考問(wèn)題要簡(jiǎn)單得多． 2.平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量＝a，點(diǎn)A的位置被a所唯一確定，此時(shí)a的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)都是(x，y)．向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即向量(x，y)向量點(diǎn)A(x，y)．要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)分開(kāi)，相等的向量坐標(biāo)是相同的，但起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同，也不能認(rèn)為向量的坐標(biāo)是終點(diǎn)的坐標(biāo)，如A(1,2)，

9、B(3,4)，則＝(2,2)． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1.已知a,b是不共線的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b， (λ1，λ2∈R)，則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為 (　　) A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1 C．λ1λ2－1＝0 D．λ1λ2＋1＝0 2.如圖所示，平面內(nèi)的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個(gè)部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括邊界）.若＝a＋b，且點(diǎn)P落在第Ⅲ部分，則實(shí)數(shù)a，b滿足

10、 (　　) A．a(chǎn)>0，b>0 B．a(chǎn)>0，b<0 C．a(chǎn)<0，b>0 D．a(chǎn)<0，b<0 3．(20xx湛江月考)設(shè)兩個(gè)向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中λ、m、α為實(shí)數(shù)．若a＝2b，則的取值范圍是 (　　) A．[－6,1] B．[4,8] C．(－∞，1] D．[－1,6] 4.設(shè)0≤θ≤2π時(shí)，已知兩個(gè)向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，則向量長(zhǎng)度的最大值是

11、 (　　) A. B. C．3 D．2 5.在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則等于(　　) A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3,5) D．(2,4) 題號(hào) 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6.（20xx煙臺(tái)模擬）如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若＝m，＝n，則m＋n的值為_(kāi)_____． 7

12、．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8，6)，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 8.(2009天津)在四邊形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_______． 三、解答題(共38分) 9.（12分）已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且＝，＝.求證：∥. 10．(12分)(20xx宣城模擬)在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，已知向量m＝(a，b)，向量n＝(cos A，cos B)，向量p＝(2sin，2sin A)，若m

13、∥n，p2＝9，求證：△ABC為等邊三角形． 11.（14分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，若＝m，＝n，m，n∈(0,1)．設(shè)EF的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N. (1)若A，M，N三點(diǎn)共線，求證：m＝n； （2）若m+n=1,求的最小值． 答案 自主梳理 1．不共線　有且只有　λ1e1＋λ2e2　基底　2.(1)夾角 (2)[0，π]　0　π　(3)　a⊥b　 3.互相垂直　4.(x，y)　坐標(biāo)　(x，y)　x軸　y軸　5.(1)(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx1，λy1)　(2)

14、終點(diǎn)　始點(diǎn) 6．x1y2－x2y1＝0　7.(1) (2) 自我檢測(cè) 1．A　[由x＝4知|a|＝＝5；由|a|＝＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要條件．] 2．B　[∵a∥b，∴－sin αcos α＝0， ∴sin 2α＝1,2α＝90，α＝45.] 3．A　[c＝a＋λb＝(6，－4＋2λ)，代入y＝sin x得， －4＋2λ＝sin ＝1，解得λ＝.] 4．－1 解析　a＋b＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c， 得12－(m－1)(－1)＝0，所以m＝－1. 5．2 解析　建立如圖所示的坐標(biāo)系， 則A(1,0)，B(co

15、s 120，sin 120)， 即B(－，)． 設(shè)＝,則＝ (cos α，sin α)． ∵＝x＋y ＝(x,0)＋＝(cos α，sin α)． ∴　∴ ∴x＋y＝sin α＋cos α＝2sin(α＋30)． ∵0≤α≤120，∴30≤α＋30≤150. ∴x＋y有最大值2，當(dāng)α＝60時(shí)取最大值． 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引 本題利用方程的思想，設(shè)=ma+nb，通過(guò)建立關(guān)于m、n的方程求解，同時(shí)注意體會(huì)應(yīng)用向量法解決平面幾何問(wèn)題的方法. 解 設(shè)＝ma＋nb (m，n∈R)， 則＝－＝(m－1)a＋nb， ＝－＝b－a＝－a＋b. 因?yàn)锳，M，D三點(diǎn)共線，所

