《中考數(shù)學(xué)真題類(lèi)編 知識(shí)點(diǎn)012一元二次方程的代數(shù)應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué)真題類(lèi)編 知識(shí)點(diǎn)012一元二次方程的代數(shù)應(yīng)用（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、△+△數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編△+△ 一、選擇題 1. （ 2016福建福州，12，3分）下列選項(xiàng)中，能使關(guān)于x 的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有實(shí)數(shù)根的是 A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＝0 C．c＞0 D．c＝0 【答案】D 【逐步提示】本題考查了一元二次方程根的判別式，求字母的取值范圍，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式的情況．據(jù)方程有實(shí)數(shù)根可得ac≤4，且a≠0，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可． 【詳細(xì)解答】解：∵一元二次方程有實(shí)數(shù)根， ∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，∴ac≤4，且a≠0； A.若a＞0，當(dāng)

2、a=1、c=5時(shí)，ac=5＞4，此選項(xiàng)錯(cuò)誤； B.a=0不符合一元二次方程的定義，此選項(xiàng)錯(cuò)誤； C.若c＞0，當(dāng)a=1、c=5時(shí)，ac=5＞4，此選項(xiàng)錯(cuò)誤； D.若c=0，則ac=0≤4，此選項(xiàng)正確，故答案為D . 【解后反思】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（1）當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)b2－4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；這些結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立.另外一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)根b2－4ac≥0． 【關(guān)鍵詞】一元二次方程根的判別式； 2. （2016甘肅蘭州，9，4分

3、）公園有一塊正方形的空地，后來(lái)從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花（如圖）原空地一邊減少了1m，另一邊減少了2m，剩余空地的面積為18m2，求原正方形的邊長(zhǎng)．設(shè)原正方形的空地的邊長(zhǎng)為xm，則可列方程為（ ） A．(x+1) (x+2)=18 B．x2-3x＋16=0 C．(x-1) (x-2)=18 D．x2+3x＋16=0 【答案】C 【逐步提示】根據(jù)題意，剩余空地是一個(gè)長(zhǎng)方形，先用x的代數(shù)式表示剩余的長(zhǎng)方形空地的長(zhǎng)與寬，再根據(jù)等量關(guān)系“剩余空地的面積為18 m2”列出方程. 【詳細(xì)解答】解：根據(jù)題意，剩余的長(zhǎng)方形空地的長(zhǎng)為(x-1) m，寬為(x-2) m，所以可列出

4、方程得(x-1) (x-2)=18，故選擇C. 【解后反思】列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟為： （1）審：是指審清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的等量關(guān)系. （2）設(shè)：根據(jù)題意，設(shè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù). 設(shè)未知數(shù)有“直接設(shè)元”與“間接設(shè)元”兩種方法. （3）列：將相等關(guān)系中的各個(gè)量用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，再根據(jù)相等關(guān)系列出方程. （4）解：解方程，得出未知數(shù)的值. （5）驗(yàn)：審查得出的方程的解是否符合題意，舍去不合題意的解. （6）答：寫(xiě)出答案. （注意，如果是間接設(shè)元，要先將未知數(shù)的值轉(zhuǎn)化為題中所求的量，再作答）. 【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用 3.

5、（2016廣東省廣州市，10，3分）定義運(yùn)算：a★b=a(1－b)，若a，b是方程x2－x＋m=0(m＜1)的兩根，則b★b－a★a的值為（ ） A．0 B．1 C．2 D．與m有關(guān) 【答案】A 【逐步提示】利用方程根的定義，把a(bǔ)，b代入方程x2－x＋m=0(m＜1)，可得“a2－a”與“b2－b”均等于m．再根據(jù)新定義運(yùn)算，化簡(jiǎn)求值式b★b－a★a，并適當(dāng)整理構(gòu)建“a2－a”與“b2－b”進(jìn)行整體求值． 【詳細(xì)解答】解：∵a，b是方程x2－x＋m=0(m＜1)的兩根，∴a2－a＋m=0，b2－b＋m=0，∴a2－a=b2－b=－m．∵a★b=a(1－b)，∴b★

