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第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式
【考綱下載】
1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.
2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出α,πα的正弦、余弦、正切的誘導公式.
1.同角三角函數(shù)的基本關系
(1)平方關系:sin2α+cos2α=1.
(2)商數(shù)關系:tan α=.
2.三角函數(shù)的誘導公式
公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos_α,tan(α+2kπ)=tan α,其中k∈Z.
公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+
2、α)=-cos_α,tan(π+α)=tan α.
公式三:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α,tan(-α)=-tan α.
公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos_α,tan(π-α)=-tan α.
公式五:sin=cos_α,cos=sin α.
公式六:sin=cos_α,cos=-sin_α.
1.有人說sin(kπ-α)=sin(π-α)=sin α(k∈Z),你認為正確嗎?
提示:不正確.當k=2n(n∈Z)時,sin(kπ-α)=sin(2nπ-α)=sin(-α)=-sin α;當k=2n+1(n∈Z)時,si
3、n(kπ-α)=sin[(2n+1)π-α]=sin(2nπ+π-α)=sin(π-α)=sin α.
2.誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變,符號看象限”中的“符號”是否與α的大小有關?
提示:無關,只是把α從形式上看作銳角,從而2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α,-α,+α分別是第一,三,四,二,一,二象限角.
1.tan 330等于( )
A. B.- C. D.-
解析:選D tan 330=tan(360-30)=tan(-30)=
-tan 30=-.
2.若cos
4、 α=,α∈,則tan α等于( )
A.- B. C.-2 D.2
解析:選C 由已知得sin α=-=- =-,所以tan α==-2.[來源:]
3.(教材習題改編)若tan α=2,則的值為( )
A.- B.- C. D.
解析:選C?。剑剑?
4.cos-sin=________.
解析:cos-sin=cos+sin
=cos+sin
=cos+sin=+=.
答案:
5.已知tan α=,π<α<,則cos α-sin α=________.
解析:∵tan α=,π<
5、α<,∴α=,[來源:]
∴cos α-sin α=cos -sin =
-cos +sin =-+=.
答案:
數(shù)學思想(五)
sin αcos α及sin αcos α間的方程思想
對于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α這三個式子,已知其中的一個式子的值,可利用公式(sin αcos α)2=12sin αcos α求其余兩式的值,體現(xiàn)了方程思想的應用.[來源:]
[典例] (1)(2014揭陽模擬)已知sin αcos α=,且<α<,則cos α-sin α的值為( )
[來源:]
6、
A.- B. C.- D.
(2)已知sin(π-α)-cos(π+α)=,則sin α-cos α=________.
[解題指導] (1)可先考慮cos α-sin α的符號,然后平方解決;
(2)將條件化簡可得sin α+cos α=,然后兩邊平方可求sin αcos α的值,然后同問題(1)解決.
[解析] (1)∵<α<,[來源:數(shù)理化網]
∴cos α<0,sin α<0且|cos α|<|sin α|,
∴cos α-sin α>0,
又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2=,
∴c
7、os α-sin α=.
(2)由sin(π-α)-cos(π+α)=,
得sin α+cos α=,①
將①兩邊平方得1+2sin αcos α=,
故2sin αcos α=-.
∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-=.
又∵<α<π,∴sin α>0,cos α<0.
∴sin α-cos α=.
[答案] (1)B (2)
[題后悟道] 解決此類問題的關鍵是等式(sin αcos α)2=12sin αcos α.但要特別注意對sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α符號的關注.
已知-<x<0,sin x+cos x=,則sin x-cos x=________.
解析:將等式sin x+cos x=兩邊平方,得sin2x+2sin xcos x+cos2x=,即2sin xcos x=-,
∴(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=.又-<x<0,
∴sin x<0,cos x>0,sin x-cos x<0,故sin x-cos x=-.
答案:-
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