16、以＝，即m＋2n＝1. 而＝－＝a＋nb， ＝－＝b－a＝－a＋b， 因?yàn)镃，M，B三點(diǎn)共線，所以＝， 即4m＋n＝1.由　解得 所以＝a＋b. 變式遷移1　6 解析 如右圖，＝＋ ＝λ＋μ 在△OCD中，∠COD＝30，∠OCD＝∠COB＝90， 可求||＝4，同理可求||＝2， ∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6. 例2　解　∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， ∴＝(1,8)，＝(6,3)． ∴＝3＝(3,24)， ＝2＝(12,6)． 設(shè)M（x，y），則＝(x＋3，y＋4)＝(3,24)， ∴　∴　∴M(

17、0,20)． 同理可得N（9，2），因此=（9，－18）. ∴所求M（0，20），N（9，2），＝(9，－18)． 變式遷移2　(5,4) 解析　∵向量與a同向， ∴設(shè)＝(2t,3t) (t>0)． 由||＝2，∴4t2＋9t2＝413.∴t2＝4. ∵t>0，∴t＝2.∴＝(4,6)． 設(shè)B為(x，y)，∴　∴ 例3　解　(1)∵a＝mb＋nc，m，n∈R， ∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)． ∴　解之得 (2)∵(a＋kc)∥(2b－a)， 且a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∴(3＋4k)2－(－5

18、)(2＋k)＝0， ∴k＝－. 變式遷移3　5 解析　∵a－c＝(3,1)－(k,7)＝(3－k，－6)， 且(a－c)∥b，∴＝，∴k＝5. 課后練習(xí)區(qū) 1．C　[∵A、B、C三點(diǎn)共線?與共線?＝k?∴λ1λ2－1＝0.] 2.B [由于點(diǎn)P落在第Ⅲ部分，且＝a＋b，則根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義及平行四邊形法則知a>0，b<0.] 3．A　[∵2b＝(2m，m＋2sin α)，∴λ＋2＝2m， λ2－cos2α＝m＋2sin α，∴(2m－2)2－m＝cos2α＋2sin α， 即4m2－9m＋4＝1－sin2α＋2sin α. 又∵－2≤1－sin2α＋2sin α≤

19、2， ∴－2≤4m2－9m＋4≤2，解得≤m≤2， ∴≤≤4.又∵λ＝2m－2， ∴＝2－，∴－6≤2－≤1.] 6．2 解析　方法一　若M與B重合，N與C重合， 則m＋n＝2. 方法二 ∵2＝＋＝m＋n， ＝＝. ∵O、M、N共線，∴＋＝1. ∴m＋n＝2. 7．(0，－2) 解析　設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)， 由題意知＝， 即(2，－2)＝(x＋2，y)，所以x＝0，y＝－2，∴D(0，－2)． 8. S＝||＝||sin 60＝＝. 9．證明　設(shè)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則依題意，得＝(2,2)，＝(－2,3)

20、，＝(4，－1)． ∴＝＝， ＝＝. ∴＝(x1，y1)－(－1,0)＝， ＝(x2，y2)－(3，－1)＝.…………………………………………………(4分) ∴(x1，y1)＝＋(－1,0) ＝， (x2，y2)＝＋(3，－1)＝. ∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝.…………………………………………………(8分) 又∵＝(4，－1)，∴4－(－1)＝0， ∴∥.……………………………………………………………………………(12分) 10．證明　∵m∥n，∴acos B＝bcos A. 由正弦定理，得sin Acos B＝sin Bcos A， 即sin(A－B)＝0

21、. ∵A、B為三角形的內(nèi)角， ∴－π