《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第二章 :第八節(jié) 函數(shù)與方程突破熱點(diǎn)題型》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第二章 :第八節(jié) 函數(shù)與方程突破熱點(diǎn)題型(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△
考點(diǎn)一[來(lái)源:]
確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間
[例1] (1)(2014·西安模擬)函數(shù)f(x)=+ln的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(1,2)與(2,3)
(2)(2013·重慶高考)若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)·(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間( )
A.(a,b)和(b,c)內(nèi) B.(-∞,a)和(a,b
2、)內(nèi)
C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi) D.(-∞,a)和(c,+∞)內(nèi)
[自主解答] (1)f(x)=+ln=-ln(x-1).
當(dāng)1<x<2時(shí),ln(x-1)<0,>0,所以f(x)>0,故函數(shù)f(x)在(1,2)上沒(méi)有零點(diǎn).
f(2)=1-ln 1=1,f(3)=-ln 2==,
∵=2≈2.828>e,∴8>e2,即ln 8>2,即f(3)<0,
又f(4)=-ln 3<0,
∴f(x)在(2,3)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn).
(2)易知f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c
3、-a)(c-b).又a<b<c,則f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,又該函數(shù)是二次函數(shù),且開口向上,可知兩根分別在(a,b)和(b,c)內(nèi).
[答案] (1)B (2)A
【方法規(guī)律】
判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法
判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn),要根據(jù)具體題目靈活處理,當(dāng)能直接求出零點(diǎn)時(shí),就直接求出進(jìn)行判斷;當(dāng)不能直接求出時(shí),可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷;當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理也無(wú)法判斷時(shí)可畫出圖象判斷.
1.(2014·嘉興模擬)方程log3x+x=3的根所在的區(qū)間為( )
A.(0,1) B.(1,2)
4、 C.(2,3) D.(3,4)
解析:選C 法一:方程log3x+x=3的根即是函數(shù)f(x)=log3x+x-3的零點(diǎn),由于f(2)=log32+2-3=log32-1<0,[來(lái)源:]
f(3)=log33+3-3=1>0且函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù).
∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)即方程log3x+x=3的根所在區(qū)間為(2,3).
法二:方程log3x+x=3的根所在區(qū)間即是函數(shù)y1=log3x與y2=3-x交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在區(qū)間,兩函數(shù)圖象如圖所示.
由圖知方程log3x+x=3的根所在區(qū)間為(2,3).[來(lái)源:]
2.在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=e
5、-x-4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )
A. B. C. D.
解析:選B 易知函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù).對(duì)于A,注意到f=e-4×-3=e>0,f=e-4×-3=e-1>0,因此函數(shù)f(x)=e-x-4x-3的零點(diǎn)不在區(qū)間上;對(duì)于B,注意到f>0,f=e-4×-3=e-2<4-2<0,因此在區(qū)間上函數(shù)f(x)=e-x-4x-3一定存在零點(diǎn);對(duì)于C,注意到f<0,f(0)=-2<0,因此函數(shù)f(x)=e-x-4x-3的零點(diǎn)不在區(qū)間上;對(duì)于D,注意到f(0)=-2<0,f=e-
6、-4×-3=e--4<0,因此函數(shù)f(x)=e-x-4x-3的零點(diǎn)不在區(qū)間上.
考點(diǎn)二
判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
[例2] (1)(2014·鄭州模擬)函數(shù)f(x)=x2-2x在x∈R上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)y=f(f(x))+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
[自主解答] (1)注意到f(-1)×f(0)=×(-1)<0,因此函數(shù)f(x)在(-1,0)上必有零點(diǎn).又f(2)=f
7、(4)=0,因此函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3.
(2)由f(f(x))+1=0可得f(f(x))=-1.
又由f(-2)=f=-1,
可得f(x)=-2或f(x)=.
若f(x)=-2,則x=-3或x=;
若f(x)=,則x=-或x=,
綜上可得函數(shù)y=f(f(x))+1有4個(gè)零點(diǎn).
[答案] (1)D (2)A
【互動(dòng)探究】
若將本例(1)中的函數(shù)改為“f(x)=x-x”,該如何選擇?[來(lái)源:]
解析:選B 因?yàn)閥=x在x∈[0,+∞)上單調(diào)遞增,y=x在x∈R上單調(diào)遞減,所以f(x)=x-x在x∈[0,+∞)上單調(diào)遞增.又f(0)=-1<0,f(1)=>0,所
8、以f(x)=x-x在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn),故應(yīng)選B.
