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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△
第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示
考點一
平面向量基本定理的應(yīng)用
[例1] 在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則λ+μ=________.
[自主解答] 選擇,作為平面向量的一組基底,則=+,=
+,=+,
又=λ+μ=+,
于是得即故λ+μ=.
[答案]
【互動探究】
在本例條件下,若=c,=d,試用c,d表示,.
解:設(shè)=a,=b,因為E,F(xiàn)分別為CD和BC的中點,所以=b,=a,于是有:
解得
即=(2d-c)=d-c,
=(2c-d)=c-d
2、.
【方法規(guī)律】[來源:]
應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)
應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算,共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用.當基底確定后,任一向量的表示都是唯一的.
如圖,在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60,AH⊥BC于點H,M為AH的中點.若=λ+μ,則λ+μ=________.
解析:因為AB=2,BC=3,∠ABC=60,AH⊥BC,所以BH=1,BH=BC.因為點M為AH的中點,所以==(+)==+,即λ=,μ=,所以λ+μ=.
答案:
考點二
平面向量的坐標運算
3、
[例2] 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),設(shè)=a,=b,=c,且=3c,=-2b.求:
(1)3a+b-3c;
(2)滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n;
(3)M,N的坐標及向量的坐標.
[自主解答] 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c[來源:]
=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)
=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
∴解得
(3)設(shè)O為坐標原點,∵=-=3c,
∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0
4、,20),
∴M的坐標為(0,20).
又=-=-2b,
∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),
∴N的坐標為(9,2).
故=(9-0,2-20)=(9,-18).
【方法規(guī)律】
平面向量坐標運算的技巧
(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的,若已知有向線段兩端點的坐標,則應(yīng)先求向量的坐標.
(2)解題過程中,常利用向量相等則其坐標相同這一原則,通過列方程(組)來進行求解,并注意方程思想的應(yīng)用.
已知平行四邊形的三個頂點分別是A(4,2),B(5,7),C(-3,4),求第四個頂點D的坐標.
解:設(shè)頂點D(x,y).若
5、平行四邊形為ABCD.
則由=(1,5),=(-3-x,4-y),
得所以
若平行四邊形為ACBD,則由=(-7,2),=(5-x,7-y),得所以
若平行四邊形為ABDC,則由=(1,5),=(x+3,y-4),
得所以
綜上所述,第四個頂點D的坐標為(-4,-1)或(12,5)或(-2,9).
高頻考點
考點三平面向量共線的坐標表示
1.平面向量共線的坐標表示是高考的??純?nèi)容,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),難度較小,屬容易題.
2.高考對平面向量共線的坐標表示的考查主要有以下幾個命題角度:
(1)利用兩向量共線求參數(shù);
(2)利用兩向量共線的條件求向量坐
6、標;
(3)三點共線問題.
[例3] (1)(2013陜西高考)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,則實數(shù)m等于( )
A.- B.
C.-或 D.0
(2)(2011湖南高考)設(shè)向量a,b滿足|a|=2,b=(2,1),且a與b的方向相反,則a的坐標為________.
(3)(2014東營模擬)若三點A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共線,則+的值等于________.
[自主解答] (1)因為a∥b,所以m2=2,解得m=-或m=.
(2)∵a與b方向相反,∴可設(shè)a=λb(λ<0),∴a=λ(2,
7、1)=(2λ,λ).由|a|==2,解得λ=-2,或λ=2(舍),
故a=(-4,-2).[來源:]
(3) =(a-2,-2),=(-2,b-2),依題意,有(a-2)(b-2)-4=0,即ab-2a-2b=0,所以+=.
[答案] (1)C (2)(-4,-2) (3)
平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略
(1)利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線,求某些參數(shù)的取值時,則利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是x1y2=x2y1”解題比較方便.
(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標.一般地,在求與一個已知向量a共線的向量時,可設(shè)所
8、求向量為λa(λ∈R),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
(3)三點共線問題.A,B,C三點共線等價于與共線.
1.(2013遼寧高考)已知點A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為( )
A. B.
C. D.
解析:選A ∵A(1,3),B(4,-1),
∴=(3,-4),又∵| |=5,
∴與同向的單位向量為=.
2.已知向量a=(m,-1),b=(-1,-2),c=(-1,2),若(a+b)∥c,則m=________.
解析:由題意知a+b=(m-1,-3),c=
9、(-1,2),
由(a+b)∥c,得(-3)(-1)-(m-1)2=0,
即2(m-1)=3,故m=.
答案:
3.已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),則AC與OB的交點P的坐標為________.
解析:法一:由O,P,B三點共線,可設(shè)=λ=(4λ,4λ),則=-=(4λ-4,4λ).
又=-=(-2,6),由與共線,得(4λ-4)6-4λ(-2)=0,解得λ=,所以==(3,3),
所以P點的坐標為(3,3).
法二:設(shè)點P(x,y),則=(x,y),因為=(4,4),且與共線,所以=,即x=y(tǒng).
又=(x-4,y),=(-2,6),且與共線,
所以(x-4
10、)6-y(-2)=0,解得x=y(tǒng)=3,[來源:]
所以P點的坐標為(3,3).
答案:(3,3)
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個區(qū)別——向量坐標與點的坐標的區(qū)別
在平面直角坐標系中,以原點為起點的向量=a,點A的位置被向量a唯一確定,此時點A的坐標與a的坐標統(tǒng)一為(x,y),但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別,如點A(x,y),向量a==(x,y).
2種形式——向量共線的充要條件的兩種形式
(1)a∥b?b=λa(a≠0,λ∈R);
(2)a∥b?x1y2-x2y1=0(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
3個注意點——解決平面向量共線問題應(yīng)注意的問題
(1)注意0的方向是任意的;[來源:]
(2)若a、b為非零向量,當a∥b時,a,b的夾角為0或180,求解時容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯;
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件不能表示成=,因為x2,y2有可能等于0,所以應(yīng)表示為x1y2-x2y1=0.
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