4、
條件概率的計(jì)算
[典例] 拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，記事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為4或6”，事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”，求：(1)事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率．
(2)事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率．
[解] [法一 定義法]
拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，事件總數(shù)為66＝36，事件A的基本事件數(shù)為62＝12，所以P(A)＝＝．
由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8，所以事件B的基本事件數(shù)為4＋3＋2＋1＝10，所以P(B)＝＝．在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生，即事件AB的基本事件數(shù)為6．
故P(AB)
5、＝＝．由條件概率公式，得
(1)P(B|A)＝＝＝，
(2)P(A|B)＝＝＝．
[法二 縮減基本事件總數(shù)法]
n(A)＝62＝12．
由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8知，n(B)＝10，其中n(AB)＝6．
所以(1)P(B|A)＝＝＝，
(2)P(A|B)＝＝＝．
計(jì)算條件概率的兩種方法
提醒：(1)對(duì)定義法，要注意P(AB)的求法．
(2)對(duì)第二種方法，要注意n(AB)與n(A)的求法．
[活學(xué)活用]
1．已知某產(chǎn)品的次品率為4%，其合格品中75%為一級(jí)品，則任選一件為一級(jí)品的概率
6、為( )
A．75% B．96%
C．72% D．78．125%
解析：選C 記“任選一件產(chǎn)品是合格品”為事件A，則P(A)＝1－P()＝1－4%＝96%． 記“任選一件產(chǎn)品是一級(jí)品”為事件B．由于一級(jí)品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．由合格品中75%為一級(jí)品知P(B|A)＝75%; 故P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝96%75%＝72%．
2．一個(gè)盒子中有6只好晶體管，4只壞晶體管，任取兩次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率．
解：令A(yù)＝{第1只是好的}，B＝{第2只是好的}，
法一
7、：n(A)＝CC，n(AB)＝CC，
故P(B|A)＝＝＝．
法二：因事件A已發(fā)生(已知)，故我們只研究事件B發(fā)生便可，在A發(fā)生的條件下，盒中僅剩9只晶體管，其中5只好的，所以P(B|A)＝＝．
條件概率的應(yīng)用
[典例] 在一個(gè)袋子中裝有10個(gè)球，設(shè)有1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，3個(gè)黑球，4個(gè)白球，從中依次摸2個(gè)球，求在第一個(gè)球是紅球的條件下，第二個(gè)球是黃球或黑球的概率．
[解] 法一：設(shè)“摸出第一個(gè)球?yàn)榧t球”為事件A，“摸出第二個(gè)球?yàn)辄S球”為事件B，“摸出第二個(gè)球?yàn)楹谇颉睘槭录﨏，則
P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝．
∴P(B|A)＝＝＝＝，P(C|A)＝＝＝．
8、∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝．
∴所求的條件概率為．
法二：∵n(A)＝1C＝9，n(B∪C|A)＝C＋C＝5，
∴P(B∪C|A)＝．∴所求的條件概率為．
利用條件概率性質(zhì)的解題策略
(1)分析條件，選擇公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，則選擇公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
(2)分解計(jì)算，代入求值：為了求比較復(fù)雜事件的概率，一般先把它分解成兩個(gè)(或若干個(gè))互不相容的較簡(jiǎn)單的事件之和，求出這些簡(jiǎn)單事件的概率，再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率．
[活學(xué)活用]
在某次考試中，要從20道題中隨機(jī)地抽出6道題，
9、若考生至少能答對(duì)其中4道題即可通過(guò)，至少能答對(duì)其中5道題就獲得優(yōu)秀．已知某考生能答對(duì)其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過(guò)，求他獲得優(yōu)秀成績(jī)的概率．
解：記事件A為“該考生6道題全答對(duì)”，事件B為“該考生答對(duì)了其中5道題，另一道答錯(cuò)”，事件C為“該考生答對(duì)了其中4道題，另2道題答錯(cuò)”，事件D為“該考生在這次考試中通過(guò)”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”，則A，B，C兩兩互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
＝＋＝＋＝．
10、
故所求的概率為．
層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，則P(AB)等于( )
A． B．
C． D．
解析：選C P(AB)＝P(B|A)P(A)＝＝．
