《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第八章 :第六節(jié)雙曲線(xiàn)突破熱點(diǎn)題型》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第八章 :第六節(jié)雙曲線(xiàn)突破熱點(diǎn)題型(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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第六節(jié) 雙 曲 線(xiàn)
考點(diǎn)一
雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程
[例1] (1)(2013·天津高考)已知拋物線(xiàn)y2=8x的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn), 且雙曲線(xiàn)的離心率為2,則該雙曲線(xiàn)的方程為_(kāi)_____________.
(2)(2013·遼寧高考)已知F為雙曲線(xiàn)C:-=1的左焦點(diǎn),P,Q為C上的點(diǎn).若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍,點(diǎn)A(5,0)在線(xiàn)段PQ上,則△PQF的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.
[自主解答] (1)由拋物線(xiàn)y2=8x可知其準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-2,
所以雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為
2、(-2,0),即c=2;[來(lái)源:]
又因?yàn)殡x心率為2,所以e==2,故a=1,
由a2+b2=c2知b2=3,
所以該雙曲線(xiàn)的方程為x2-=1.
(2)由-=1,得a=3,b=4,c=5,
所以|PQ|=4b=16>2a,
又因?yàn)锳(5,0)在線(xiàn)段PQ上,
所以P,Q在雙曲線(xiàn)的一支上,且PQ所在直線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn),由雙曲線(xiàn)定義知:
所以|PF|+|QF|=28.
即△PQF的周長(zhǎng)是|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.
[答案] (1)x2-=1 (2)44
【互動(dòng)探究】
本例(2)中“若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍”改為“若PQ的長(zhǎng)等于實(shí)軸長(zhǎng)的2倍”
3、,則結(jié)果如何?
解:依題意知|PQ|=4a=12>2a.
又∵A(5,0)在線(xiàn)段PQ上,
∴PQ在雙曲線(xiàn)的一支上.
同樣|PF|-|PA|=2a=6,|QF|-|QA|=2a=6.
∴|PF|+|QF|=24.
∴△PQF的周長(zhǎng)是|PF|+|QF|+|PQ|=24+12=36.
【方法規(guī)律】
雙曲線(xiàn)定義運(yùn)用中的兩個(gè)注意點(diǎn)
(1)在解決與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)有關(guān)的距離問(wèn)題時(shí),通??紤]利用雙曲線(xiàn)的定義;
(2)在運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義解題時(shí),應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”,弄清楚是指整條雙曲線(xiàn)還是雙曲線(xiàn)的一支.
1.已知F1,F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)C:x2-y2=2的左、右
4、焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2=( )
A. B. C. D.
解析:選C ∵由雙曲線(xiàn)的定義有
|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,
∴|PF1|=2|PF2|=4,
則cos∠F1PF2=
==.
2.已知△ABP的頂點(diǎn)A,B分別為雙曲線(xiàn)-=1的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上,則的值等于( )
A. B. C. D.
解析:選A 在△ABP中,由正弦定理知
====.
[來(lái)源:]
考點(diǎn)二
直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的綜合
[例2] (
5、2013·全國(guó)高考)已知雙曲線(xiàn)C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為3,直線(xiàn)y=2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為.
(1)求a,b;
(2)設(shè)過(guò)F2的直線(xiàn)l與C的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),且|AF1|=|BF1|,證明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列.
[自主解答] (1)由題設(shè)知=3,即=9,
故b2=8a2.
所以C的方程為8x2-y2=8a2.
將y=2代入上式,解得x=± .
由題設(shè)知,2 =,解得a2=1.
所以a=1,b=2.
(2)證明:由(1)知,F(xiàn)1(-3,0),F(xiàn)2(3,0),C的方程為
6、8x2-y2=8.①
由題意可設(shè)l的方程為y=k(x-3),|k|<2,代入①并化簡(jiǎn),得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
x1≤-1,x2≥1,x1+x2=,x1x2=.
于是|AF1|===-(3x1+1),
|BF1|===3x2+1.
由|AF1|=|BF1|,得-(3x1+1)=3x2+1,
即x1+x2=-.
故=-,解得k2=,從而x1x2=-.
由于|AF2|===1-3x1,
|BF2|===3x2-1,
故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,[來(lái)源:]
|AF2|
7、83;|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.
從而|AF2|·|BF2|=|AB|2,
所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列.
【方法規(guī)律】
求解雙曲線(xiàn)綜合問(wèn)題的主要方法
雙曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題主要為直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系.解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法是設(shè)出直線(xiàn)方程或雙曲線(xiàn)方程,然后把直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立成方程組,消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題.設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),直線(xiàn)的斜率為k,則|AB|=|x1-x2|.
過(guò)雙曲線(xiàn)-=1的右焦點(diǎn)F2,傾斜角為30°的直
8、線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)1為左焦點(diǎn).
(1)求|AB|;
(2)求△AOB的面積.
解:(1)由雙曲線(xiàn)的方程,得a=,b=,
∴c==3,F(xiàn)1(-3,0),F(xiàn)2(3,0).
直線(xiàn)AB的方程為y=(x-3).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由得5x2+6x-27=0.
∴x1+x2=-,x1x2=-.
∴|AB|=|x1-x2|
= ·
= ·=.
(2)直線(xiàn)AB的方程變形為x-3y-3=0.
∴原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為d==.
