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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△
第四節(jié) 基本不等式
考點(diǎn)一
利用基本不等式證明不等式
[例1] 已知a>0,b>0,a+b=1,求證:++≥8.
[自主解答] ++=2,[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
∵a+b=1,a>0,b>0,
∴+=+=2++≥2+2=4,
∴++≥8.
【互動探究】
保持例題條件不變,證明: + ≤2.
證明:∵a>0,b>0,且a+b=1,
∴ +
= +
≤+===2.
當(dāng)且僅當(dāng)a+=1,b+=1,即a=b=時等號成立.
【方法規(guī)律】
利用基本不等式證明不等
2、式的方法技巧
利用基本不等式證明不等式時,要充分利用基本不等式及其變形,同時注意基本不等式成立的條件.對待證明的不等式作適當(dāng)變形,變出基本不等式的形式,然后利用基本不等式進(jìn)行證明.
設(shè)a、b均為正實(shí)數(shù),求證:++ab≥2.
證明:由于a、b均為正實(shí)數(shù),
所以+≥2 =,
當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=b時等號成立,
又因?yàn)椋玜b≥2 =2,
當(dāng)且僅當(dāng)=ab時等號成立,
所以++ab≥+ab≥2,
當(dāng)且僅當(dāng)即a=b=時取等號.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)二 利用基本不等式求最值
1.利用基本不等式求最值是高考的??純?nèi)容,題型既有選擇題、填空題,也有解答題.[來源:]
3、
2.高考對利用基本不等式求最值的考查常有以下幾個命題角度:
(1)知和求積的最值;
(2)知積求和的最值;
(3)構(gòu)造不等式求最值.
[例2] (1)(2013·福建高考)若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是( )
A.[0,2] B.[-2,0]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
(2)(2013·山東高考)設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0.則當(dāng)取得最小值時,x+2y-z的最大值為( )
A.0 B. C.2 D.
(3)(2013
4、83;天津高考)設(shè)a+b=2,b>0,則+的最小值為________.
[自主解答] (1)因?yàn)?x>0,2y>0,
所以1=2x+2y≥2=2,
故≤,即2x+y≤=2-2,
所以x+y≤-2.
(2)==+-3≥2 -3=1,
當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2y時等號成立.
此時z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3·2y·y+4y2=2y2.
∴x+2y-z=2y+2y-2y2=-2(y-1)2+2,
∴當(dāng)y=1,x=2,z=2時,x+2y-z取最大值,最大值為2.
(3)∵a+b=2,b>0,∴b=2-a>0,得a<2.
5、
令t=+=+,
①當(dāng)0<a<2時,[來源:]
t=+=++≥+2 =,[來源:]
當(dāng)且僅當(dāng)=,即b=2a,a=∈(0,2)時,t取得最小值為.
②當(dāng)a<0時,
t=--=-++≥-+2 =,當(dāng)且僅當(dāng)-=-,即b=-2a,a=-2時,t取得最小值為.∵>,∴+的最小值為.
[答案] (1)D (2)C (3)
利用基本不等式求最值問題的常見類型及解題策略
(1)知和求積的最值.求解此類問題的關(guān)鍵:明確“和為定值,積有最大值”.但應(yīng)注意以下兩點(diǎn):①具備條件——正數(shù);②驗(yàn)證等號成立.
(2)知積求和的最值.明確“積為定值,和有最小值”,直接應(yīng)用基本不
6、等式求解,但要注意利用基本不等式求最值的條件.
(3)構(gòu)造不等式求最值.在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時,通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換,構(gòu)造不等式求解.
1.已知f(x)=x+-2(x<0),則f(x)有( )
A.最大值為0 B.最小值為0
C.最大值為-4 D.最小值為-4
解析:選C ∵x<0,∴-x>0,
∴x+-2=--2≤-2 -2=-4,當(dāng)且僅當(dāng)-x=-,即x=-1時等號成立.
2.(2014·衢州模擬)已知a,b∈R+,且a+b=1,則的最小值為________.
解析:==
7、3;=5+2≥5+4=9.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時,取等號.
答案:9
3.(2013·四川高考)已知函數(shù)f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3時取得最小值,則a=________.
解析:∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+≥2 =4,當(dāng)且僅當(dāng)4x=時等號成立,此時a=4x2,由已知x=3時函數(shù)取得最小值,所以a=4×9=36.
答案:36
考點(diǎn)三
基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
[例3] 為響應(yīng)國家擴(kuò)大內(nèi)需的政策,某廠家擬在2014年舉行促銷活動,經(jīng)調(diào)查測算,該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用t(t≥0)萬元滿足x=
8、4-(k為常數(shù)).如果不搞促銷活動,則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件.已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分).
(1)將該廠家2014年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用t萬元的函數(shù);
(2)該廠家2014年的年促銷費(fèi)用投入多少萬元時,廠家利潤最大?
[自主解答] (1)由題意有1=4-,
得k=3,故x=4-.
故y=1.5××x-(6+12x)-t=3+6x-t=3+6-t=27--t(t≥0).
(2)由(1)知:y=27--
9、t=27.5-.
基本不等式
+≥2×=6,
當(dāng)且僅當(dāng)=t+,即t=2.5時等號成立.
故y=27--t=27.5-≤27.5-6=21.5.
當(dāng)且僅當(dāng)=t+,即t=2.5時,等號成立,y有最大值21.5.
所以2014年的年促銷費(fèi)用投入2.5萬元時,該廠家利潤最大,最大利潤為21.5萬元.
【方法規(guī)律】
解實(shí)際應(yīng)用題時應(yīng)注意的問題
(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù);
(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后,只需再利用基本不等式求得函數(shù)的最值;
(3)在求函數(shù)的最值時,一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求.
(4)有些
10、實(shí)際問題中,要求最值的量需要用幾個變量表示,同時這幾個變量滿足某個關(guān)系式,這時問題就變成了一個條件最值,可用求條件最值的方法求最值.
某單位建造一間地面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房,由于地理位置的限制,房子側(cè)面的長度x不得超過5 m.房屋正面的造價為400元/m2,房屋側(cè)面的造價為150元/m2,房頂和地面的造價費(fèi)用合計(jì)為5 800元,如果墻高為3 m,且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用.當(dāng)側(cè)面的長度為多少時,總造價最低?
解:由題意可得,造價y=3+5 800=900+5 800(0<x≤5),
則y=900+5 800≥900×2 +5 800=13 000(元),當(dāng)
11、且僅當(dāng)x=,即x=4時取等號.
故當(dāng)側(cè)面的長度為4米時,總造價最低.
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個技巧——公式的逆用
運(yùn)用公式解題時,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a2+b2≥2ab逆用就是ab≤;≥(a,b>0)逆用就是ab≤2(a,b>0)等,還要注意“添”“拆”項(xiàng)技巧和公式等號成立的條件等.
2個變形——基本不等式的變形
(1)≥2≥ab(a,b∈R,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號);
(2) ≥≥≥(a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)
a=b時取等號).
3個注意點(diǎn)——利用基本不等式求最值應(yīng)注意的問題
(1)使用基本不等式求最值,其失誤的真正原因是對其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值,這三個條件缺一不可.
(2)在運(yùn)用基本不等式時,要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.[來源:]
(3)連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴(yán)格,要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致.
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