2．4張獎(jiǎng)券中只有1張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由4名同學(xué)無(wú)放回地抽取．若已知第一名同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)券，則最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)券的概率是( )
A． B．
C． D．1
解析：選B 因?yàn)榈谝幻瑢W(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)券，所以問(wèn)題變?yōu)?張獎(jiǎng)券，1張能中獎(jiǎng)，最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)券的概率顯然是．
3．甲、乙、丙三人到三個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A為“三個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”，B為“甲
11、獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則概率P(A|B)等于( )
A． B．
C． D．
解析：選C 由題意可知，n(B)＝C22＝12，n(AB)＝A＝6．
∴P(A|B)＝＝＝．
4．甲、乙兩市都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)一百多年來(lái)的氣象記錄，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，兩地同時(shí)下雨占12%，記P(A)＝0．2，P(B)＝0．18，P(AB)＝0．12，則P(A|B)和P(B|A)分別等于( )
A．， B． ，
C．， D． ，
解析：選C P(A|B)＝＝＝，P(B|A)＝＝＝．
5．用“0”“1”“2”組成的三位數(shù)碼組中，若用A表示“第二位數(shù)字為0”
12、的事件，用B表示“第一位數(shù)字為0”的事件，則P(A|B)＝( )
A． B．
C． D．
解析：選B 法一：∵P(B)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(A|B)＝＝，故選B．
法二：在B發(fā)生的條件下，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：用“0”“1”“2”組成三位數(shù)碼，其中第二位數(shù)字為0，則P(A|B)為在上述條件下，第一位數(shù)字為0的概率，∴P(A|B)＝＝．
6．投擲兩顆均勻的骰子，已知點(diǎn)數(shù)不同，設(shè)兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為ξ，則ξ≤6的概率為_(kāi)_______．
解析：設(shè)A＝“投擲兩顆骰子，其點(diǎn)數(shù)不同”，B＝“ξ≤6”，則P(A)＝＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝．
答案：
7．一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩
13、．假定生男、生女是等可能的，已知這個(gè)家庭有一個(gè)是女孩，則這時(shí)另一個(gè)小孩是男孩的概率是________．
解析：設(shè)A＝“其中一個(gè)是女孩”，B＝“其中一個(gè)是男孩”，則P(A)＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝．
答案：
8．盒中裝有6件產(chǎn)品，其中4件一等品，2件二等品，從中不放回地取產(chǎn)品，每次1件，取兩次，已知第二次取得一等品，則第一次取得的是二等品的概率是________．
解析：令第二次取得一等品為事件A，第一次取得二等品為事件B，則P(AB)＝＝，P(A)＝＝．
所以P(B|A)＝＝＝．
答案：
9．五個(gè)乒乓球，其中3個(gè)新的，2個(gè)舊的，每次取一個(gè)，不放回的取兩次，求：
(1
14、)第一次取到新球的概率；
(2)第二次取到新球的概率；
(3)在第一次取到新球的條件下，第二次取到新球的概率．
解：設(shè)第一次取到新球?yàn)槭录嗀，第二次取到新球?yàn)槭录﨎．
(1)P(A)＝＝．
(2)P(B)＝＝＝．
(3)法一：P(AB)＝＝，
P(B|A)＝＝＝．
法二：n(A)＝34＝12，n(AB)＝32＝6，
P(B|A)＝＝＝．
10．某校高三(1)班有學(xué)生40人，其中共青團(tuán)員15人．全班平均分成4個(gè)小組，其中第一組有共青團(tuán)員4人．從該班任選一人作學(xué)生代表．
(1)求選到的是第一組的學(xué)生的概率；
(2)已知選到的是共青團(tuán)員，求他是第一組學(xué)生的概率．
解：設(shè)事件
15、A表示“選到第一組學(xué)生”，
事件B表示“選到共青團(tuán)員”．
(1)由題意，P(A)＝＝．
(2)法一：要求的是在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P(A|B)．不難理解，在事件B發(fā)生的條件下(即以所選到的學(xué)生是共青團(tuán)員為前提)，有15種不同的選擇，其中屬于第一組的有4種選擇．因此，P(A|B)＝．
法二：P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(A|B)＝＝．
層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．一個(gè)盒子里有20個(gè)大小形狀相同的小球，其中5個(gè)紅的，5個(gè)黃的，10個(gè)綠的，從盒子中任取一球，若它不是紅球，則它是綠球的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：選C
16、 在已知取出的小球不是紅球的條件下，問(wèn)題相當(dāng)于從5黃10綠共15個(gè)小球中任取一個(gè)，求它是綠球的概率，∴P＝＝．
