3、，M為A1D1的中點，[來源:]
S為菱形APC1M，AN＝，AP＝PC1＝，
C1N＝，S的面積＝菱形APC1M的面積＝2S△C1MN＝2＝，故⑤正確．
[答案]?、佗冖邰?
【方法規(guī)律】
共面、共線、共點問題的證明
(1)證明點或線共面問題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．
(2)證明點共線問題的兩種方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上．
(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，
4、再證其他直線經(jīng)過該點．
如圖所示，正方體ABCD A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：
(1)E、C、D1、F四點共面；
(2)CE、D1F、DA三線共點．
證明：(1)連接EF，CD1，A1B.
∵E、F分別是AB、AA1的中點，
∴EF∥A1B.
又A1B∥CD1，
∴EF∥CD1，
∴E、C、D1、F四點共面．
(2)∵四邊形EFD1C是梯形，
∴CE與D1F必相交，設交點為P，
則由P∈CE，CE?平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直線DA.
5、
∴CE、D1F、DA三線共點．
考點二
空間兩條直線的位置關系
[例2] 如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點，有以下四個結(jié)論：
①直線AM與CC1是相交直線；
②直線AM與BN是平行直線；
③直線BN與MB1是異面直線；
④直線AM與DD1是異面直線．
其中正確結(jié)論的為______(寫出所有正確結(jié)論的序號)．
[自主解答] 直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以①②錯誤．點B、B1、N在平面B1C中，點M在此平面外，所以BN、MB1是異面直線．同理AM、DD1也是異面直線．
[答案]
6、 ③④
【互動探究】
在本例中，若M，N分別為BC1，CD1的中點，試判斷MN與A1B1的位置關系．
解：由于MN與平面DCC1D1相交于N點，C1D1?平面DCC1D1，且C1D1與MN沒有公共點，所以MN與C1D1是異面直線．又因為C1D1∥A1B1，且A1B1與MN沒有公共點，所以A1B1與MN是異面直線．
【方法規(guī)律】
判定空間直線位置關系的三種類型及方法
(1)異面直線，可采用直接法或反證法．[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
(2)平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理．
(3)垂直關系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決．
7、
如圖所示，G、H、M、N分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號)．
解析：圖(1)中，直線GH∥MN；
圖(2)中，G、H、N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；
圖(3)中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；
圖(4)中，G、M、N共面，
但H?平面GMN，因此GH與MN異面．[來源:]
所以圖(2)、(4)中GH與MN異面．
答案：(2)(4)
考點三
異面直線所成的角
[例3] 如圖所示，在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC
8、＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：
(1)三棱錐PABC的體積；
(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．
[自主解答] (1)S△ABC＝22＝2，
故三棱錐PABC的體積為
V＝S△ABCPA＝22＝.
(2)如圖所示，取PB的中點E，連接DE，AE，
則DE∥BC，所以∠ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角．
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，則cos∠ADE＝
＝
＝.
即異面直線BC與AD所成角的余弦值為.
【方法規(guī)律】
1．找異面直線所成的角的三種方法
(1)利用圖中已有的平行線平移．
(2)利用特殊點(線段的端點或中點)
9、作平行線平移．
(3)補形平移．
2．求異面直線所成角的三個步驟
(1)作：通過作平行線，得到相交直線．
(2)證：證明相交直線所成的角或其補角為異面直線所成的角．[來源:]
(3)算：通過解三角形，求出該角．
在直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于( )
A．30 B．45 C．60 D．90
解析：選C 分別取AB、AA1、A1C1的中點D、E、F，連接DE，EF，DF，如圖所示，
則BA1∥DE，AC1∥EF.
所以異面直線BA1與AC1所成的角為∠
10、DEF(或其補角)，
設AB＝AC＝AA1＝2，
則DE＝EF＝，DF＝，由余弦定理得，cos∠DEF＝＝＝－，則∠DEF＝120.
又因為異面直線夾角的取值范圍為，
所以異面直線BA1與AC1所成的角為60.
——————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————
2種方法——異面直線的判定方法
(1)判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．
(2)反證法：證明兩直線不可能平行、相交或證明兩直線不可能共面，從而可得兩直線異面．[來源:]
3個作用——3個公理的作用
(1)公理1的作用：①檢驗平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由
直線在平面內(nèi)判斷直線上的點在平面內(nèi)；④由直線的直刻畫平面的平．
(2)公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法．
(3)公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點共線．
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高考數(shù)學復習：第七章 ：第三節(jié)空間、線、面之間的位置關系突破熱點題型