6、b－a★a=b(1－b)－a(1－a)=b－b2－a+a2=(a2－a)－(b2－b)=0，故選擇A． 【解后反思】（1）新定義運(yùn)算型試題，要抓住新定義運(yùn)算的法則或者順序，并將此定義作為解題的依據(jù)，通常照套法則即可．需要注意兩點(diǎn)：①有括號(hào)時(shí)應(yīng)當(dāng)先算括號(hào)里面的；②新定義的運(yùn)算往往不一定具備交換律和結(jié)合律，不能隨便套用運(yùn)算律解題．總之，新定義型問(wèn)題是“披了一件新外衣”，解決方法還是用原知識(shí)點(diǎn)． （2）整體思想就是在解決問(wèn)題時(shí)，不是著眼于它的局部特征，而是把注意力和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)上，通過(guò)對(duì)整體的把握和運(yùn)用達(dá)到解決問(wèn)題的目的． 【關(guān)鍵詞】代數(shù)式求值；方程的解；新定義運(yùn)算；整體思想

7、4. （ 2016河北省，14，2分）a，b，c為常數(shù)，且（a-c）2>a2+c2，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0根的情況是（ ）[來(lái)源: A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．有一根為0 【答案】B 【逐步提示】本題考查了一元二次方程根的判別式，先化簡(jiǎn)不等式得到ac＜0，進(jìn)而判斷出b2－4ac的符號(hào)，由此可知方程根的情況. 【詳細(xì)解答】解：∵（a－c）2＞a2+c2，即a2－2ac+c2＞a2+c2，∴ac＜0，a≠0.∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c是一元二次方程，且b2－4ac＞0，故該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

8、 【解后反思】1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，一元二次方程有實(shí)數(shù)根，以上結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．2.對(duì)于方程ax2＋bx＋c＝0來(lái)說(shuō)，只有當(dāng)a≠0時(shí)，這個(gè)方程才是一元二次方程. 【關(guān)鍵詞】 不等式；根的判別式；一元二次方程的定義 4. 5. （ 2016湖北省黃岡市，4，3分）已知方程3x2-4x-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2.則 x1+x2=( ) A. B. 3 C. D. 【

9、答案】D 【逐步提示】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系,并能準(zhǔn)確的確定方程中的系數(shù)。觀察方程可知a=3,b=-4,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x1＋x2=-可以求出其值。 【詳細(xì)解答】解：∵方程3x2-4x-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2 ，a=3, b=-4. ∴x1+x2=.故選擇D. 【解后反思】欲求一元二次方程的兩根之和，只需熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系即可，如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1，x2,,那么根與系數(shù)具有如下關(guān)系：x1＋x2=， x1x2=. 【關(guān)鍵詞】 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。 6.（2016湖南

10、省衡陽(yáng)市，9，3分）隨著居民經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高以及汽車(chē)業(yè)的快速發(fā)展，家用汽車(chē)已越來(lái)越多地進(jìn)入普通家庭。抽樣調(diào)查顯示，截止至2015年底某市汽車(chē)擁有量為16.9萬(wàn)輛，已知2013年底該市汽車(chē)擁有量為10萬(wàn)輛，設(shè)2013年底至2015年底該市汽車(chē)擁有量的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【逐步提示】本題考查了列一元二次方程解應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是找出題目中的相等關(guān)系，能用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相等關(guān)系中的相關(guān)量．根據(jù)增長(zhǎng)率問(wèn)題題意列出2014年底該市汽車(chē)擁有量，再列出2015年底該市汽車(chē)擁有

11、量，然后根據(jù)2015年底某市汽車(chē)擁有量為16.9萬(wàn)輛為相等關(guān)系列方程求解． 【詳細(xì)解答】解：根據(jù)題意可知，2014年底該市汽車(chē)擁有量為，2015年底該市汽車(chē)擁有量為 ，所以方程為 ，故選擇A . 【解后反思】增長(zhǎng)（降低）率是列方程解實(shí)際問(wèn)題最常見(jiàn)的題型之一，對(duì)于平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，正確理解有關(guān)“增長(zhǎng)”問(wèn)題的一些詞語(yǔ)的含義是解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，常見(jiàn)的詞語(yǔ)有：“增加”“增加到”“增加了幾倍”“增長(zhǎng)到幾倍”“增長(zhǎng)率”等等．弄清基數(shù)、增長(zhǎng)（減少）后的量及增長(zhǎng)（減少）次數(shù). 【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用 ；增長(zhǎng)率問(wèn)題 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

