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1、△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△
第九節(jié) 函數(shù)模型及其應用
高頻考點
考點一 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型
1.以二次函數(shù)為模型的應用題常出現(xiàn)在高考試題中,既有選擇題、填空題,也有解答題,難度適中,屬中檔題.
2.高考對一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的考查主要有以下兩個命題角度:
(1)單一考查一次函數(shù)或二次函數(shù)模型的建立及最值問題;
(2)以分段函數(shù)的形式考查一次函數(shù)和二次函數(shù).
[例1] (1)(2013陜西高考)在如圖所示的銳角三角形空地中, 欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x為________m.
(2)(2011湖北高考
2、)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/時.研究表明:當20≤x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).
①當0≤x≤200時,求函數(shù)v(x)的表達式;[來源:]
②當車流密度x為多大時,車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/時)f(x)=xv(x)可以達到最大,并求出最大值.(精確到1輛/時)
[自主解答] (1)設內接矩形另一邊長為y,則由相似三
3、角形性質可得=,解得y=40-x,所以面積S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0
4、間[20,200]上取得最大值.
綜上,當x=100時,f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333,[來源:]
即當車流密度為100輛/千米時,車流量可以達到最大,最大值約為3 333輛/時.
[答案] (1)20
一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問題的常見類型及解題策略
(1)直接考查一次函數(shù)、二次函數(shù)模型.解決此類問題應注意三點:①二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調性解決,但一定要密切注意函數(shù)的定義域,否則極易出錯;②確定一次函數(shù)模型時,一般是借助兩個點來確定,常用待定系數(shù)法;③解決函數(shù)應用問題時,最后要還原到實際問題.
(2)以分段函數(shù)的形式考查.解決此類問題應關注
5、以下三點:①實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出,而是由幾個不同的關系式構成,如出租車票價與路程之間的關系,應構建分段函數(shù)模型求解;②構造分段函數(shù)時,要力求準確、簡潔,做到分段合理、不重不漏;③分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者).
1.(2013上海高考)甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10),每一小時可獲得的利潤是100元.
(1)求證:生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100a元;
(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問:甲廠應該選取何種生產(chǎn)速度?并求此最大利潤.
解:(1)生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所用的時間是 小時
6、,
∵每一小時可獲得的利潤是100 元,[來源:]
∴獲得的利潤為100 元.
因此生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100 a元.
(2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤為90 000元,1≤x≤10.
設f(x)=-++5,1≤x≤10.
則f(x)=-32++5,當且僅當x=6取得最大值.
故獲得最大利潤為90 000=457 500元.[來源:]
因此甲廠應以6千克/小時的速度生產(chǎn),可獲得最大利潤457 500元.
2.據(jù)氣象中心觀察和預測:發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動,其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示,過線段OC上一點T(t,0)作橫軸
7、的垂線l,梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t(h)內沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).
(1)當t=4時,求s的值;
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關系式表示出來;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,試判斷
這場沙塵暴是否會侵襲到N城,如果會,在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城?如果不會,請說明理由.
解:(1)由圖象可知:
當t=4時,v=34=12,
∴s=412=24.
(2)當0≤t≤10時,s=t3t=t2;
當10
8、t-20)2(t-20)=-t2+70t-550.
綜上,可知s=
(3)沙塵暴會侵襲到N城.
∵t∈[0,10]時,smax=102=150<650,
t∈(10,20]時,smax=3020-150=450<650,
∴當t∈(20,35]時,令-t2+70t-550=650.
解得t1=30,t2=40.
∵20
9、萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關系C(x)=(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元,設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.
(1)求k的值及f(x)的表達式;
(2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值.
[自主解答] (1)由已知條件得C(0)=8,則k=40,
因此f(x)=6x+20C(x)=6x+(0≤x≤10).
(2)f(x)=6x+10+-10
≥2 -10
=70(萬元),
當且僅當6x+10=,
即x=5時等號成立.
所以當隔熱層厚度為5 cm時,總
10、費用f(x)達到最小值,最小值為70萬元.
【方法規(guī)律】
把實際問題數(shù)學化、建立數(shù)學模型一定要過好的三關
(1)事理關:通過閱讀、理解,明確問題講的是什么,熟悉實際背景,為解題找出突破口;
(2)文理關:將實際問題的文字語言轉化為數(shù)學符號語言,用數(shù)學式子表達數(shù)學關系;
(3)數(shù)理關:在構建數(shù)學模型的過程中,對已知數(shù)學知識進行檢索,從而認定或構建相應的數(shù)學模型.
(2014杭州模擬)某村計劃建造一個室內面積為800 m2的矩形蔬菜溫室,在溫室內,沿左、右兩側與后側內墻各保留1 m寬的通道,沿前側內墻保留3 m寬的空地,當矩形溫室的邊長各為多少時,蔬菜的種植面積最大?最大面積是
11、多少?[來源:]
解:設溫室的左側邊長為x m,
則后側邊長為 m.
∴蔬菜種植面積
y=(x-4)=808-2(40).
(1)如果m=2,求經(jīng)過多長時間,物體的溫度為5攝氏度;
12、
(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度,求m的取值范圍.
[自主解答] (1)若m=2,
則θ=22t+21-t=2,
當θ=5時,2t+=,
令2t=x(x≥1),則x+=,
即2x2-5x+2=0,
解得x=2或x=(舍去),此時t=1.
所以經(jīng)過1分鐘,物體的溫度為5攝氏度.
(2)物體的溫度總不低于2攝氏度,
即θ≥2恒成立,
亦m2t+≥2恒成立.
亦即m≥2恒成立.
令=y(tǒng),則0
13、)指數(shù)函數(shù)模型,常與增長率相結合進行考查,在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決;
(2)應用指數(shù)函數(shù)模型時,關鍵是對模型的判斷,先設定模型,再將已知有關數(shù)據(jù)代入驗證,確定參數(shù),從而確定函數(shù)模型;
(3)y=a(1+x)n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質求解.
一個人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少,為了保障交通安全,某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定:駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL,那么,此人至少經(jīng)過________小時才能開車.(精確到1小
14、時)
解析:設經(jīng)過x小時才能開車.
由題意得0.3(1-25%)x≤0.09,
∴0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈5.
答案:5
—————————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————
1個防范——實際問題的定義域
要特別關注實際問題的自變量的取值范圍,合理確定函數(shù)的定義域.
1個步驟——解決實際應用問題的一般步驟
(1)審題:弄清題意,分清條件和結論,理順數(shù)量關系,初步選擇數(shù)學模型;
(2)建模:將自然語言轉化為數(shù)學語言,將文字語言轉化為符號語言,利用數(shù)學知識,建立相應的數(shù)學模型;
(3)求模:求解數(shù)學模型,得出數(shù)學結論;
(4)還原:將數(shù)學問題還原為實際問題的意義.
以上過程用框圖表示如下:
答
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