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1、
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課時提升作業(yè)(二十五)
一、選擇題
1.(20xx·合肥模擬)下列命題中是真命題的是 ( )
①對任意兩向量a,b,均有:|a|-|b|<|a|+|b|;
②對任意兩向量a,b,a-b與b-a是相反向量;
③在△ABC中,+-=0;
④在四邊形ABCD中,(+)-(+)=0;
⑤在△ABC中,-=.
(A)①②③ (B)②④⑤
(C)②③④ (D)②③
2.如圖所示,在△A
2、BC中,=,=3,若=a,=b,則等于( )
(A)a+b (B)-a+b
(C)a+b (D)-a+b
3.(20xx·宜春模擬)在以下各命題中,假命題的個數(shù)為 ( )
①“|a|=|b|”是“a=b”的必要不充分條件
②任一非零向量的方向都是唯一的
③“a∥b”是“a=b”的充分不必要條件
④若|a|-|b|=|a|+|b|,則b=0
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4.(20xx·??谀M)已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點,D為BC邊中點,且2++=0,那么( )
(A)= (B)=2
(C)=3 (D
3、)2=
5.若O是A,B,P三點所在直線外一點且滿足條件:=a1+a4021,其中{an}為等差數(shù)列,則a20xx等于 ( )
(A)-1 (B)1 (C)- (D)
6.設(shè)a,b是非零向量,則下列不等式中不恒成立的是 ( )
(A)|a+b|≤|a|+|b|
(B)|a|-|b|≤|a+b|
(C)|a|-|b|≤|a|+|b|
(D)|a|≤|a+b|
7.已知O是平面上的一定點,在△ABC中,動點P滿足條件=+λ(+),其中λ∈[0,+∞),則點P的軌跡一定通過△ABC的( )
(A)內(nèi)心 (B)重心 (C)垂心 (D)外心
8.(20x
4、x·西安模擬)在△ABC中,M是BC邊上一點,N是AM的中點,=λ+μ,則λ+μ= ( )
(A) (B)
(C) (D)
9.(20xx·蚌埠模擬)已知點P為△ABC所在平面上的一點,且=+t,其中t為實數(shù),若點P落在△ABC的內(nèi)部,則t的取值范圍是 ( )
(A)0<t< (B)0<t<
(C)0<t< (D)0<t<
10.(能力挑戰(zhàn)題)設(shè)A1,A2,A
5、3,A4,A5是平面上給定的5個不同點,則使++++=0成立的點M的個數(shù)為( )
(A)0 (B)1 (C)5 (D)10
二、填空題
11.如圖,在正六邊形ABCDEF中,已知=c,=d,則= (用c與d表示).
12.M,N分別在△ABC的邊AB,AC上,且=,=,BN與CM交于點P,設(shè)=a,=b,若=xa+yb(x,y∈R),則x+y= .
13.(20xx·吉安模擬)如圖所示,=3,O在線段CD上,且O不與端點C,D重合,若=m+(1-m),則實數(shù)m的取值范圍為 .
14.(能力挑戰(zhàn)題)已知△ABC中,=a,=b,對于平面ABC
6、上任意一點O,動點P滿足=+λa+λb,則動點P的軌跡所過的定點為 .
三、解答題
15.(能力挑戰(zhàn)題)如圖,在△ABC中,在AC上取點N,使得AN=AC,在AB上取點M,使得AM=AB,在BN的延長線上取點P,使得NP=BN,在CM的延長線上取一點Q,使MQ=λCM時,=,試確定λ的值.
答案解析
1.【解析】選D.①假命題.∵當b=0時,|a|-|b|=|a|+|b|,∴該命題不成立.
②真命題.∵(a-b)+(b-a)=a+(-b)+b+(-a)=a+(-a)+b+(-b)=(a-a)+(b-b)=0,
∴a-b與b-a是相反向量.
③真命題.∵+-
7、=-=0,
∴命題成立.
④假命題.∵+=,+=,
∴(+)-(+)=-=+≠0,
∴該命題不成立.
⑤假命題.∵-=+=≠,
∴該命題不成立.
2.【思路點撥】結(jié)合圖形,根據(jù)三角形法則把未知向量一步步地轉(zhuǎn)化為已知向量進行求解.