12、 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 二、填空題 1. （ 2016甘肅省天水市，15，4分）將一些相同的“○”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)“龜圖”中“○”的個(gè)數(shù)，若第n個(gè)“龜圖”中有245個(gè)“○”，則n＝______． …… 【答案】16． 【逐步提示】本題考查了從圖形規(guī)律中得出數(shù)字規(guī)律以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是通過(guò)歸納與總結(jié)，并結(jié)合圖形得出數(shù)字之間的規(guī)律． 【詳

13、細(xì)解答】解：觀察圖形，發(fā)現(xiàn)每個(gè)“龜圖”中“○”的個(gè)數(shù)為： 第一個(gè)：1＋4＝1＋4＋0×1； 第二個(gè)：1＋4＋2＝1＋4＋1×2； 第三個(gè)：1＋4＋6＝1＋4＋2×3； 第四個(gè)：1＋4＋12＝1＋4＋3×4； …… 第n個(gè)：1＋4＋(n－1)·n＝n2－n＋5． 所以n2－n＋5＝245，解得n1＝16，n2＝－15（舍去），故答案為16． 【解后反思】實(shí)際中，部分學(xué)生在求解時(shí)沒(méi)有仔細(xì)研究圖形，僅是就每個(gè)圖形數(shù)出個(gè)數(shù)，從而導(dǎo)致無(wú)法發(fā)現(xiàn)規(guī)律．另外，還可以這樣解：先設(shè)第n個(gè)圖形有y個(gè)“○”，然后設(shè)y＝an2＋bn＋c，接下來(lái)，

14、由n＝1時(shí)，y=5；n=2時(shí)，y=7；n=3時(shí)，y=11，列三元一次方程組，解得，從而得到y(tǒng)＝n2－n＋5．最后，把y=245代入獲解，后續(xù)過(guò)程同上． 【關(guān)鍵詞】一元二次方程的解法——因式分解法；規(guī)律探索型問(wèn)題；特殊與一般思想． 2. （ 2016省市，11，3分）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍__________________. 【答案】k>- 【逐步提示】本題考查了一元二次方程實(shí)數(shù)根的情況與根的判別式之間的關(guān)系，利用根的判別式列出不等式求字母系數(shù)的取值范圍解題的關(guān)鍵是熟練掌握根的判別式與一元二次方程實(shí)數(shù)根的情況之間的關(guān)系.解題的一般步驟：（1）首先由

15、方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得=b2-4ac>0，（2）解一元一次不等式求出k取值范圍. 【詳細(xì)解答】解：∵方程x2+3x-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ∴=b2-4ac>0,即32-4（-k）>0 解之得k>-，故答案為k>- . 【解后反思】本題重難點(diǎn)是一元二次方程實(shí)數(shù)根的情況與根的判別式之間的關(guān)系.一般方法規(guī)律為一元二次方程實(shí)數(shù)根的情況與根的判別式之間的關(guān)系有三種情況：（1）當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根. 注

16、意方程要化成一般形式 【關(guān)鍵詞】一元二次方程；根的情況；根的判別式；解一元一次不等式. 3. （ 2016湖北省黃石市，12，3分）關(guān)于的一元二次方程＝0的兩實(shí)數(shù)根之積為負(fù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________． 【答案】>． 【逐步提示】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系．解答時(shí)直接運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系列不等式即可求解． 【詳細(xì)解答】解：由一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，得＜0，解得>，故答案為>． 【解后反思】已知兩根的和或兩根的積要聯(lián)想一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決字母系數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)

17、方法，熟練掌握＝，＝可方便快捷的解題． 【關(guān)鍵詞】一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系． 4. （ 2016湖北省十堰市，13，3分）某種藥品原價(jià)100元，連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為81元，若每次下降的百分率相同，則這個(gè)百分?jǐn)?shù)是___________ 【答案】10﹪ 【逐步提示】本文主要考查一元二次方程中的降低率在實(shí)際中的應(yīng)用，解題的思路主要是正確的列出一元二次方程，解一元二次方程，合理的取舍，做出答案. 【詳細(xì)解答】解：設(shè)這個(gè)百分?jǐn)?shù)為x,那么根據(jù)題意可以得 100（1-x）2=81，解得：x=0.1，x=1.9 （不合題意舍去）.故答案為10﹪ . 【解后反思】本題是列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題