2．從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝( )
A． B．
C． D．
解析：選B ∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝．
3．根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計(jì)資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率為，下雨的概率為，既吹東風(fēng)又下雨的概率為．則在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為( )
A． B．
C． D．
解析：選D 設(shè)事件A表示“該地區(qū)四月份下雨”，B表示“四月份吹東風(fēng)”，則
17、P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，從而在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為P(A|B)＝＝＝．
4．從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張，將其中1張放到驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔，則第2張也是假鈔的概率為( )
A． B．
C． D．
解析：選D 設(shè)事件A表示“抽到2張都是假鈔”，事件B為“2張中至少有一張假鈔”，所以為P(A|B)． 而P(AB)＝＝，P(B)＝＝．∴P(A|B)＝＝．
5．100件產(chǎn)品中有5件次品，不放回地抽取兩次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，則第2次抽出正品的概率為_(kāi)_______．
解析：設(shè)“第一次抽到次品”為事件A，“第二次抽到正品”為事件B
18、，則P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝．
答案：
6．從1～100這100個(gè)整數(shù)中，任取一數(shù)，已知取出的一數(shù)是不大于50的數(shù)，則它是2或3的倍數(shù)的概率為_(kāi)_______．
解析：法一：根據(jù)題意可知取出的一個(gè)數(shù)是不大于50的數(shù)，則這樣的數(shù)共有50個(gè)，其中是2或3的倍數(shù)的數(shù)共有33個(gè)，故所求概率為．
法二：設(shè)A＝“取出的球不大于50”，B＝“取出的數(shù)是2或3的倍數(shù)”，則P(A)＝＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝．
答案：
7．現(xiàn)有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)語(yǔ)言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個(gè)節(jié)目，求：
(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；
19、(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．
解：設(shè)“第1次抽到舞蹈節(jié)目”為事件A，“第2次抽到舞蹈節(jié)目”為事件B，則“第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目”為事件AB．
(1)從6個(gè)節(jié)目中不放回地依次抽取2次的事件數(shù)為n(Ω)＝A＝30，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理n(A)＝AA＝20，
于是P(A)＝＝＝．
(2)因?yàn)閚(AB)＝A＝12，于是
P(AB)＝＝＝．
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為P(B|A)＝＝＝．
法二：因?yàn)閚(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|
20、A)＝＝＝．
8．有外形相同的球分裝在三個(gè)盒子中，每盒10個(gè)．其中，第一個(gè)盒子中有7個(gè)球標(biāo)有字母A,3個(gè)球標(biāo)有字母B；第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)；第三個(gè)盒子中則有紅球8個(gè)，白球2個(gè)．試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個(gè)盒子中任取一個(gè)球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個(gè)盒子中任取一個(gè)球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個(gè)盒子中任取一個(gè)球．如果第二次取出的是紅球，則稱試驗(yàn)成功，求試驗(yàn)成功的概率．
解：設(shè)A＝{從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母A的球}，
B＝{從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母B的球}，
R＝{第二次取出的球是紅球}，
則容易求得P(A)＝，P(B)＝，
P(R|A)＝，P(R|B)＝．
事件“試驗(yàn)成功”表示為RA∪RB，又事件RA與事件RB互斥，
故由概率的加法公式，得
P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)
＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)
＝＋＝0．59．
人教版 高中數(shù)學(xué)選修23 教學(xué)案2.2.1 條件概率