∴S△AOB=|AB|·d=××=.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)三
9、 雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)及應(yīng)用
1.雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)及應(yīng)用,是高考命題的熱點(diǎn),多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn),試題難度不大,多為容易題或中檔題.
2.高考對(duì)雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的考查主要有以下幾個(gè)命題角度:
(1)求雙曲線(xiàn)的離心率(或范圍);
(2)求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程;
(3)求雙曲線(xiàn)方程;
(4)求雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)(距)、實(shí)虛軸長(zhǎng).
[例3] (1)(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知雙曲線(xiàn)C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則C的漸近線(xiàn)方程為 ( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x
10、 D.y=±x
(2)(2013·浙江高考)如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓C1:+y2=1與雙曲線(xiàn)C2的公共焦點(diǎn),A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是( )
A. B. C. D.
[自主解答] (1)== ,
所以=,
故所求的雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程是y=±x.
(2)設(shè)雙曲線(xiàn)C2的實(shí)半軸長(zhǎng)為a,焦半距為c,|AF1|=m,|AF2|=n,
由題意知c=,
2mn=(m+n)2-(m2+n2)=4,
(m-n)2=m2+n2-2mn=8,2
11、a=|m-n|=2,a=,
則雙曲線(xiàn)C2的離心率e===.
[答案] (1)C (2)D
與雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略
(1)求雙曲線(xiàn)的離心率(或范圍).依據(jù)題設(shè)條件,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的等式(或不等式),解方程(或不等式)即可求得.
(2)求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.依據(jù)題設(shè)條件,求雙曲線(xiàn)中a,b的值或a與b的比值,進(jìn)而得出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.
(3)求雙曲線(xiàn)方程.依據(jù)題設(shè)條件,求出a,b的值或依據(jù)雙曲線(xiàn)的定義,求雙曲線(xiàn)的方程.
(4)求雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)(焦距)、實(shí)虛軸的長(zhǎng).依題設(shè)條件及a,b,c之間的關(guān)系求解.
1.(2013·湖北高考)已知0&l
12、t;θ<,則雙曲線(xiàn)C1:-=1與C2:-=1的( )
A.實(shí)軸長(zhǎng)相等 B.虛軸長(zhǎng)相等
C.離心率相等 D.焦距相等
解析:選D ∵0<θ<,∴sin θ<cos θ.
由雙曲線(xiàn)C1:-=1知實(shí)軸長(zhǎng)為2sin θ,虛軸長(zhǎng)為2cos θ,焦距為2,離心率為.
由雙曲線(xiàn)C2:-=1知實(shí)軸長(zhǎng)為2cos θ,虛軸長(zhǎng)為2sin θ,焦距為2,離心率為.
2.(2013·廣東高考)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為F(3,0),離心率等于,則C的方程是( )
A.-=1 B.-=1
13、C.-=1 D.-=1
解析:選B 依題意c=3,
又∵e==,∴a=2,
∴b2= c2-a2= 32-22=5,
∴C的方程為-=1.
3.(2013·湖南高考)設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C:-=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn).若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°,則C的離心率為_(kāi)_______.
解析:不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C的右支上且F1,F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn),由雙曲線(xiàn)定義知
|PF1|-|PF2|=2a,①
又|PF1|+|PF2|=6a,②[來(lái)源:]
由①②,得|PF1|
14、=4a,|PF2|=2a.
因?yàn)閏>a,所以2c>2a,
所以在△PF1F2中,∠PF1F2為最小內(nèi)角,
因此∠PF1F2=30°.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos 30°,
即4a2=16a2+4c2-8ac.
所以c2-2ac+3a2=0,
兩邊同除以a2得e2-2e+3=0.
解得e=.
答案:
——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個(gè)規(guī)律——等軸雙曲線(xiàn)的離心率及漸近線(xiàn)的關(guān)系
雙曲線(xiàn)
15、為等軸雙曲線(xiàn)?雙曲線(xiàn)的離心率e=?雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)互相垂直(位置關(guān)系).
2種方法——求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法
(1)定義法,根據(jù)題目的條件,若滿(mǎn)足定義,求出相應(yīng)的a,b的值即可求得方程.
(2)待定系數(shù)法
①定值:根據(jù)條件確定相關(guān)參數(shù)
②待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)方程的常用方法
3個(gè)關(guān)注點(diǎn)——雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的關(guān)注點(diǎn)
雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可從以下三點(diǎn)關(guān)注:
(1)“六點(diǎn)”:兩焦點(diǎn)、兩頂點(diǎn)、兩虛軸端點(diǎn);
(2)“四線(xiàn)”:兩對(duì)稱(chēng)軸(實(shí)、虛軸)、兩漸近線(xiàn);
(3)“兩形”:中心、頂點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形;雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)(不包括頂點(diǎn))與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形.
3個(gè)防范——雙曲線(xiàn)問(wèn)題的三個(gè)易混點(diǎn)
(1)區(qū)分雙曲線(xiàn)中的a,b,c大小關(guān)系與橢圓中a,b,c大小關(guān)系,在雙曲線(xiàn)中c2=a2+b2,而在橢圓中a2=b2+c2.
(2)雙曲線(xiàn)的離心率e∈(1,+∞),而橢圓的離心率e∈(0,1).[來(lái)源:]
(3)雙曲線(xiàn)-=1(a>0,b>0)的漸近線(xiàn)方程是y=±x,-=1(a>0,b>0)的漸近線(xiàn)方程是y=±x.
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