18、，它是一元二次方程中的重點(diǎn)，但并非難點(diǎn).解題規(guī)律：對(duì)于連續(xù)兩次增長(zhǎng)或降低的問(wèn)題，若初始數(shù)值為a，連續(xù)兩次增長(zhǎng)或降低后的 數(shù)值為b，平均增長(zhǎng)率或降低率相同，則可得a(1x)2＝b．本題突出的思想是方程思想：方程是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為解方程來(lái)求解.在許多問(wèn)題中常常利用勾股定理來(lái)求一些線(xiàn)段的長(zhǎng)，當(dāng)題目中線(xiàn)段之間的關(guān)系比較復(fù)雜時(shí)，往往把所求線(xiàn)段的長(zhǎng)設(shè)為未知數(shù)，根據(jù)勾股定理等列出方程，通過(guò)解方程來(lái)完成. 【關(guān)鍵詞】一元二次方程的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用---增長(zhǎng)率問(wèn)題 5. （ 2016江蘇省淮安市，14，3分）若關(guān)于x的x2+6x+k=0一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)

19、數(shù)根，則k＝　　　　　　． 【答案】9． 【逐步提示】本題考查了一元二次方程根的判別式，理解一元二次方程根的判別式與一元二次方程解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由方程根的情況，判斷根的判別式的大小． 【詳細(xì)解答】解：若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則其判別式等于零． ∴62－4k＝0，解得k＝9，故答案為9 ． 【解后反思】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情況與根的判別式△=b2-4ac 之間的關(guān)系：①△＞0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②△=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③△＜0沒(méi)有實(shí)數(shù)根. 【關(guān)鍵詞】一元二次方程根的判別式 6.（2016江蘇省南京市，12，2分）設(shè)x1、x2 是方程

20、x2－4x＋m＝0 的兩個(gè)根，且x1＋x2－x1x2＝1，則x1＋x2＝ ▲ ，m＝ ▲ ． 【答案】4,3 【逐步提示】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系正確寫(xiě)出關(guān)系式．本題先由根與系數(shù)的關(guān)系得到x1＋x2，x1x2的等式，再化為關(guān)于m的一元一次方程求解． 【詳細(xì)解答】解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2=4，，x1x2=m，x1＋x2－x1x2＝4-m=1，m=3．故答案為4,3． 【解后反思】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決字母系數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)方法，若m、n為一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則，，，還有m2+n2＝（m

21、+n）2－2mn；m2n+mn2＝mn（m+n）；；．這些都是常用的恒等變形． 【關(guān)鍵詞】 一元二次方程；一元二次方程的概念及其解法；根與系數(shù)的關(guān)系； 7. （2016江蘇省宿遷市，12，3分）若一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 ． 【答案】k<1 【逐步提示】根據(jù)題意可以知道b2－4ac>0，由此列出不等式，解不等式，求出k的取值范圍． 【詳細(xì)解答】 解： ∵此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ∴4－4k>0 解不等式得：k<1，故答案為 k<1 ． 【解后反思】一元二次方程ax2+bx+c=

22、0(a≠0)，（1）當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)b2－4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；這些結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．另外一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)根b2－4ac≥0． 【關(guān)鍵詞】 一元二次方程根的判別式 8. （2016山東省德州市，15，4分）方程的兩根為、，則 . 【答案】 【逐步提示】先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再借助完全平方公式用、表示出即可求出。 【詳細(xì)解答】解：∵方程的兩根為、， ∴， ∴ ，故答案為. 【解后反思】（1）根與系數(shù)的關(guān)系是解決一元二次

23、方程與根有關(guān)的問(wèn)題常用的方法，解決這類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵是用兩根和和兩根積正確的表示出所求代數(shù)式；（2）當(dāng)然，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，在一元二次方程可解的情況下，也可以先解出一元二次方程的兩根，代入代數(shù)式求值。 【關(guān)鍵詞】 一元二次方程的解；根與系數(shù)的關(guān)系； 整體思想 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三、解答題 1. （ 2016甘

24、肅省武威市、白銀市、定西市、平?jīng)鍪?、酒泉市、臨夏州、張掖市等9市，21，8分）已知關(guān)于x的方程x2＋mx＋m－2=0 （1）若此方程的一個(gè)根為1，求m的值； （2）求證：不論m取何實(shí)數(shù)，此方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 【逐步提示】本題考查方程的根的定義以及一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是配方法的熟練應(yīng)用（1）把=1代入方程即可得到一個(gè)關(guān)于m的一元一次方程，解該方程即可； （2）要證明一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只要證明原一元二次方程的根的判別式為正數(shù)即可； 【詳細(xì)解答】解：把=1代入方程 得 ， 解得 =．

