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陜西省中考數(shù)學(xué) 專題跟蹤突破三 圓

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1、△+△數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編△+△ 圓 1.(2015河南)如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)P是半圓上不與點(diǎn)A,B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)BP到點(diǎn)C,使PC=PB,D是AC的中點(diǎn),連接PD,PO. (1)求證:△CDP≌△POB; (2)填空: ①若AB=4,則四邊形AOPD的最大面積為__4__; ②連接OD,當(dāng)∠PBA的度數(shù)為__60__時(shí),四邊形BPDO是菱形. 解:(1)∵PC=PB,D是AC的中點(diǎn),∴DP∥AB,∴DP=AB,∠CPD=∠PBO, ∵BO=AB,∴DP=BO,在△CDP與△POB中, ∴△CDP≌△POB(SAS) (2)①當(dāng)四邊形AO

2、PD的AO邊上的高等于半徑時(shí)有最大面積, (42)(42)=22=4 ②∵DP∥AB,DP=BO,∴四邊形BPDO是平行四邊形,∵四邊形BPDO是菱形,∴PB=BO,∵PO=BO,∴PB=BO=PO,∴△PBO是等邊三角形,∴∠PBA的度數(shù)為60 2.(2015青海)如圖,在△ABC中,∠B=60,⊙O是△ABC的外接圓,過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線,交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,CM交⊙O于點(diǎn)D. (1)求證:AM=AC; (2)若AC=3,求MC的長(zhǎng). 解:(1)證明:連接OA,∵AM是⊙O的切線,∴∠OAM=90,∵∠B=60,∴∠AOC=120,∵OA=OC,∴

3、∠OCA=∠OAC=30,∴∠AOM=60,∴∠M=30,∴∠OCA=∠M,∴AM=AC (2)作AG⊥CM于G,∵∠OCA=30,AC=3,∴AG=,由勾股定理得,CG=,則MC=2CG=3 3.(2015貴港)如圖,已知AB是⊙O的弦,CD是⊙O的直徑,CD⊥AB,垂足為E,且點(diǎn)E是OD的中點(diǎn),⊙O的切線BM與AO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M,連接AC,CM. (1)若AB=4,求的長(zhǎng);(結(jié)果保留π) (2)求證:四邊形ABMC是菱形. 解:(1)連接OB,∵OA=OB,OE⊥AB,E為OD中點(diǎn),∴OE=OD=OA, ∴在Rt△AOE中,∠OAB=30,∠AOE=60,∠AOB=1

4、20, 設(shè)OA=x,則OE=x,AE=x,∵AB=4,∴AB=2AE=x=4, 解得:x=4,則的長(zhǎng)l== (2)由(1)得∠OAB=∠OBA=30,∠BOM=∠COM=60,∠AMB=30, ∴∠BAM=∠BMA=30,∴AB=BM,∵BM為圓O的切線,∴OB⊥BM, 在△COM和△BOM中,∴△COM≌△BOM(SAS), ∴CM=BM,∠CMO=∠BMO=30,∴CM=AB, ∠CMO=∠MAB,∴CM∥AB, ∴四邊形ABMC為菱形 4.(2015東營(yíng))已知在△ABC中,∠B=90,以AB上的一點(diǎn)O為圓心,以O(shè)A為半徑的圓交AC于點(diǎn)D,交AB

5、于點(diǎn)E. (1)求證:ACAD=ABAE; (2)如果BD是⊙O的切線,D是切點(diǎn),E是OB的中點(diǎn),當(dāng)BC=2時(shí),求AC的長(zhǎng). 解:(1)連接DE,∵AE是直徑,∴∠ADE=90,∴∠ADE=∠ABC,∵∠DAE=∠BAC, ∴△ADE∽△ABC,∴=,∴ACAD=ABAE (2)連接OD,∵BD是⊙O的切線,∴OD⊥BD,在Rt△OBD中,OE=BE=OD,∴OB=2OD,∴∠OBD=30,同理∠BAC=30,在Rt△ABC中,AC=2BC=22=4 5.(2015河池)如圖,AB為⊙O的直徑,CO⊥AB于O,D在⊙O上,連接BD,CD,延長(zhǎng)CD與AB的延長(zhǎng)線交于E,F(xiàn)在

