《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第三章 :第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式突破熱點(diǎn)題型》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第三章 :第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式突破熱點(diǎn)題型(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式
考點(diǎn)一
同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用
[例1] 已知α是三角形的內(nèi)角,且sin α+cos α=.
(1)求tan α的值;
(2)把用tan α表示出來(lái),并求其值.
[自主解答] (1)法一:
聯(lián)立方程
由①得cos α=-sin α,
將其代入②,整理得
25sin2α-5sin α-12=0.
∵α是三角形內(nèi)角,
∴∴tan α=-.
法二:∵sin α+cos α=,
∴(sin α+cos α)2=2,即1+2sin αcos α=,
∴2sin α
2、cos α=-,
∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+=.
∵sin αcos α=-<0且0<α<π,
∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0.
∴sin α-cos α=.
由得
∴tan α=-.
(2)===.
∵tan α=-,
∴===-.
【互動(dòng)探究】
保持本例條件不變,求:(1);
(2)sin2α+2sin αcos α的值.
解:由例題可知tan α=-.
(1)===.
(2)sin2α+2sin αcos α==
==-.
【方法規(guī)律】
3、
同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧
(1)利用sin2α+cos2α=1可以實(shí)現(xiàn)角α正弦、余弦的互化,利用=tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.
(2)注意公式逆用及變形應(yīng)用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
1.已知=5,則sin2α-sin αcos α的值是( )
A. B.- C.-2 D.2
解析:選A 由=5,得=5,即tan α=2.
所以sin2α-sin αcos α===.[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)][來(lái)源:]
2.(2014·杭州模擬)已知α∈,tan α=2,
4、則cos α=________.
解析:依題意得
由此解得cos2α=,又α∈,因此cos α=-.
答案:-
考點(diǎn)二
誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
[例2] (1)(2014·長(zhǎng)沙模擬)若cos=-,則sin=( )
A. B.- C. D.-
(2)已知α為第三象限角,
f(α)=,
①化簡(jiǎn)f(α);
②若cos=,求f(α)的值.
[自主解答] (1)∵-=,即α-=-,
∴sin=sin=-sin
=-cos=.
(2)①f(α)==
=-cos α.
②∵cos=,∴-sin α=,從而sin
5、α=-.
又α為第三象限角,∴cos α=-=-,
∴f(α)=.
[答案] (1)A
【互動(dòng)探究】
在本例(1)的條件下,求cos的值.
解:∵+=π,即-α=π-,
∴cos=cos=-cos=.
【方法規(guī)律】
利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的思路和要求
(1)思路方法:①分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇恰當(dāng)公式;②利用公式化成單角三角函數(shù);③整理得最簡(jiǎn)形式.
(2)化簡(jiǎn)要求:①化簡(jiǎn)過(guò)程是恒等變形;②結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單,能求值的要求出值.
已知π<α<2π,cos(α-7π)=-,求sin(3π+α)·tan的值.
解:∵
6、cos(α-7π)=cos(7π-α)=cos(π-α)=-cos α=-,∴cos α=.
∴sin(3π+α)·tan
=sin(π+α)·
=sin α·tan=sin α·
=sin α·=cos α=.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)三 兩類(lèi)公式在化簡(jiǎn)與求值中的應(yīng)用
1.高考單獨(dú)考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的題目多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),難度偏小,屬中低檔題.
2.高考對(duì)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式在化簡(jiǎn)與求值中的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)命題角度:
(1)知弦求弦;(2)知弦求切;(3)知切求弦.
[
7、例3] (1)(2013·廣東高考)已知sin=,那么cos α=( )
A.- B.- C. D.
(2)(2012·遼寧高考)已知sin α-cos α=,α∈(0,π),則tan α=( )
A.-1 B.- C. D.1
(3)(2011·福建高考)若tan α=3,則的值等于( )[來(lái)源:]
A.2 B.3 C.4 D.6
(4)(2013·重慶高考)4cos 50°-tan 40°=
8、( )
A. B. C. D.2-1
[自主解答] (1)sin=sin=sin=cos α=.
(2)∵sin α-cos α=,∴sin=,
∴sin=1.[來(lái)源:]
又∵0<α<π,∴α-=,α=,tan α=-1.
(3)===2tan α.
又tan α=3,故=2tan α=2×3=6.
(4)4cos 50°-tan 40°=4sin 40°-=
==
==
==
=·=.
[答案] (1)C (2)A (3)D (4)C
化簡(jiǎn)求值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略
9、
(1)知弦求弦.利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系sin2α+cos2α=1求解.
(2)知弦求切.常通過(guò)平方關(guān)系,對(duì)稱(chēng)式sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α之間可建立聯(lián)系,注意tan α=的靈活應(yīng)用.
(3)知切求弦.通常先利用商數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為sin α=tan α·cos α的形式,然后利用平方關(guān)系求解.
1.在△ABC中,sin=3sin(π-A),且cos A=-cos(π-B),則C等于( )
A. B. C. D.
解析:選C ∵sin=3sin(π-A),
∴cos A=3sin A,即t
10、an A=.
又∵A∈(0,π),∴A=.
由cos A=-cos(π-B),得cos A=cos B.
∴cos B=,又B∈(0,π),
∴B=.故C=π--=.
2.(2014·金華模擬)已知cos α是方程3x2-x-2=0的根,且α是第三象限角,則=( )
A. B.- C.- D.
解析:選D ∵方程3x2-x-2=0的根為x1=1,x2=-,
由題知cos α=-,所以sin α=-,tan α=.[來(lái)源:]
∴原式==tan2α=.
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————
11、—
1個(gè)口訣——誘導(dǎo)公式的記憶口訣
奇變偶不變,符號(hào)看象限.
1個(gè)原則——誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則
負(fù)化正、大化小、化到銳角為終了.
2個(gè)注意點(diǎn)——應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式與誘導(dǎo)公式應(yīng) 注意的問(wèn)題
(1)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí),特別注意函數(shù)名稱(chēng)和符號(hào)的確定.
(2)在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí),若開(kāi)方,要特別注意判斷符號(hào).
3種方法——三角函數(shù)求值與化簡(jiǎn)的常用方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=化成正、余弦.
(2)和積轉(zhuǎn)換法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化.
(3)巧用“1”的變換:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan=…
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