25、 2分 （2）證明：△= 3分 4分 ∵ ≥0， ∴ ＞0， 即 △>0， 5分 ∴ 此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 6分 【解后反思】（1）一元二次方程的解（根）的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的

26、值是一元二次方程的解，已知含參數(shù)的方程的根，則可根據(jù)方程根的定義直接代入方程，得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)的新方程，從而確定參數(shù)值，但要注意問(wèn)題中的隱含條件，如一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，對(duì)于特殊的一元二次方程也可以借助于根與系數(shù)的關(guān)系求解；（2）對(duì)于一元二次方程(，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根. 所以要證明一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只要說(shuō)明根的判別式大于0即可，而常用的方法是配方法，把根的判別式配成一個(gè)完全平方式在加上一個(gè)正數(shù)的形式，即的形式． 【關(guān)鍵詞】 一元二次方程；一元二次方程根的判別式；代數(shù)證明；配方法； 2. （2016貴州

27、省畢節(jié)市，23，10分）為進(jìn)一步發(fā)展基礎(chǔ)教育，自2014年以來(lái)，某縣加大了教育經(jīng)費(fèi)的投入，2014年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)6000萬(wàn)元．2016年投入教育經(jīng)費(fèi)8640萬(wàn)元．假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率相同． （1）求這兩年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率； （2）若該縣教育經(jīng)費(fèi)的投入還將保持相同的年平均增長(zhǎng)率，請(qǐng)你預(yù)算2017年該縣投入教育經(jīng) 費(fèi)多少萬(wàn)元． 【逐步提示】（1）本題考查了列一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握增長(zhǎng)率問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，找到列方程所需要的等量關(guān)系．本題的等量關(guān)系為：2014年教育經(jīng)費(fèi)×（1＋年平均增長(zhǎng)率）＝2016年教育經(jīng)費(fèi)；（2）本題考查了

28、預(yù)測(cè)、有理數(shù)的計(jì)算，解題關(guān)鍵是掌握增長(zhǎng)率問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系：2016年的教育經(jīng)費(fèi)×（1＋增長(zhǎng)率）＝2017年的教育經(jīng)費(fèi)．利用此公式直接計(jì)算即可． 【詳細(xì)解答】解：（1）設(shè)該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x.則有： 6000(1＋x)2＝8640． 解得x＝0.2＝20%． 答：該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為20%． （2）因?yàn)?016年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)為8640萬(wàn)元，且增長(zhǎng)率為20%，所以2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)為8640×（1＋0.2）＝10368（萬(wàn)元）． 【解后反思】此類(lèi)問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是：①審題不到位，看不出題目能反映全部含義的相等關(guān)系；②忽視

29、檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際問(wèn)題．設(shè)基數(shù)為a，平均增長(zhǎng)（或降低）率為x，增長(zhǎng)（或降低）的次數(shù)為n，增長(zhǎng)（或降低）后的量為b，則有表達(dá)式：a(1±x)n＝b． 【關(guān)鍵詞】 一元二次方程的應(yīng)用——增長(zhǎng)率問(wèn)題； 3. （2016湖北省荊州市，24，12分）已知在關(guān)于x的分式方程①和一元二次方程（2－k）x2＋3mx＋（3－k）n＝0②中，k、m、n均為實(shí)數(shù)，方程①的根為非負(fù)數(shù)． （1）求k的取值范圍； （2）當(dāng)方程②有兩個(gè)整數(shù)根x1、x2，k為整數(shù)，且k＝m＋2，n＝1時(shí)，求方程②的整數(shù)根； （3）當(dāng)方程②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，滿(mǎn)足x1（x1－k）＋ x2（x2－k）＝（x1－k）

30、（x2－k），且k為負(fù)整數(shù)時(shí)，試判斷|m|≤2，是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【逐步提示】本題考查分式方程的解法、一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．（1）由方程①的根為非負(fù)數(shù)求k的取值范圍，注意x－1≠0；（2）由一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系列出與m相關(guān)的不等式組，因k、m都為整數(shù)，得m＝±1；（3）由一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系列出與m、n相關(guān)的不等式組，并對(duì)x1（x1－k）＋ x2（x2－k）＝（x1－k）（x2－k）整理得出 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)秘的最小值是4，∴m2≤4，即|m|≤2． 【詳細(xì)解答】解：（