【方法規(guī)律】
判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法[來(lái)源:]
(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn);
(2)零點(diǎn)存在性定理法:利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì);
(3)數(shù)形結(jié)合法:轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù),其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值,就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).
1.(2013·天
9、津高考)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:選B 易知函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?方程|log0.5x|==x的根的個(gè)數(shù)?函數(shù)y1=|log0.5x|與y2=x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
2.已知符號(hào)函數(shù)sgn(x)=則函數(shù)f(x)=sgn(x-1)-ln x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:選C 依題意得,當(dāng)x-1>0,即x>1時(shí),f(x)=1-ln x,令f(x)=
10、0得x=e>1;當(dāng)x-1=0,即x=1時(shí),f(x)=0-ln 1=0;當(dāng)x-1<0,即x<1時(shí),f(x)=-1-ln x,令f(x)=0得x=<1.因此,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)三 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用
1.高考對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的考查多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),求函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,難度較易;利用零點(diǎn)的存在性求相關(guān)參數(shù)的值,難度較大.
2.高考對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的考查主要有以下幾個(gè)命題角度:
(1)已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根所在的區(qū)間,求參數(shù);
(2)已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的個(gè)數(shù),求參數(shù);
(3)利用函數(shù)的零點(diǎn)比較大小.
[例3] (1)(201
11、3·天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則 ( )
A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a)
C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0
(2)(2011·山東高考)已知函數(shù)f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).當(dāng)2<a<3<b<4時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0∈(n,n+1),n∈N*,則n=________.
(3)(2011·北京高考)已知函
12、數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
[自主解答] (1)∵f(x)在R上為增函數(shù),
且f(0)=e0-2<0,f(1)=e-1>0,
又f(a)=0,∴0<a<1.
∵g(x)=ln x+x2-3,
∴g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
又g(1)=ln 1-2=-2<0,
g(2)=ln 2+1>0,且g(b)=0,
∴1<b<2,即a<b,
∴
(2)∵2<a<3<b<4,∴f(x)=logax+x-b在(0,+∞)上為增函數(shù).
當(dāng)
13、x=2時(shí),f(2)=loga2+2-b<0;
當(dāng)x=3時(shí),f(3)=loga3+3-b>0,∴f(x)的零點(diǎn)x0在區(qū)間(2,3)內(nèi),∴n=2.
(3)在同一坐標(biāo)系中作出f(x)=及y=k的圖象,如圖.
可知,當(dāng)0<k<1時(shí),y=k與y=f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根.
[答案] (1)A (2)2 (3)(0,1)
函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)用問(wèn)題的常見類型及解題策略
(1)已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù).根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程的根求解參數(shù)應(yīng)分三步:①判斷函數(shù)的單調(diào)性;②利用零點(diǎn)存在性定理,得到參數(shù)所滿足的不等式;③解不等式,即得參數(shù)的取值范圍.
(
14、2)已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù).常利用數(shù)形結(jié)合法.
(3)借助函數(shù)零點(diǎn)比較大?。容^f(a)與f(b)的大小,通常先比較f(a)、f(b)與0的大小.
1.函數(shù)f(x)=2x--a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
解析:選C 由條件可知f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.
2.若函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(
15、1,+∞) B.[1,+∞)
C.(-1,+∞) D.[-1,+∞)
解析:選A 令g(x)=ax(a>0,且a≠1),h(x)=x+a,分0<a<1,a>1兩種情況,在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖,若函數(shù)f(x)=ax-x-a有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則函數(shù)g(x),h(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),根據(jù)畫出的圖象只有當(dāng)a>1時(shí)符合題目要求.
——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個(gè)口訣——用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的方法
用二分法求零點(diǎn)近似值的口訣為:定區(qū)間,找中點(diǎn),中值
16、計(jì)算兩邊看;同號(hào)去,異號(hào)算,零點(diǎn)落在異號(hào)間;周而復(fù)始怎么辦?精確度上來(lái)判斷.
2個(gè)防范——函數(shù)零點(diǎn)的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)
(1)函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn),是方程f(x)=0的實(shí)根.
(2)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn),而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn),而且連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件.
3種方法——判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法
(1)直接求零點(diǎn);
(2)零點(diǎn)的存在性定理;
(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)(內(nèi)容見例2的[方法規(guī)律]).
3個(gè)結(jié)論——有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論
(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).
(2)連續(xù)不斷的函數(shù),其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).
(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí),函數(shù)值可能變號(hào),也可能不變號(hào).
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