《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第五章 :第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和演練知能檢測(cè)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第五章 :第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和演練知能檢測(cè)(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
[全盤(pán)鞏固]
1.設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a3=,S3=,則公比q=( )
A. B.- C.1或- D.1或
解析:選C 當(dāng)q=1時(shí),a1=a2=a3=,S3=a1+a2+a3=,符合題意;當(dāng)q≠1時(shí),由題意得解得q=-.故q=1或q=-.
2.各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=3,前三項(xiàng)和為21,則a3+a4+a5=( )
A.33 B.72 C.84 D.189
解析:選C ∵a1+
2、a2+a3=21,
∴a1+a1·q+a1·q2=21,3+3×q+3×q2=21,[來(lái)源:]
即1+q+q2=7,解得q=2或q=-3.
∵an>0,∴q=2,a3+a4+a5=21×q2=21×4=84.
3.已知等比數(shù)列{an}滿足an>0(n∈N*),且a5a2n-5=22n(n≥3),則當(dāng)n≥1時(shí),log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1等于( )
A.(n+1)2 B.n2 C.n(2n-1) D.(n-1)2
解析:選B 由等比數(shù)列
3、的性質(zhì)可知a5a2n-5=a,
又a5a2n-5=22n,所以an=2n.
又log2a2n-1=log222n-1=2n-1,
所以log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1=1+3+5+…+(2n-1)==n2.
4.已知數(shù)列{an}滿足a1=5,anan+1=2n,則=( )
A.2 B.4 C.5 D.
解析:選B 依題意得==2,即=2,故數(shù)列a1,a3,a5,a7,…是一個(gè)以5為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列,因此=4.
5.?dāng)?shù)列{an}中,已知對(duì)任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,則a
4、+a+a+…+a=( )
A.(3n-1)2 B.(9n-1) C.9n-1 D.(3n-1)
解析:選B ∵a1+a2+a3+…+an=3n-1,①
∴a1+a2+a3+…+an-1=3n-1-1.②
由①-②,得an=3n-3n-1=2×3n-1.
∴當(dāng)n≥2時(shí),an=3n-3n-1=2×3n-1,
又n=1時(shí),a1=2適合上式,
∴an=2×3n-1,
故數(shù)列{a}是首項(xiàng)為4,公比為9的等比數(shù)列.
因此a+a+…+a==(9n-1).
6.已知{an}為等比數(shù)列,下面結(jié)論中正確的是( )
A.a(chǎn)1+a3≥2a2
5、
B.a(chǎn)+a≥2a
C.若a1=a3,則a1=a2
D.若a3>a1,則a4>a2
解析:選B 設(shè){an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,則a2=a1q,a3=a1q2.∵a1+a3=a1(1+q2),又1+q2≥2q,當(dāng)a1>0時(shí),a1(1+q2)≥2a1q,即a1+a3≥2a2;當(dāng)a1<0時(shí),a1(1+q2)≤2a1q,即a1+a3≤2a2,故A不正確;∵a+a=a(1+q4),又1+q4≥2q2且a>0,∴a+a≥2a,故B正確;若a1=a3,則q2=1.∴q=±1.當(dāng)q=1時(shí),a1=a2;當(dāng)q=-1時(shí),a1≠a2,故C不正確;D項(xiàng)中,若q>
6、0,則a3q>a1q,即a4>a2;若q<0,則a3q<a1q,此時(shí)a4<a2,故D不正確.
7.(2013·遼寧高考)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個(gè)根,則S6=________.
解析:a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個(gè)根且{an}是遞增數(shù)列,故a3=4,a1=1,故公比q=2,S6==63.
答案:63
8.(2014·杭州模擬)公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項(xiàng)ak1,ak2,ak3,…,構(gòu)成等比數(shù)列,且k1=1,k2=2,k3=6,則k4=______
7、.
解析:據(jù)題意等差數(shù)列的a1,a2,a6成等比數(shù)列,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則有(a1+d)2=a1(a1+5d),解得d=3a1,故a2=4a1,a6=16a1?ak4=64a1=a1+3a1(n-1),解得n=22.
答案:22
9.(2013·江蘇高考)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a5=,a6+a7=3.則滿足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為_(kāi)_______.
解析:設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公比為q>0,
由得a1=,q=2.