31、1）解分式方程①得x＝，∵方程①的根為非負(fù)數(shù)，∴，解得k≥－1且k≠1． （2）將k＝m＋2，n＝1代入方程②，得mx2－3mx＋m－1＝0． ∵方程②是一元二次方程，∴k≠2，m≠0， ∵方程②有兩個(gè)整數(shù)根x1、x2， ∴，∴m＞0或m≤，且1－為整數(shù)， ∵k為整數(shù)，∴m也為整數(shù)，∴m＝±1． 當(dāng)m＝1時(shí)，x2－3x＝0，解得x1＝3，x2＝0； 當(dāng)m＝－1時(shí)，－x2＋3x－2＝0，解得x1＝2，x2＝1． （3）∵方程②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，∴， ∵k是負(fù)整數(shù)，∴（3－k）（2－k）＞0，∴n≤， 化簡(jiǎn)x1（x1－k）＋ x2（x2－k）＝（x1－k）（x2

32、－k），得（x1＋x2）2＝3x1x2＋k2，將代入，得， 化簡(jiǎn)得， ∴ ， 當(dāng)k≤－1時(shí)，隨著k的減小而增大，≥4， 當(dāng)≥4時(shí)，隨著的增大而增大，≥9， ∴的最小值是4，∴m2≤4，即|m|≤2． 【解后反思】（1）利用分式方程的解確定字母系數(shù)的取值范圍的關(guān)鍵是理解分式方程有解的含義；分式方程有解包括兩種情況：一是字母的取值要使分式方程對(duì)應(yīng)的整式方程有解；二是字母的取值不能使分式方程產(chǎn)生增根；（2）根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系建立等式、不等式，求方程中參數(shù)值或取值范圍，注意整體思想、轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用. 【關(guān)鍵詞】分式方程

33、的解法；一元二次方程的解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系；不等式的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)；轉(zhuǎn)化思想 4. （ 2016湖北省十堰市，21，7分）已知關(guān)于x的方程(x-3)(x-2)-p2=0. （1）求證：無(wú)論p取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）設(shè)方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1,x2，且滿(mǎn)足x12+x22=3x1x2，求實(shí)數(shù)p的值. 【逐步提示】本題主要考查一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系及利用兩根之間的數(shù)量關(guān)系確定方程的系數(shù). 解答此題第（1）小題的關(guān)鍵是要說(shuō)明4p2是非負(fù)數(shù)，1+4p2是大于大于等于1的正數(shù)，從而得出方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；解答第（2）的關(guān)鍵是把x1

34、2+x22=3x1x2化為（x1+x2）2=-5x1x2=0，從而把x1、x2的關(guān)系轉(zhuǎn)化為p的一元二次方程，求出p的值.本題的解題思路是要說(shuō)明方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，就是要說(shuō)明其根的判別式是正數(shù)；由x12+x22=3x1x2，求實(shí)數(shù)p的值的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根，注意必要的說(shuō)明. 【詳細(xì)解答】解：（1） 原方程可化為x2-5x+(6-p2)=0, △=(-5)2-4×(6-p2)=1+4p2 ∵無(wú)論p取何值時(shí)，4p2≥0,∴1+4p2＞0, 即△＞0， ∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 （2）由題意得 ∵x12+x22=3x1x2， ∴（x1+x2）2=-5

35、x1x2=0 ∴25-5(6-p2)=0, ∴p1=1, p2=-1. 由（1）得p可以取任何實(shí)數(shù)，所以p的值為1，-1. 【解后反思】此類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型：（1）判定方程根的情況；（2）確定方程系數(shù)的范 圍;(3) 討論方程根的解; 基本規(guī)律：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（1）當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)b2－4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；這些結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立.另外一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)根b2－4ac≥0．常見(jiàn)的代數(shù)式變形有： ①；②； ③ ；④ ； ⑤

