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1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料高中數(shù)學(xué) 3.4.1 基本不等式 （一） 練習(xí) 新人教 A 版必修 5基礎(chǔ)梳理1兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a,b是任意兩個正數(shù),稱ab2為a,b的_；稱ab為a,b的_1 和 9 的算術(shù)平均數(shù)是_,而 1 和 9 的幾何平均數(shù)是_2重要不等式：設(shè)a,bR,a2b22ab(ab)20,_當(dāng)且僅當(dāng)_時,等號成立3基本不等式：設(shè)a,b是任意兩個正數(shù),那么abab2.當(dāng) 且 僅 當(dāng) _ 時 , 等 號 成 立 基 本 不 等 式 可 敘 述 為 ： 兩 個 正 數(shù) 的_如果把ab2看做是正數(shù)a,b的等差中項,ab看做是正數(shù)a,b的等比中項,那么基本不等式也可以敘述

2、為：兩個正數(shù)的_4基本不等式abab2的幾何意義是：_5已知x,y都是正數(shù),(1)如果積xy是定值P,那么當(dāng)xy時,和_有最小值_；(2)如果和xy是定值S,那么當(dāng)xy時,積_有最大值_(3)已知x,y都是正數(shù),如果xy15,則xy的最小值是_；如果xy15,則xy的最大值是_6求函數(shù)最值的兩個基本步驟：(1)證ym(m是與自變量無關(guān)的常數(shù))或yM(M是與自變量無關(guān)的常數(shù))；(2)證存在定義域中的x0,使f(x0)m或f(x0)M.有了這兩步就可以下結(jié)論：yf(x)的最小值是m或yf(x)的最大值是M.基礎(chǔ)梳理1算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)532a2b22abab3ab算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)

3、等差中項不小于它們的等比中項4半徑不小于半弦5解析：x,yR,xy2xy.(1)當(dāng)xyP(定值)時,xy2P,xy2P,當(dāng)且僅當(dāng)xy時,上式取“”,當(dāng)xy時,(xy)min2P.(2)當(dāng)xyS(定值)時,xyS2xy14S2,當(dāng)且僅當(dāng)xy時,上式取“”,當(dāng)xy時,(xy)max14S2.(3)因為x,y都是正數(shù),且xy15,由基本不等式得xy2xy2 15,當(dāng)且僅當(dāng)xy 15時,取等號因為x,y都是正數(shù),且xy15,由基本不等式得xyxy2215222254,當(dāng)且僅當(dāng)xy7.5 時,取等號答案：(1)xy2P(2)xy14S2(3)2 152254自測自評1下列函數(shù)中,能取到最小值 2 的是(

4、)Ayx1x(x0,b0,ab4,則下列不等式中正確的是()A.1a1b1B.1a1b1C.ab2D.1ab14解析：a0,b0,2abab4,即ab2.1ab14.C、D 不正確又1a1babab4ab1,A 正確,B 不正確故選 A.答案：A5(2014上海卷)若實數(shù)x,y滿足xy1,則x22y2的最小值為_5解析：x22y22x22y22 2 （xy）22 2,當(dāng)且僅當(dāng)x22y2時等號成立答案：2 26已知a,b,c都是正數(shù),求證：(ab)(bc)(ca)8abc.6證明：a,b,c都是正數(shù),ab2ab0,bc2bc0,ca2ac0,(ab)(bc)(ca)2ab2bc2ac8abc,即

5、(ab)(bc)(ca)8abc,當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立鞏固提高7已知x、y0 且xy1,則px1xy1y的最小值為()A3B4C5D67解析：此題很容易出錯,認為x1x2,y1y2,p4,錯選 B,錯誤的原因是x、y不能同時取到 1.正確解法：xxyxyxyy3yxxy325.答案：C8設(shè)a、b是實數(shù),且ab3,則 2a2b的最小值是()A6B4 2C2 6D88解析：2a2b2 2a2b2 2ab2 234 2,等號成立,當(dāng)且僅當(dāng) 2a2b.即ab32,故選 B.答案：B9已知函數(shù)f(x)x1x.(1)已知x0,求函數(shù)f(x)的最小值；(2)已知x0,x1x2x1x2,當(dāng)且僅當(dāng)x1x,即

6、x1 時等號成立 f(x)最小值為 2.(2)x0.f(x)（x）1x2（x）1x2,當(dāng)且僅當(dāng)x1x,即x1 時等號成立f(x)的最大值為2.(3)設(shè) 2x1x24,則f(x1)f(x2)x11x1x21x2（x1x2） （x1x21）x1x2.2x1x24,x1x20,x1x20.f(x1)f(x2)0,即f(x1)1)的最小值10解析：x1,x10.yx27x10 x1（x1）25（x1）4x1(x1)4x152（x1）4x159.當(dāng)且僅當(dāng)x14x1,即x1 時,等號成立當(dāng)x1 時,函數(shù)yx27x10 x1(x1)取得最小值為1基本不等式的左式為和結(jié)構(gòu),右式為積的形式,該不等式表明兩正數(shù)a,b的和與兩正數(shù)a,b的積之間的大小關(guān)系,運用該不等式可作和與積之間的不等變換2 “當(dāng)且僅當(dāng)ab時,等號成立”的含義(1)當(dāng)ab時等號成立的含意是：abab2ab；(2)僅當(dāng)ab時等號成立的含意是：ab2abab.綜合起來,其含意是：ab2abab.3設(shè)a,bR,不等式a2b22ababa2b22abab22.4基本不等式的幾種變式：設(shè)a0,b0,則a1a2,baab2,a2b2ab.