所以an=2n-6.
a1+a2+…+an=2n-5-2-5,a1a2…an=2.
由a1+a2+…+
8、an>a1a2…an,得2n-5-2-5>2,
由2n-5>2,得n2-13n+10<0,
解得<n<,取n=12,可以驗(yàn)證當(dāng)n=12時(shí)滿足a1+a2+…+an>a1a2…an,n≥13時(shí)不滿足a1+a2+…+an>a1a2…an,故n的最大值為12.[來(lái)源:]
答案:12
10.?dāng)?shù)列{an}中,Sn=1+kan(k≠0,k≠1).
(1)證明:數(shù)列{an}為等比數(shù)列;
(2)求通項(xiàng)an;
(3)當(dāng)k=-1時(shí),求和a+a+…+a.
解:(1)證明:∵Sn=1+kan,①
Sn-1=1+kan-1,②
①-②得Sn-Sn-1=k
9、an-kan-1(n≥2),
∴(k-1)an=kan-1,=為常數(shù),n≥2.
∴{an}是公比為的等比數(shù)列.
(2)∵S1=a1=1+ka1,∴a1=.
∴an=·n-1=-.
(3)∵{an}中a1=,q=,
∴{a}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.
當(dāng)k=-1時(shí),等比數(shù)列{a}的首項(xiàng)為,公比為,
∴a+a+…+a==.
11.已知函數(shù)f(x)=的圖象過(guò)原點(diǎn),且關(guān)于點(diǎn)(-1,2)成中心對(duì)稱.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=f(an),證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解:(1)∵f(0)=0,
10、∴c=0.
∵f(x)=的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,2)成中心對(duì)稱,
∴f(x)+f(-2-x)=4,解得b=2.
∴f(x)=.
(2)∵an+1=f(an)=,
∴當(dāng)n≥2時(shí),
=·=·=·=2.
又=2≠0,
∴數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,
∴=2n,∴an=.[來(lái)源:]
12.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足4b1-1·4b2-1·4b3-1·…·4bn-1=(an
11、+1)n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解:(1)證明:∵an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),
又a1=1,∴a1+1=2≠0,an+1≠0,
∴=2,
∴數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.
∴an+1=2n,可得an=2n-1.
(2)∵4b1-1·4b2-1·4b3-1·…·4bn-1=(an+1)n,
∴4b1+b2+b3+…+bn-n=2n2,
∴2(b1+b2+b3+…+bn)-2n=n2,
即2(b1+b2+b3+…+bn)=n2+2n,
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=n2+n.
12、
[沖擊名校]
1.設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù),且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是________.
解析:由已知可得a1=f(1)=,a2=f(2)=[f(1)]2=2,a3=f(3)=f(2)f(1)=[f(1)]3=3,…,an=f(n)=[f(1)]n=n,
所以Sn=+2+3+…+n
==1-n.
∵n∈N*,∴≤Sn<1.
答案:[來(lái)源:]
2.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,a1=t,點(diǎn)(Sn,an+1)在直線y=3x+1上,n∈N
13、*.
(1)當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí),數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,求Tn.
解:(1)∵點(diǎn)(Sn,an+1)在直線y=3x+1上,
∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1,且n∈N*).
∴an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,
∴an+1=4an(n>1,n∈N*),
a2=3S1+1=3a1+1=3t+1,
∴當(dāng)t=1時(shí),a2=4a1,數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(2)在(1)的結(jié)論下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=
14、an+bn=4n-1+n,
∴Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)=+.
[高頻滾動(dòng)]
1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,則n=( )
A.12 B.14 C.16 D.18
解析:選B Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,S4=a1+a2+a3+a4=40,所以4(a1+an)=120,a1+an=30,由Sn==210,得n=14.
2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1
15、,且an=2an-1+2n(n≥2,n∈N*).
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
解:(1)證明:因?yàn)閍n=2an-1+2n,
所以==+1,即-=1,
所以數(shù)列是等差數(shù)列,且公差d=1,其首項(xiàng)=,[來(lái)源:]
所以=+(n-1)×1=n-,
解得an=×2n=(2n-1)2n-1.
(2)Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1,①
2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,②
①-②,得
-Sn=1×20+2×21+2×22+…+2×2n-1-(2n-1)2n=1+-(2n-1)2n=(3-2n)2n-3.
所以Sn=(2n-3)2n+3.
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