36、． 上述的變換都突出了整體的思想：整體思想是指把研究對(duì)象的某一部分（或全部）看成一個(gè)整體,通過(guò)觀察與分析，找出整體與局部的聯(lián)系，從而在客觀上尋求解決問(wèn)題的新途徑。整體是與局部對(duì)應(yīng)的，按常規(guī)不容易求某一個(gè)（或多個(gè)）未知量時(shí)，可打破常規(guī)，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，把一組數(shù)或一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)整體，從而使問(wèn)題得到解決。 【關(guān)鍵詞】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系 5. （2016湖南省湘潭市，20，6分）已知關(guān)于x的一元二次方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、. （1）求m的值； （2）當(dāng)時(shí)，求另一個(gè)根的值. 【逐步提示】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)， ，然后解關(guān)

37、于m的不等式，即可求出m的取值范圍；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知，將的值代入，得到一個(gè)關(guān)于的方程，解之即可求出的值. 【詳細(xì)解答】解：（1）∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴，∴，∴. （2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，，∴. 【解后反思】根據(jù)一元二次方程的根的判別式，已知方程根的情況可以求出未知系數(shù)的取值范圍；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，已知一個(gè)根的值可以求出另一個(gè)根的值. 【關(guān)鍵詞】一元二次方程根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系；解一元一次不等式 6.（ 2016年湖南省湘潭市，20，6分）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2， （1）求m

38、的取值范圍 （2）當(dāng)x1=1時(shí)，求另一個(gè)根x2的值。 【逐步提示】本題考查了一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握的判別式判斷根的情況和根與系數(shù)的關(guān)系。（1）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可知判別式大于0，求出m的取值范圍；（2）方法一：方程中已知一次項(xiàng)系數(shù)，利用兩個(gè)根的和可以求出另一個(gè)根，方法二：根據(jù)方程根的意義代入到原方程，求出m的值，再解方程求出方程的另一個(gè)根。 【詳細(xì)解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²－3x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴△＝（－3）2－4m＝9－4m＞0，∴m＜； （2）方法①：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：1＋x2＝，

39、·∴x2＝3－1＝2. 方法②：把x1＝1代入原方程得：1－3＋m＝0，解得：m＝2，∴x2－3x＋2＝0， ∴（x－1）（x－2）＝0，∴x1＝1，x2＝2. 【解后反思】1.關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)：（1）當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；這些結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立.另外一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)根b2－4ac≥0． 2.（1）對(duì)于含有字母系數(shù)的方程，如果知道方程的某個(gè)解，通常的作法是把已知解代入原方程，消去未知數(shù)，從而變成

40、關(guān)于字母系數(shù)的方程，然后解這個(gè)方程，就可以求出字母系數(shù)的具體值.（2）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決字母系數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)方法，熟練掌握，，可以方便快捷的解題. 【關(guān)鍵詞】 一元二次方程；一元二次方程的概念及其解法；一元二次方程的解法---求根公式法；根與系數(shù)的關(guān)系； 7. (2016湖南省永州市，24，10分)某種商品的標(biāo)價(jià)為400元/件，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元/件，并且兩次降價(jià)的百分率相同． (1)求該種商品每次降價(jià)的百分率； (2)若該種商品進(jìn)價(jià)為300元/件，兩次降價(jià)共售出此種商品100件，為使兩次降價(jià)銷(xiāo)售的總利潤(rùn)不少于3120元．問(wèn)第一次降價(jià)后至少要售出

41、該種商品多少件？ 【逐步提示】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用與一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能正確理解題意找出等量關(guān)系與不等關(guān)系．(1)根據(jù)平均增長(zhǎng)率問(wèn)題列一元二次方程求解；(2)根據(jù)兩次利潤(rùn)總和大于或等于3120列不等式求解． 【詳細(xì)解答】解：(1)設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意得：400(1－x)2=324．解得x=0．1=10%或x=1．9(不合題意，舍去)．答：該種商品每次降價(jià)的百分率為10%． (2)設(shè)第一次降價(jià)后至少要售出該種商品y件，根據(jù)題意得：[400(1－10%)－300]m+(324－300)(100－m)≥3120． 解得m≥20． 答：第一次降價(jià)