【解析】選B.=+
=+=+(+)
=++
=-+×=-+(+)
=-+=-a+b.
3.【解析】選A.∵a,b方向不同?a≠b;
∴僅有|a|=|b|a=b;
但反過來,有a=b?|a|=|b|.
故命題①是正確的.
命題②正確.
∵a∥ba=b,而a=b?a∥b,故③不正確.
∵|a|-|b|=|a|+|b|,∴-|
8、b|=|b|,
∴2|b|=0,∴|b|=0,即b=0,故命題④正確.
綜上所述,4個命題中,只有③是錯誤的,故選A.
4.【解析】選A.由2++=0可知,O是底邊BC上的中線AD的中點,故=.
5.【解析】選D.因為A,B,P三點共線,且=a1+a4021,所以a1+a4021=1,故a20xx==.
6.【解析】選D.由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知A,B,C恒成立,取a+b=0,則D不成立.
【誤區(qū)警示】解答本題時容易忽視向量共線的情形.
7.【解析】選A.由條件得=(+),因為,分別是,方向上的單位向量,故+在∠A的平分線上,從而向量也在∠A的平分線上.
9、故選A.
8.【解析】選A.設(shè)=m+n,
∵B,M,C三點共線,∴m+n=1,
又=2,
∴2=m+n,
即=+,
∴λ+μ=+=(m+n)=.
9.【解析】選D.如圖,E,F分別為AB,BC的三等分點,由=
+t可知,
P點落在EF上,而=,
∴點P在E點時,t=0,
點P在F點時,t=.而P在△ABC的內(nèi)部,
∴0<t<.
10.【思路點撥】類比三角形的“重心”的性質(zhì)解題.
【解析】選B.在平面中我們知道“三角形ABC的重心G滿足:++=0”則此題就能很快地答出,點M即為這5個點連線組成的平面圖形的重心,即點M只有1個.
11.【解析】連接BE,C
10、F,設(shè)它們交于點O,則=d-c,
由正六邊形的性質(zhì)得===d-c.
又=d,
∴=+=d+(d-c)=d-c.
答案:d-c
12.【解析】如圖,設(shè)=λ,=μ,
則在△ABP中,=+=a+λ=a+λ(-)
=a+λ(b-a)=(1-λ)a+b.
在△ACP中,
=+=b+μ=b+μ(-)
=b+μ(a-b)=a+(1-μ)b.
由平面向量基本定理得
解得
因此
故x+y=.
答案:
13.【解析】設(shè)=k,則k∈(0,).
∴=+=+k=+k(-)
=(1+k)-k,
又=m+(1-m),
∴m=-k,
∵k∈(0,),∴m∈(-,0).
答案:(-,
11、0)
14.【解析】依題意,由=+λa+λb,
得-=λ(a+b),
即=λ(+).
如圖,以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABDC,對角線交于點M,
則=λ,
∴A,P,D三點共線,
即P點的軌跡是AD所在的直線,由圖可知P點軌跡必過△ABC邊BC的中點M.
答案:邊BC的中點
【方法技巧】向量在平面幾何中的應(yīng)用技巧
平面向量的知識在解決平面幾何中的問題時應(yīng)用非常廣泛:利用共線向量定理,可以證明點共線,兩直線平行,并進而判定一些特殊圖形;利用向量的模,可以說明線段間的長度關(guān)系,并進而求解圖形的面積.在后續(xù)內(nèi)容中,向量的應(yīng)用將更廣泛.要注意圖形中的線段、向量是如何相互轉(zhuǎn)化的.
12、
15.【解析】=-=(-)=(+)=.
=-=-λ=+λ.
令=,
∴+λ=,
∴λ=(-)=,
∴λ=.
【變式備選】如圖所示,在△ABC中,點M是BC的中點,點N在邊AC上,且AN=2NC,AM與BN相交于點P,求AP∶PM的值.
【解析】設(shè)=e1,=e2,
則=+=-3e2-e1,=2e1+e2.
∵A,P,M和B,P,N分別共線,
∴存在λ,μ∈R,
使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2.
故=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,
而=+=2e1+3e2,
∴∴
∴=,∴=,
即AP∶PM=4.
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