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高考數(shù)學復習:第三章 :第七節(jié)解三角形應用舉例演練知能檢測

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1、△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△ [全盤鞏固] 1.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40,燈塔B在觀察站南偏東60,則燈塔A在燈塔B的(  ) A.北偏東10 B.北偏西10 C.南偏東80 D.南偏西80 解析:選D 由條件及圖可知,∠A=∠B=40,又∠BCD=60,所以∠CBD=30,所以∠DBA=10,因此燈塔A在燈塔B南偏西80. 2.某人向正東方向走x km后,向右轉(zhuǎn)150,然后朝新方向走3 km,結(jié)果他離出發(fā)點恰好是 km,那么x的值為(  ) A. B.2

2、C.或2 D.3 解析:選C  如圖所示,設(shè)此人從A出發(fā),則AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30,由余弦定理得()2=x2+32-2x3cos 30,整理得[來源:] x2-3x+6=0,解得x=或2. 3.如圖所示,在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15,向山頂前進100米到達B處,又測得C對于山坡的斜度為45,若CD=50米,山坡對于地平面的坡角為θ,則cos θ=(  ) A. B.2- C.-1 D. 解析:選C 在△ABC中,由正弦定理可知,BC===50(-),在△BCD中

3、,sin∠BDC===-1.由題圖,知cos θ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1. 4.張曉華同學騎電動自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛,在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30方向上,15 min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75方向上,則電動車在點B時與電視塔S的距離是(  ) A.2 km B.3 km C.3 km D.2 km 解析:選B  如圖,由條件知AB=24=6.在△ABS中,∠BAS=30,AB=6,∠ABS=180-75=105, 所以∠ASB=45. 由正弦定理知=, 所以BS=sin 30=3 km.

4、 5.一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45,沿點A向北偏東30前進100 m到達點B,在B點測得水柱頂端的仰角為30,則水柱的高度是(  ) A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m 解析:選A 設(shè)水柱高度是h m,水柱底端為C,則在△ABC中,A=60,AC=h,AB=100,BC=h,根據(jù)余弦定理,得(h)2=h2+1002-2h100cos 60,整理得h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,故h=50 m,故水柱的高度是50 米. 6.

5、 如圖,在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30,測得湖中之影的俯角為45,則云距湖面的高度為(精確到0.1 m)(  ) A.2.7 m B.17.3 m C.37.3 m D.373 m 解析:選C ∵在△ACE中, tan 30==. ∴AE= m. ∵在△AED中,tan 45==, ∴AE= m,∴=, ∴CM==10(2+)≈37.3 m. 7.甲、乙兩樓相距20米,從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0,則乙樓的高是________米. 解析:如圖,依題意甲樓高度AB=20tan 60=20,又C

6、M=DB=20米,∠CAM=60,所以AM=CM= 米,所以乙樓的高CD=20-= 米. 答案: 8.(2014舟山模擬)已知A船在燈塔C北偏東80處,且A船到燈塔C的距離為2 km,B船在燈塔C北偏西40處,A,B兩船間的距離為3 km,則B船到燈塔C的距離為________km. 解析:如圖,由已知得∠ACB=120,AC=2,AB=3. 設(shè)BC=x,則由余弦定理得 AB2=BC2+AC2-2BCACcos 120, 即32=22+x2-22xcos 120 即x2+2x-5=0,解得x=-1. 答案:-1 9.如圖,測量河對岸的塔高AB時,可以選與塔底B在同一水

7、平面內(nèi)的兩個測點C與D,測得∠BCD=15,∠BDC=30,CD=30,并在點C測得塔頂A的仰角為60,則塔高AB=________. 解析:設(shè)AB=h,在△ABC中,tan 60=,則BC=h, 在△BCD中,∠DBC=180-15-30=135, 由正弦定理得=,即=, 解得h=15. 答案:15 10.隔河看兩目標A與B,但不能到達,在岸邊選取相距 km的C、D兩點,同時,測得∠ACB=75,∠BCD=45,∠ADC=30,∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面內(nèi)),求兩目標A、B之間的距離. 解:如圖,在△ACD中,∠ACD=120, ∠CAD=∠ADC=