6、BE上,且FD=FE. (1)求證:FD是⊙O的切線; (2)若AF=8,tan∠BDF=,求EF的長(zhǎng). 解:(1)連接OD,∵CO⊥AB,∴∠E+∠C=90,∵FE=FD,OD=OC,∴∠E=∠FDE,∠C=∠ODC,∴∠FDE+∠ODC=90,∴∠ODF=90,∴OD⊥DF,∴FD是⊙O的切線 (2)連接AD,∵AB為⊙O的直徑,∴∠ADB=90,∴∠A+∠ABD=90,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∴∠A+∠ODB=90,∵∠BDF+∠ODB=90,∴∠A=∠BDF,而∠DFB=∠AFD,∴△FBD∽△FDA,∴=, 在Rt△ABD中,tanA=tan∠BDF==,∴=

7、,∴DF=2,∴EF=2 6.(2015恩施州)如圖,AB是⊙O的直徑,AB=6,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB交圓于點(diǎn)H,點(diǎn)C是弧AH上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA,CE⊥OH,垂足分別為D,E,過(guò)點(diǎn)C的直線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,且∠GCD=∠CED. (1)求證:GC是⊙O的切線; (2)求DE的長(zhǎng); (3)過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F,若∠CED=30,求CF的長(zhǎng). 解:(1)連接OC,交DE于M,如圖,∵OH⊥AB,CD⊥OA,CE⊥OH,∴∠DOE=∠OEC=∠ODC=90,∴四邊形ODCE是矩形,∴∠DCE=90,DE=OC,MC=MD,∴∠CED+∠MDC=90,

8、 ∠MDC=∠MCD,∠GCD=∠CED,∴∠GCD+∠MCD=90,即GC⊥OC,∴GC是⊙O的切線 (2)由(1)得,DE=OC=AB=3 (3)∵∠DCE=90,∠CED=30,∴CE=DEcos∠CED=3=,∴CF=CE= 7.(2015廣元)如圖,AB是⊙O的弦,D為半徑OA的中點(diǎn),過(guò)D作CD⊥OA交弦于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)F,且CE=CB. (1)求證:BC是⊙O的切線; (2)連接AF,BF,求∠ABF的度數(shù); (3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半徑. 解:(1)連接OB,∵OB=OA,CE=CB,∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC,

9、又∵CD⊥OA,∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90,∴∠OBA+∠ABC=90,∴OB⊥BC,∴BC是⊙O的切線 (2)連接OF,AF,BF,∵DA=DO,CD⊥OA,∴AF=OF,∵OA=OF,∴△OAF是等邊三角形,∴∠AOF=60,∴∠ABF=∠AOF=30 (3)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BE于G,∵CE=CB,∴EG=BE=5,∵∠ADE=∠CGE=90,∠AED=∠GEC,∴∠GCE=∠A,∴sin∠ECG=sinA=,∴EC=13,又∵CD=15,∴DE=2,在Rt△ECG中,∵CG==12,△ADE∽△CGE,∴=,∴AD==,∴⊙O的半徑OA=2AD= 8.(2015淄博)如圖,點(diǎn)

10、B,C是線段AD的三等分點(diǎn),以BC為直徑作⊙O,點(diǎn)P是圓上異于B,C的任意一點(diǎn),連接PA,PB,PC,PD. (1)當(dāng)PB=PC時(shí),求tan∠APB的值; (2)當(dāng)P是上異于B,C的任意一點(diǎn)時(shí),求tan∠APBtan∠DPC的值. 解:(1)過(guò)點(diǎn)B作BE∥PC,與PA交于點(diǎn)E,∵AB=BC,∴==, ∴EB=PC,∵PB=PC,∴EB=PB,∵BC是⊙O的直徑,∴∠BPC=90,∠PBE=90,∴tan∠APB==1 (2)過(guò)點(diǎn)A作AF∥PC,與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,∵BC是⊙O的直徑, ∴∠BPC=90,∠AFP=90,在△ABF和△CBP中, ∴△ABF≌△CBP,∴BF=BP,AF=CP,∴tan∠APB==,同理tan∠DPC=,∴tan∠APBtan∠DPC==,即tan∠APBtan∠DPC的值為

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