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1、
第八章第7課時 雙曲線 課時闖關(含解析)
一、選擇題
1.若橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,則雙曲線-=1的漸近線方程為( )
A.y=±x B.y=±2x
C.y=±4x D.y=±x
解析:選A.由題意=,所以a2=4b2.
故雙曲線的方程可化為-=1,
故其漸近線方程為y=±x.
2.(2012·保定質檢)已知M(-2,0)、N(2,0),|PM|-|PN|=3,則動點P的軌跡是( )
A.雙曲線 B.雙曲線左邊一支
C.雙曲線右邊一支 D.一條射線
解析:選C
2、.∵|PM|-|PN|=3<4,由雙曲線定義知,其軌跡為雙曲線的一支,又∵|PM|>|PN|,
∴點P的軌跡為雙曲線的右支.
3.已知點F1(-,0),F2(,0),動點P滿足|PF2|-|PF1|=2,當點P的縱坐標是時,點P到坐標原點的距離是( )
A. B.
C. D.2
解析:選A.由已知可知c=,a=1,∴b=1,
∴雙曲線方程為x2-y2=1(x≤-1).
將y=代入可求P的橫坐標為x=-.
∴點P到原點的距離為 =.
4.已知雙曲線-=1(a>0,b>0),F1是左焦點,O是坐標原點,若雙曲線上存在點P,使|PO|=|PF1|,
3、則此雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A.(1,2] B.(1,+∞)
C.(1,3) D.[2,+∞)
解析:選D.由|PO|=|PF1|得點P的橫坐標x1=-,因為P在雙曲線的左支上,所以-≤-a,即e=≥2.故選D.
5.(2011·高考課標全國卷)設直線l過雙曲線C的一個焦點,且與C的一條對稱軸垂直,l與C交于A,B兩點,|AB|為C的實軸長的2倍,則C的離心率為( )
A. B.
C.2 D.3
解析:選B.設雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0),由于直線l過雙曲線的焦點且與對稱軸垂直,因此直線l的方程為l:x=c或x=-
4、c,代入-=1得y2=b2=,∴y=±,故|AB|=,依題意=4a,∴=2,∴=e2-1=2,∴e=.
二、填空題
6.與橢圓+=1有相同的焦點,且以y=±x為漸近線的雙曲線方程為________.
解析:雙曲線焦點在x軸上,且半焦距c==5.
又=,a2+b2=c2,
∴a=3,b=4,所求雙曲線方程為-=1.
答案:-=1
7.(2012·武漢調研)與橢圓+y2=1共焦點且過點P(2,1)的雙曲線方程為________.
解析:設雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),
∴a2+b2=4-1=3,
又-=1,解得a2=2,b2=1
5、,
∴雙曲線的方程為-y2=1.
答案:-y2=1
8.設F1、F2分別是雙曲線x2-=1的左、右焦點,若點P在雙曲線上,且·=0,則|+|=________.
解析:因為F1、F2分別是雙曲線x2-=1的左、右焦點,所以F1(-,0),F2(,0).由題意知|+|=2||=|F1F2|=2.
答案:2
三、解答題
9.已知橢圓D:+=1與圓M:x2+(y-5)2=9,雙曲線G與橢圓D有相同焦點,它的兩條漸近線恰好與圓M相切,求雙曲線G的方程.
解:橢圓D的兩個焦點為F1(-5,0),F2(5,0),因而雙曲線中心在原點,焦點在x軸上,且c=5.
設雙曲線G的方程為
6、-=1(a>0,b>0),
∴漸近線方程為bx±ay=0且a2+b2=25,
又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r=3.
∴=3,得a=3,b=4,
∴雙曲線G的方程為-=1.
10.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,且=.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點在圓x2+y2=5上,求m的值.
解:(1)由題意,得解得a=1,c=,
∴b2=c2-a2=2,
∴所求雙曲線C的方程為x2-=1.
(2)設A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),
線段A
7、B的中點為M(x0,y0),
由得x2-2mx-m2-2=0(判別式Δ>0),
∴x0==m,
y0=x0+m=2m,
∵點M(x0,y0)在圓x2+y2=5上,
∴m2+(2m)2=5,∴m=±1.
11.已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F2在坐標軸上,離心率為,且點(4,-)在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:點M在以F1F2為直徑的圓上;
(3)求△F1MF2的面積.
解:(1)∵離心率e=,∴雙曲線為等軸雙曲線,
可設其方程為x2-y2=λ(λ≠0).
∵點(4,-)在雙曲線上,
∴λ=42-(-)2=6.
∴所求雙曲線方程為x2-y2=6.
(2)證明:若點M(3,m)在雙曲線上,則32-m2=6,
∴m2=3.
由雙曲線x2-y2=6知焦點F1(-2,0),F2(2,0),
∴·=(-2-3,-m)·(2-3,-m)=9-(2)2+m2=0,即⊥,故點M在以F1F2 為直徑的圓上.
(3)S△F1MF2=×|F1F2|×|m|=2×=6.
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