8、30,所以AC=CD=. 在△BCD中,∠BCD=45,∠BDC=75,∠CBD=60,由正弦定理知BC==. 在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB=()2+2-2cos 75=3+2+-=5,所以AB= km,[來源:] 所以兩目標A,B之間的距離為 千米. 11.為撲滅某著火點,現(xiàn)場安排了兩支水槍,如圖,D是著火點,A、B分別是水槍位置,已知AB=15 m,在A處看到著火點的仰角為60,∠ABC=30,∠BAC=105,求兩支水槍的噴射距離至少是多少? 解:在△ABC中,可知∠ACB=45, 由正弦定理得=, 解得AC=15 m

9、. 又∵∠CAD=60,∴AD=30,CD=15, sin 105=sin(45+60)=. 由正弦定理得=, 解得BC= m. 由勾股定理可得BD==15 m, 綜上可知,兩支水槍的噴射距離至少分別為30 m,15 m. 12.如圖,在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向,距A處(-1)海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75方向,距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10 海里/小時的速度追截走私船,此時走私船正以10海里/小時的速度,從B處向北偏東30方向逃竄.問:緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間. 解:設(shè)緝私船應沿CD方向行駛t小時,才能最快截獲(在D點)

10、走私船,則CD=10t海里,BD=10t海里, 在△ABC中,由余弦定理,有 BC2=AB2+AC2-2ABACcos A =(-1)2+22-2(-1)2cos 120=6, 解得BC=. 又∵=, ∴sin∠ABC===, ∴∠ABC=45,∴B點在C點的正東方向上, ∴∠CBD=90+30=120, 在△BCD中,由正弦定理,得=, ∴sin∠BCD===. ∴∠BCD=30,∴緝私船沿北偏東60的方向行駛. 又在△BCD中,∠CBD=120,∠BCD=30, ∴∠D=30,∴BD=BC,即10t=. ∴t=小時≈15分鐘. ∴緝私船應沿北偏東60的方向行駛

11、,才能最快截獲走私船,大約需要15分鐘.[來源:] [沖擊名校] [來源:] 如圖,攝影愛好者在某公園A處,發(fā)現(xiàn)正前方B處有一立柱,測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30,已知攝影愛好者的身高約為 米(將眼睛S距地面的距離SA按 米處理). (1)求攝影愛好者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB. (2)立柱的頂端有一長為2米的彩桿MN,且MN繞其中點O在攝影愛好者與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).在彩桿轉(zhuǎn)動的任意時刻,攝影愛好者觀察彩桿MN的視角∠MSN(設(shè)為θ)是否存在最大值?若存在,請求出∠MSN取最大值時cos θ的值;若不存在,請說明理由. 解:(1)如圖,作SC⊥OB

12、于C,依題意∠CSB=30,∠ASB=60. 又SA=,故在Rt△SAB中,可求得AB==3 m, 即攝影愛好者到立柱的水平距離AB為3米. 在Rt△SCO中,SC=3,∠CSO=30,OC=SCtan 30=, 又BC=SA=,故OB=2 m,即立柱的高度OB為2 米. (2)存在.∵cos∠MOS=-cos∠NOS, ∴=- 于是得SM2+SN2=26從而 cos θ=≥=. 又∠MSN為銳角,故當視角∠MSN取最大值時,cos θ=.[來源:] [高頻滾動] 1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,則cos C=(  

13、) A.      B.- C. D. 解析:選A 由正弦定理=,將8b=5c及C=2B代入得=,化簡得=,則cos B=,所以cos C=cos 2B=2cos2B-1=22-1=. 2.在△ABC中,a=3,b=2 ,∠B=2∠A. (1)求cos A的值; (2)求c的值. 解:(1)因為a=3,b=2,∠B=2∠A, 所以在△ABC中,由正弦定理得=. 所以=. 故cos A=. (2)由(1)知cos A=,所以sin A= =. 又因為∠B=2∠A,所以cos B=2cos2A-1=. 所以sin B==. 在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=. 所以c==5. 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品

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