42、后至少要售出該種商品20件． 【解后反思】1．平均增長(zhǎng)率中的數(shù)量關(guān)系：若增長(zhǎng)的基數(shù)為a，每次增長(zhǎng)的平均增長(zhǎng)率為x，則第一次增長(zhǎng)后的數(shù)量為a (1+x)，第二次增長(zhǎng)是以a (1+x)為基數(shù)的，兩次增長(zhǎng)后的數(shù)量為a (1+x)2．2． 基數(shù)是a，兩次平均降低率為x，則一次降低的數(shù)量為a (1—x)，第二次降低后的數(shù)量為a (1—x)2．2． 對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的解決，主要是正確分析題意，找出滿(mǎn)足條件的等量關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程或方程組，解不等式組的應(yīng)用題，要注意題目中的表示不等關(guān)系的詞語(yǔ)，如“不大于”、“不小于”、“不超過(guò)”、“不低于”等．解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候還要注意實(shí)際意義． 【關(guān)鍵詞】一元

43、二次方程的實(shí)際應(yīng)用 ；一元一次不等式的應(yīng)用 8. (2016湖南省岳陽(yáng)市，22，8)(本題滿(mǎn)分8分)已知關(guān)于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0. (1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； (2)已知方程的一個(gè)根為x=0，求代數(shù)式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化簡(jiǎn)再求值). 【逐步提示】(1)根據(jù)一元二次方程算出b2-4ac的值，根據(jù)值判斷根的情況；(2)將方程的根代入方程中可求得m的值，再對(duì)所求代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，將字母m的值代入其中進(jìn)行運(yùn)算求得結(jié)果，也可以應(yīng)用整體代入法求得代數(shù)式的值。 【詳細(xì)解答】(1)證明：∵ b2-4ac=(2m+1)2-4

44、m(m+1)=1， ∴ b2-4ac＞0，即方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； (2)解：∵ (2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5=3m(m+1)+5， ∵ 方程的一個(gè)根為x=0，∴ m(m+1)=0，∴ 原式=3m(m+3)+5=4. 【解后反思】(1)一元二次方程的根的判別式：b2-4ac．當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac =0時(shí)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac < 0時(shí)一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，無(wú)解；當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(2) 化簡(jiǎn)求值問(wèn)題應(yīng)

45、先化簡(jiǎn)，后求值.求值時(shí)，有兩種策略：1°將字母的值代入代數(shù)式中求得代數(shù)式的值；2°應(yīng)用整體的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行整體代入。 【關(guān)鍵詞】一元二次方程；一元二次方程根的判別式；一元二次方程的解；整式的運(yùn)算；代數(shù)式的值；整體代入法 9.（ 2016江蘇泰州，20，8分）隨著互聯(lián)網(wǎng)的迅速發(fā)展，某購(gòu)物網(wǎng)站的年銷(xiāo)售額從2013年的200萬(wàn)元增長(zhǎng)到2015年的392萬(wàn)元．求該購(gòu)物網(wǎng)站平均每年銷(xiāo)售額增長(zhǎng)的百分率． 【逐步提示】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用中關(guān)于平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握增長(zhǎng)率模型．根據(jù)“年銷(xiāo)售額從2013年的200萬(wàn)元平均增長(zhǎng)2次后變?yōu)?015年的392萬(wàn)元”列出方程，

46、并解方程，舍去不合題意的解，即可得到答案 【詳細(xì)解答】解：（1）設(shè)該購(gòu)物網(wǎng)站平均每年銷(xiāo)售額增長(zhǎng)的百分率x，由題意得200(1＋x)2＝392，∴(1＋x)2＝1.96，即1＋x＝±1.4，∴x1＝0.4＝40%，x2＝－2.4（不合題意，舍去）． 答：該購(gòu)物網(wǎng)站平均每年銷(xiāo)售額增長(zhǎng)的百分率為40%． 【解后反思】增長(zhǎng)率問(wèn)題一般有兩類(lèi)：（1）增長(zhǎng)類(lèi)：增長(zhǎng)后的量＝增長(zhǎng)前的量× (1＋增長(zhǎng)率)增長(zhǎng)次數(shù)；（2）降價(jià)類(lèi)：降價(jià)后的量＝降價(jià)前的量×(1－降價(jià)率)降價(jià)次數(shù)．設(shè)基數(shù)為a，平均增長(zhǎng)（或降低）率為x，增長(zhǎng)（或降低）的次數(shù)為n，增長(zhǎng)（或降低）后的量為b，則表達(dá)式為a(1±x)n＝b． 【關(guān)鍵詞】一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用——增長(zhǎng)（或降低）率問(wèn)題 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.